江苏南通海安高三数学期末考试PDF

高三数学参考答案及评分建议 第 1 页 （共 10 页） 开始 结束 01Sn， 1 SS n + 2nn+ 输出S Y N n a 2014 届高三期末测试数学参考答案及评分建议 一、填空题：本大题共 14 小题，每小题 5 分，共 70 分 1. 复数 i 2i z = （其中 i 是虚数单位）的虚部为 2. 某同学在 7 天内每天参加体育锻炼的时间（单位：分钟）用茎叶图表 示如图，图中左列表示时间的十位数，右列表示时间的个位数.则这 7 天该同学每天参加体育锻炼时间（单位：分钟）的平均数为 . 3. 函数 () 2 2 1 ( ) 4 xx f x =的值域为 4. 分别在集合 A =1，2，3，4和集合B =5，6，7，8中 各取一个数相乘，则积为偶数的概率为 5. 在平面直角坐标系 xOy 中，双曲线 C 的中心在原点，焦点 在 y 轴上，一条渐近线方程为30 xy=，则双曲线 C 的 离心率为 . 6 如图是计算 10 1 1 21 k k = 的值的一个流程图，则常数 a 的取 值范围是 7. 函数 y = () sin 2 3 x 的图象可由函数 y = sin x 的图象作两次变换得到， 第一次变换是针对函数 y = sin x 的图象而言的，第二次变换是针对第一次变换所得图象而言的现给出下列四个变换： A. 图象上所有点向右平移 6 个单位； B. 图象上所有点向右平移 3 个单位； C. 图象上所有点的横坐标变为原来的 2 倍（纵坐标不变） ； D. 图象上所有点的横坐标变为原来的1 2 倍（纵坐标不变）. 请按顺序写出两次变换的代表字母： .（只要填写一组） 8. 记 maxa，b为 a 和 b 两数中的较大数设函数( )f x 和 ( )g x 的定义域都是 R，则“( )f x 和 ( )g x 都是偶函数”是“函数( )max( )( )F xf xg x=，为偶函数”的 条件 （在“充分不必要” “必要不充分” “充分必要”和“既不充分也不必要”中选填一个） 9. 在平面直角坐标系 xOy 中，圆 C1： 22 48190 xyxy+=关于直线 l：250 xy+=对称的圆 C2的方程为 10. 给出以下三个关于 x 的不等式： 2 430 xx+ + ， 22 20 xm xm+若的解 6 7 8 5 5 6 3 4 0 1 高三数学参考答案及评分建议 第 2 页 （共 10 页） 集非空，且满足的 x 至少满足和中的一个，则 m 的取值范围是 11. 设 0 2 ，且 113 coscos() 714 =，则tan的值为 12. 设平面向量 a，b 满足32ab，则 ab 的最小值为 13. 在平面直角坐标系 xOy 中，曲线 22 49 1 xy += 上的点到原点 O 的最短距离为 14. 设函数( )yf x=是定义域为 R，周期为 2 的周期函数，且当)1 1x ， 时， 2 ( )1f xx= ；已知 函数 lg|0 ( ) 10 xx g x x = = ， ， 则函数( )f x 和 ( )g x 的图象在区间510 ，内公共点的个数为 【填空题答案】 1. 2 5 2. 72 3. (04， 4. 3 4 5. 2 6. (1921， 7. BD（DA） 8. 充分不必要 9. 22 1xy+= 10.)10 ， 11. 3 12. 5 13. 1 6 14. 15 二、解答题：本大题共 6 小题，共 90 分 15设向量 a(cossin)=，b(cossin)=，其中0 （1）若ab，求3+ab 的值； （2）设向量 c () 03=，且 a + b = c，求， 的值 【解】 （1）因为 a(cossin)=，b(cossin)=，所以11=，ab 2 分 因为ab，所以 ab = 04 分 于是 2 22 332 34+=+=ababa b，故32+=ab 6 分 （2）因为 a + b () () coscossinsin03=+=， 所以 coscos0 sinsin3 += += ， 8 分 由此得()coscos =，由0，得0， 又0，故 = 10 分 代入sinsin3+=，得 3 sinsin 2 =12 分 而0，焦距为 2c，离心率为 e 于是2b = 设椭圆的右焦点为 F，椭圆上点 P 到右准线距离为d ， 则 AF eAFe d d =，于是当 d 最小即 P 为右顶点时，PF 取得最小值， 所以51ac= 3 分 因为 222 515 22 1 aca bb c abc = = = =+ ， ， ， 所以椭圆方程为 22 1 54 xy += 5 分 （2）设原点O到直线 AB 的距离为 h，则由题设及面积公式知 OA OB h AB = 当直线OA的斜率不存在或斜率为0 时， 5 2 OA OB = = ， 或 5 2 OB OA = = ， 于是 2 52 5 3 45 d = + 7 分 当直线OA的斜率k 存在且不为0 时，则 22 222 1 154 54 xy xk x ykx += += = ， ， 解得 2 2 2 2 2 1 1 54 1 54 A A x k k y k = + = + ， 同理 2 2 2 2 2 1 11 5 4 1 11 5 4 B B x k k y k = + = + ， 9 分 在 RtOAB 中， 2222 2 222 OAOBOAOB h ABOAOB = + ， 则 222 22 2 22222222 2 11 111 111 5 5445454 1 111 1 kkk OAOB k hOAOBOAOBkkk k + + + =+=+=+ + + 高三数学参考答案及评分建议 第 6 页 （共 10 页） ()() 2 2 1111 4545119 4520 1 k k + =+= + ，所以 2 5 3 h = 综上，原点O到直线 AB 的距离为定值 2 5 3 11 分 另解： ()() ()( ) ()() 22 2 2 2222 2 222 2 22 22 2 2 1 1 1 111 1 11 5 544 1 1111 1 11 1554 4 11 1 5 544 kk k k OAOBkk h OAOBk k kk kk k k + + + + = + + + + + + + 2 2 2 2 1 2 9 99920 2010 20 k k k k + = + ，所以 2 5 3 h = 因为 h 为定值，于是求 AB 的最小值即求OA OB的最小值 22 OAOB () () () () 2 2 22 2 2 2 2 11 12 1 114111 1 204005 54204 k k kk k k kk + + = + + ， 令 2 2 1 tk k =+，则2t ， 于是 22 OAOB= () 220401 2020 120400 tt tt t + = + + ， 14 分 因为2t，所以 () 2211600 20 1 8181 OAOB=， 当且仅当2t =，即1k = ，OA OB取得最小值 40 9 ，因而 min 40 4 5 9 3 2 5 3 AB= 所以 AB 的最小值为 4 5 3 16 分 20设函数( ) 2 lnf xaxbx=，其图象在点( )()22Pf，处切线的斜率为 3 （1）求函数( )f x 的单调区间（用只含有b 的式子表示） ； （2）当2a =时，令( )( )g xf xkx=，设 1 x ， 2 x() 12 xx是函数( )0g x =的两个根， 0 x 是 1 x ， 2 x 的等差中项，求证： 0 ()0g x（( )g x 为函数( )g x 的导函数） 【解】 （1）函数( )f x 的定义域为()0+ ， ( )2 a fxbx x =，则 ( )243 2 a fb= ，即86ab= 高三数学参考答案及评分建议 第 7 页 （共 10 页） 于是( ) () 2 286bxb fx x + =2 分 当0b =时，( ) 6 0fx x =， ( )f x 在()0+ ，上是单调减函数； 当0b 时，若 3 0 4 b ，则( )0fx，令( )0fx=，得 43b x b =（负舍） ， 所以( )f x 在( ) 43 0 b b ，上单调增函数，在( ) 43b b +，上单调减函数； 综上， 若0b ，( )f x 的单调增区间为( ) 43 0 b b ， 单调减区间为( ) 43b b +， 8 分 （2）因为286aab=，所以1b = ，即( ) 2 2lng xxxkx= 因为( )g x 的两零点为 1 x ， 2 x ，则 2 111 2 222 2ln0 2ln0 xxkx xxkx = = ， ， 相减得：()()() 22 121212 2 lnln0 xxxxk xx=， 因为 12 xx，所以 () () 12 12 12 2 lnlnxx kxx xx =+ ， 于是() () 12 00 01212 2 lnln24 2 xx g xxk xxxxx = + () () () 1 12 21 12 12121212 2 21 2 22 lnlnln 1 x xxxx xx xxxxxxxx x = + + 14 分 令() 1 2 0 1 x tt x =， ，( ) ()214 ln2ln 11 t ttt tt = + ， 则( ) () () () 2 22 141 0 11 t t t tt t =，又 12 2 0 xx ，则() 0 0g x命题得证16 分 高三数学参考答案及评分建议 第 8 页 （共 10 页） A D C B O 21A. 如图，AB 是圆 O 的直径，D 为圆 O 上一点，过 D 作圆 O 的 切线交 AB 的延长线于点 C若 DA = DC，求证：AB = 2 BC 【证】连结 OD，BD， 因为 AB 是圆 O 的直径，所以902ADBABOB= ?， 因为 DC 是圆 O 的切线，所以90CDO= ? 因为 AD = DC，所以AC= 于是ADB CDO，从而 AB = CO， 即 2OB = OB + BC，得 OB = BC故 AB = 2 BC 21B. 已知矩阵 A 的逆矩阵 A = 2 1 2 1 4 3 4 1 1 ，求矩阵 A 的特征值 【解】因为 A 1 A=E，所以 A =(A 1 ) 1 因为 A = 2 1 2 1 4 3 4 1 1 ，所以 A =(A 1 ) 1 = 12 32 于是矩阵 A 的特征多项式为 f () 12 32 = = 234， 令 f () = 0，解得 A 的特征值 1 = 1，2 =4 21C. 在平面直角坐标系 xOy 中，求过椭圆 5cos 3sin x y = = ， （为参数）的左焦点，且与直线 42 3 xt yt = = ， （t 为参数）平行的直线的普通方程 【解】椭圆的普通方程： 22 1 259 xy += ，左焦点( 40)F ， 直线的普通方程：220 xy+=. 设过焦点( 40)F ，且与直线220 xy+=平行的直线为20 xy+= 将( 40)F ，代入20 xy+=，4.= 所求直线的普通方程为240 xy+= 21D. 已知实数 x，y 满足：| x + y | 3 1 ， 1 |2| 6 xy，求证：| y | 5 18 【证】3| |3 |2()(2)2|2|yyxyxyxyxy=+ 由题设知| x + y | 3 1 ， 1 |2| 6 xy， 从而 115 3|2 366 y+=故| y | 5 18 高三数学参考答案及评分建议 第 9 页 （共 10 页） 22从棱长为 1 的正方体的 8 个顶点中任取不同 2 点，设随机变量 是这两点间的距离 （1）求概率 () 2P=； （2）求 的分布列，并求其数学期望 E( ) 【解】 （1）从正方体的 8 个顶点中任取不同 2 点，共有 2 8 C28=种 因为正方体的棱长为 1，所以其面对角线长为2 ， 正方体每个面上均有两条对角线，所以共有2612=条 因此 () 123 2 287 P= 3 分 （2）随机变量的取值共有 1，2 ， 3 三种情况 正方体的棱长为 1，而正方体共有 12 条棱，于是() 123 1 287 P=5 分 从而()()() 331 31121 777 PPP= = = 7 分 所以随机变量的分布列是 1 2 3 P() 3 7 3 7 1 7 8 分 因此 33 23331 ( )123 7777 E + = += 10 分 23在平面直角坐标系 xOy 中，已知抛物线 C： 2 4yx=，F 为其焦点，点 E 的坐标 为(2，0)，设 M 为抛物线 C 上异于顶点的动点，直线 MF 交抛物线 C 于另一点 N，链接 ME，NE 并延长分别交抛物线 C 与点 P，Q （1）当 MN Ox 时，求直线 PQ 与 x 轴的交点坐标； （2）当直线 MN，PQ 的斜