江苏启东数学大一轮讲义一集合与常用逻辑用语、不等式第1讲集合与常用逻辑用语pdf

3 专题一 集合与常用逻辑用语、不等式 专题一 集合与常用逻辑用语、不等式 第第 1 讲 集合与常用逻辑用语讲 集合与常用逻辑用语 总序总序 1 考情解读 (1)集合是高考必考知识点，经常以不等式解集、函数的定义域、值域为背景考查集合的运算， 近几年也出现一些集合的新定义问题(2)高考中考查命题的真假判断或命题的否定或充要条件的判断 热点一 集合的关系及运算 例 1 (1)已知集合 Ax|x2x20，集合 B 为整数集，则 AB_. (2)设整数 n4，集合 X1,2,3，n，令集合 S(x，y，z)|x，y，zX，且三条件 xyz，yzx，zxy 恰有一个成立若(x，y，z)和(z，w，x)都在 S 中，则下列命题正确的是_ (y，z，w)S，(x，y，w)S； (y，z，w)S，(x，y，w)S； (y，z，w)S，(x，y，w)S； (y，z，w)S，(x，y，w)S. 思维启迪 明确集合的意义，理解集合中元素的性质特征 答案 (1)1,0,1,2 (2) 解析 (1)因为 Ax|x2x20x|1x2， 又因为集合 B 为整数集，所以集合 AB1,0,1,2 (2)因为(x，y，z)和(z，w，x)都在 S 中，不妨令 x2，y3，z4，w1，则(y，z，w)(3,4,1)S， (x，y，w)(2,3,1)S，故(y，z，w)S，(x，y，w)S 的说法均错误，可以排除，故正确 思维升华 (1)对于集合问题，抓住元素的特征是求解的关键，要注意集合中元素的三个特征的应用，要注 意检验结果 (2)对集合的新定义问题，要紧扣新定义集合的性质探究集合中元素的特征，将问题转化为熟悉的知识进行 求解，也可利用特殊值法进行验证 (1)已知集合 M1,2,3，NxZ|1x4，则 MN_. (2)已知集合 A0,1,2，则集合 Bxy|xA，yA中元素的个数是_ 答案 (1)2,3 (2)5 解析 (1)集合 N 是要求在(1,4)范围内取整数， 所以 NxZ|1b|b|”的_条件 (2)下列叙述中正确的是_ 若 a，b，cR，则“ax2bxc0”的充分条件是“b24ac0”； 若 a，b，cR，则“ab2cb2”的充要条件是“ac”； 命题“对任意 xR，有 x20”的否定是“存在 xR，有 x20”； 4 l 是一条直线， 是两个不同的平面，若 l，l，则 . 思维启迪 要明确四种命题的真假关系；充要条件的判断，要准确理解充分条件、必要条件的含义 答案 (1)充要 (2) 解析 (1)当 bba|a|b|b|；当 b0 时，显然有 aba|a|b|b|； 当 b0 时，ab 有|a|b|，所以 aba|a|b|b|. 综上可知 aba|a|b|b|. (2)由于“若 b24ac0，则 ax2bxc0”是假命题，所以“ax2bxc0”的充分条件 不是“b24ac0”，错；因为 ab2cb2，且 b20，所以 ac.而 ac 时，若 b20，则 ab2cb2不成立，由此 知“ab2cb2”是“ac”的充分不必要条件，错；“对任意 xR，有 x20”的否定是“存在 xR，有 x2log3N”是“MN 成立”的_条件(从“充要”、“充分不必要”、“必要不充分”中选择一个正 确的填写) 答案 (1)若 ab 不是偶数，则 a，b 不都是偶数 (2)充分不必要 解析 (1)判断词“都是”的否定是“不都是” (2)由 log3Mlog3N，又因为对数函数 ylog3x 在定义域(0，)单调递增，所以 MN； 当 MN 时，由于不知道 M、N 是否为正数，所以 log3M、log3N 不一定有意义 故不能推出 log3Mlog3N，所以“log3Mlog3N”是“MN 成立”的充分不必要条件 热点三 逻辑联结词、量词 例 3 (1)已知命题 p：xR，x2lg x，命题 q：xR，sin x0，若 pq 为假命题，则实数 m 的取值范围 是_ 思维启迪 (1)先判断命题 p、q 的真假，再利用真值表判断含逻辑联结词命题的真假；(2)含量词的命题要 理解量词含义，确定参数范围 答案 (1) (2)1，) 解析 (1)对于命题 p，取 x10，则有 102lg 10，即 81，故命题 p 为真命题； 对于命题 q，取 x 2，则 sin xsin( 2)1，此时 sin xx，故命题 q 为假命题，因此命题 pq 是真 命题，命题 pq 是假命题，命题 p(非 q)是真命题，命题 p(非 q)是真命题，故正确 (2)pq 为假命题，p 和 q 都是假命题 由 p：xR，mx220 为假命题，得非 p：xR，mx220 为真命题，m0. 由 q：xR，x22mx10 为假命题，得非 q：xR，x22mx10 为真命题， (2m)240m21m1 或 m1. 由和，得 m1. 思维升华 (1)命题的否定和否命题是两个不同的概念：命题的否定只否定命题的结论，真假与原命题相对 5 立；(2)判断命题的真假要先明确命题的构成由命题的真假求某个参数的取值范围，还可以考虑从集合的 角度来思考，将问题转化为集合间的运算 (1)已知命题p： 在ABC 中， “CB”是“sin Csin B”的充分不必要条件； 命题q： “ab”是“ac2bc2” 的充分不必要条件，则下列命题中正确的是_ p 真 q 假； p 假 q 真； “pq”为假； “pq”为真 (2)已知命题 p：“x1,2，x2a0”，命题 q：“x0R，x202ax02a0”若命题“(非 p)q”是真命 题，则实数 a 的取值范围是_ 答案 (1) (2)(1，) 解析 (1)ABC 中，CBcb2Rsin C2Rsin B(R 为ABC 外接圆半径)， 所以 CBsin Csin B.故“CB”是“sin Csin B”的充要条件，命题 p 是假命题 若 c0，当 ab 时，则 ac20bc2，故 abac2bc2，若 ac2bc2，则必有 c0，则 c20，则有 ab， 所以 ac2bc2ab，故“ab”是“ac2bc2”的必要不充分条件，故命题 q 也是假命题 (2)命题 p 为真时 a1；“x0R，x202ax02a0”为真，即方程 x22ax2a0 有实根， 故 4a24(2a)0，解得 a1 或 a2.(非 p)q 为真命题，即綈 p 真且 q 真，即 a1. 真题感悟 1(2014 浙江改编)设全集 UxN|x2，集合 AxN|x25，则UA_. 答案 2 解析 因为 AxN|x 5或 x 5，所以UAxN|2x0； q：“x1”是“x2”的充分不必要条件 则下列命题pq； 非 p非 q；非 pq； p非 q 为真命题的是_ 答案 解析 因为指数函数的值域为(0，)，所以对任意 xR，y2x0 恒成立，故 p 为真命题； 因为当 x1 时，x2 不一定成立，反之当 x2 时，一定有 x1 成立，故“x1”是“x2”的必要不充分条件， 故 q 为假命题，则 pq、非 p 为假命题，非 q 为真命题，非 p非 q、非 pq 为假命题，p非 q 为真命 题，故为真命题 押题精练 1已知集合 Ax|ylg(xx2)，Bx|x2cx0，若 AB，则实数 c 的取值范围是_ 答案 1，) 解析 Ax|ylg(xx2)x|xx20(0,1)， Bx|x2cx0(0，c)，因为 AB，画出数轴，如图所示，得 c1. 2已知下列命题： 命题“xR，x213x”的否定是“xR，x212”是“a5”的充分不必要条件； “若 xy0，则 x0 且 y0”的逆否命题为真命题其中正确的命题是_ 答案 解析 命题“xR，x213x”的否定是“xR，x213x”，故错； 6 “pq”为假命题说明 p 假 q 假，则(非 p)(非 q)为真命题，故正确； a5a2，但 a2a5，故“a2”是“a5”的必要不充分条件，故错； 因为“若 xy0，则 x0 或 y0”，所以原命题为假命题，故其逆否命题也为假命题，故错 3已知 p： x2 10x0，q：x 22x1m20(m0)，且 p 是 q 的必要不充分条件，求实数 m 的取值范围 解 由 x2 10x0，得2x10，即 p：2x10；由 x 22x1m20(m0)， 得x(1m) x(1m)0，所以 1mx1m，即 q：1mx1m. 又因为 p 是 q 的必要条件，所以 m12， 1m10， 解得 m3， 又 m0，所以实数 m 的取值范围是3m0. 1设集合 Mx|x0，xR，Nx|x21，xR，则 MN_. 答案 0,1) 解析 Nx|1x0”的_条件 答案 必要不充分 解析 (m1)(a1)0 等价于 m1， a1 或 m1， a1 或 0m1， 0x” 7 6在ABC 中，“A60”是“cos A1 2”的_条件 答案 充要 解析 在 A60 时，有 cos A1 2，因为角 A 是ABC 的内角， 所以，当 cos A1 2时，也只有 A60 ，因此，是充要条件 7已知全集为 R，集合 A x|(1 2) x1 ，B x|x26x80 ，则 ARB_. 答案x|0x4 解析 Ax|x0，Bx|2x4，ARBx|x0x|x4 或 x0，所以直线 l 与抛物线 C 有两个交点即 AB 有 2 个元素 9设命题 p：函数 ysin 2x 的最小正周期为 2；命题 q：函数 ycos x 的图象关于直线 x 2对称则下列 判断p 为真；非 q 为假；pq 为假；pq 为真正确的是_ 答案 解析 p 是假命题，q 是假命题，因此只有正确 10已知集合 A(x，y)|ya，B(x，y)|ybx1，b0，b1，若集合 AB 只有一个真子集，则实数 a 的取值范围是_ 答案 (1，) 解析 由于集合 B 中的元素是指数函数 ybx的图象向上平移一个单位长度后得到的函 数图象上的所有点，要使集合 AB 只有一个真子集，那么 ybx1(b0，b1)与 ya 的图象只能有一个 交点，所以实数 a 的取值范围是(1，) 11已知集合 Px|x(x1)0，Qx|yln(x1)，则 PQ_. 答案 (1，) 解析 由 x(x1)0 可得 x0 或 x1，则 P(，01，)；又由 x10 可得 x1， 则 Q(1，)，所以 PQ(1，) 12已知集合 Ax|x2 或 x1，Bx|axb，若 ABR，ABx|22 或 x1，ABR，ABx|20 是真命题，则 0”的否定是：“xR，均有 x2x0”的否定应是：“xR，均有 x2x0”，故错； 对，因由“x24”得 x 2，所以“x24”是“x2”的必要不充分条件，故错； 对，p，q 均为真命题，由真值表判定 p 且 q 为真命题，故正确 15已知集合 M 为点集，记性质 P 为“对(x，y)M，k(0,1)，均有(kx，ky)M”给出下列集合：(x， y)|x2y，(x，y)|2x2y21，(x，y)|x2y2x2y0，(x，y)|x3y3x2y0，其中具有性质 P 的点集序号是_ 答案 解析 对于：取 k1 2，点(1,1)(x，y)|x 2y，但(1 2， 1 2)(x，y)|x 2y，故是不具有性质 P 的点集 对于：(x，y)(x，y)|2x2y21，则点(x，y)在椭圆 2x2y21 内部，所以对 0k1，