江苏启东数学大一轮讲义一集合与常用逻辑用语、不等式第2讲不等书与线性规划pdf

9 专题一 集合与常用逻辑用语、不等式 专题一 集合与常用逻辑用语、不等式 第第 2 讲 不等式与线性规划讲 不等式与线性规划 总序总序 2 考情解读 (1)在高考中主要考查利用不等式的性质进行两数的大小比较、一元二次不等式的解法、基本 不等式及线性规划问题基本不等式主要考查求最值问题，线性规划主要考查直接求最优解和已知最优解 求参数的值或取值范围问题(2)多与集合、函数等知识交汇命题，以填空题的形式呈现，属中档题 热点一 一元二次不等式的解法 例 1 (1)已知一元二次不等式 f(x)0 的解集为_ (2)已知函数 f(x)(x2)(axb)为偶函数，且在(0，)单调递增，则 f(2x)0 的解集为_ 思维启迪 (1)利用换元思想，设 10 xt，先解 f(t)0.(2)利用 f(x)是偶函数求 b，再解 f(2x)0. 答案 (1)x|xlg 2 (2)x|x4 解析 (1)由已知条件 010 x0 即 ax(x4)0，解得 x4. 思维升华 二次函数、二次不等式是高中数学的基础知识，也是高考的热点，“三个二次”的相互转化体现 了转化与化归的数学思想方法 (1)不等式 x1 2x10 的解集为_ (2)已知 p：x0R，mx2010，q：xR，x2mx10.若 pq 为真命题，则实数 m 的取值范围 是_ 答案 (1)(1 2，1 (2)(2,0) 解析 (1)原不等式等价于(x1)(2x1)0 或 x10，即1 2x1 或 x1，所以不等式的解集为( 1 2，1 (2)pq 为真命题，等价于 p，q 均为真命题命题 p 为真时，m0；命题 q 为真时，m240， 解得2m2.故 pq 为真时，20， 4x3y4 y0 ，则 wy1 x 的最小值是_ (2)设关于 x，y 的不等式组 2xy10， xm0 表示的平面区域内存在点 P(x0，y0)，满足 x02y02， 求得 m 的取值范围是_ 答案 (1)1 (2) ，2 3 解析 (1)画出可行域，如图所示 wy1 x 表示可行域内的点(x，y)与定点 P(0，1)连线的斜率， 观察图形可知 PA 的斜率最小为10 01 1. (2)当 m0 时，若平面区域存在，则平面区域内的点在第二象限， 平面区域内不可能存在点 P(x0，y0)满足 x02y02，因此 m0. 如图所示的阴影部分为不等式组表示的平面区域 要使可行域内包含 y1 2x1 上的点，只需可行域边界点 (m，m)在直线 y1 2x1 的下方即可，即 m 1 2m1，解得 m 2 3. 真题感悟 1(2014 山东改编)已知实数 x，y 满足 axay(0ln(y21)；sin xsin y; x3y3. 答案 解析 因为 0a1，axy.采用赋值法判断， 中，当 x1，y0 时，1 20)， 所以 y17( 4 x1x1)172 4 x1 (x1)13(当且仅当 4 x1x1，即 x1 时取等号)， 所以促销费用投入 1 万元时，厂家的利润最大 2若点 P(x，y)满足线性约束条件 3xy0， x 3y20， y0， 点 A(3， 3)，O 为坐标原点，则OA OP 的最大值 为_ 答案 6 解析 由题意，知OA (3， 3)，OP (x，y)，则OA OP 3x 3y. 令 z3x 3y，如图画出不等式组所表示的可行域， 可知当直线 y 3x 3 3 z 经过点 B 时， z 取得最大值 由 3xy0， x 3y20， 13 解得 x1， y 3， 即 B(1， 3)，故 z 的最大值为 3 1 3 36.即OA OP 的最大值为 6. 3 如果关于 x 的不等式 f(x)0 和 g(x)0 的解集分别为(a， b)， (1 b， 1 a)， 那么称这两个不等式为“对偶不等式”， 如果不等式 x24 3xcos 220 与不等式 2x24xsin 210 为“对偶不等式”，且 ( 2，)，则 _. 答案 5 6 解析 由题意可知 ab2，ab4 3cos 2， 1 b 1 a2sin 2，即 ab ab 2sin 2， 2 3cos 22sin 2，tan 2 3.( 2，)，2(，2)，2 5 3 .5 6 . 一、填空题 1函数 f(x) x1，x， x1，x， 则不等式 x(x1)f(x1)1 的解集是_ 答案 x|x 21 解析 当 x0)；sin x 1 sin x2(xk，kZ)；x 212|x|(xR)； 1 x211(xR) 答案 解析 应用基本不等式：x，y0，xy 2 xy(当且仅当 xy 时取等号)逐个分析， 注意基本不等式的应用条件及取等号的条件 当 x0 时，x21 42 x 1 2x，所以 lg x21 4 lg x(x0)，故不正确； 运用基本不等式时需保证“一正、二定、三相等”，而当 xk，kZ 时，sin x 的正负不定，故不正确； 由基本不等式可知，正确；当 x0 时，有 1 x211，故不正确 3关于 x 的不等式 x22ax8a20)的解集为(x1，x2)，且 x2x115，则 a_. 答案 5 2 解析 由 x 22ax8a20， ab0， 3a4b0， 所以 a0， b0. 又 log4(3a4b)log2ab， 所以 log4(3a4b)log4ab，所以 3a4bab，故4 a 3 b1. 所以 ab(ab)(4 a 3 b)7 3a b 4b a 72 3a b 4b a 74 3，当且仅当3a b 4b a 时取等号 5已知变量 x，y 满足约束条件 xy50， x2y10 x10 ，则 zx2y1 的最大值为 _ 答案 8 解析 约束条件 xy50， x2y10， x10 所表示的区域如图，由图可知， 当目标函数过 A(1,4)时取得最大值，故 zx2y1 的最大值为 12 418. 6 已知 f(x)是 R 上的减函数， A(3， 1)， B(0,1)是其图象上两点， 则不等式|f(1ln x)|1 的解集是_ 答案 (1 e，e 2) 解析 |f(1ln x)|1，1f(1ln x)1，f(3)f(1ln x)f(0)， 又f(x)在 R 上为减函数，01ln x3，1ln x2，1 e0，m0 且 n0. 1 m 1 n( 1 m 1 n) 2mn 2 1 2(2 2m n n m1) 1 2(32 2m n n m) 3 2 2， 当且仅当2m n n m，即 n 2m 时取等号， 1 m 1 n的最小值为 3 2 2. 二、解答题 9设集合 A 为函数 yln(x22x8)的定义域，集合 B 为函数 yx 1 x1的值域， 集合 C 为不等式(ax1 a)(x4)0 的解集 (1)求 AB； 15 (2)若 CRA，求 a 的取值范围 解 (1)由x22x80，得41 时，y211，此时 x0，符合要求； 当 x10，即 x0 时，Cx|4x 1 a2，不可能 CRA； 当 a0 时，Cx|x4 或 x 1 a2，若 CRA，则 1 a22，a 21 2， 2 2 a0.故 a 的取值范围为 2 2 ，0) 10 已知函数 f(x)1 3ax 3bx2(2b)x1 在 xx1处取得极大值， 在 xx2处取得极小值， 且 0x11x20； (2)若 za2b，求 z 的取值范围 (1)证明 求函数 f(x)的导数 f(x)ax22bx2b. 由函数 f(x)在 xx1处取得极大值，在 xx2处取得极小值，知 x1，x2是 f(x)0 的两个根， 所以 f(x)a(xx1)(xx2)当 x0，由 xx10，xx20. (2)解 在题设下，0x110， a2b2b0， 化简得 2b0， a3b20. 此不等式组表示的区域为平面 aOb 上的三条直线： 2b0，a3b20,4a5b20 所围成的ABC 的内部， 其三个顶点分别为 A 4 7， 6 7 ，B(2,2)，C(4,2) z 在这三点的值依次为16 7 ，6,8. 所以 z 的取值范围为(16 7 ，8) 11某工厂生产某种产品，每日的成本 C(单位：万元)与日产量 x(单位：吨)满足函数关系式 C3x，每 日的销售额 S(单位：万元)与日产量 x 的函数关系式 S 3x k x85，0x6， 14，x6. 已知每日的利润 LS C，且当 x2 时，L3. (1)求 k 的值； (2)当日产量为多少吨时，每日的利润可以达到最大，并求出最大值 16 解 (1)由题意可得 L 2x k x82，0x6， 11x，x6. 因为当 x2 时，L3，所