江苏启东数学大一轮讲义三三角函数与平面向量第2讲三角变换与解三角形pdf

51 专题三 三角函数与平面向量 专题三 三角函数与平面向量 第第 2 讲 三角变换与解三角形讲 三角变换与解三角形 总序总序 7 考情解读 (1)高考中常考查三角恒等变换有关公式的变形使用，常和同角三角函数的关系、诱导公式结 合(2)利用正弦定理或余弦定理解三角形或判断三角形的形状、求值等，经常和三角恒等变换结合进行综 合考查 热点一 三角变换 例 1 (1)已知 sin( 3)sin 4 3 5 ， 20，则 cos( 2 3 )_. (2)(2014 课标全国)设 (0， 2)，(0， 2)，且 tan 1sin cos ，则 2_. 思维启迪 (1)利用和角公式化简已知式子，和 cos(2 3)进行比较 (2)先对已知式子进行变形，得三角函数值的式子，再利用范围探求角的关系 答案 (1)4 5 (2) 2 解析 (1)sin( 3)sin 4 3 5 ， 20， 3 2sin 3 2 cos 4 3 5 ， 3 2 sin 1 2cos 4 5，cos( 2 3 )cos cos2 3 sin sin2 3 1 2cos 3 2 sin 4 5. (2)由 tan 1sin cos 得sin cos 1sin cos ，即 sin cos cos cos sin ，sin()cos sin( 2) (0， 2)，(0， 2)，( 2， 2)， 2(0， 2)，由 sin()sin( 2)，得 2， 2 2. 思维升华 (1)三角变换的关键在于对两角和与差的正弦、余弦、正切公式，二倍角公式，三角恒等变换公 式的熟记和灵活应用，要善于观察各个角之间的联系，发现题目所给条件与恒等变换公式的联系，公式的 使用过程要注意正确性，要特别注意公式中的符号和函数名的变换，防止出现张冠李戴的情况(2)求角问 题要注意角的范围，要根据已知条件将所求角的范围尽量缩小，避免产生增解 设函数 f(x)cos(2x 3)sin 2x. (1)求函数 f(x)的最小正周期和最大值； (2)若 是第二象限角，且 f( 2)0，求 cos 2 1cos 2sin 2的值 解 (1)f(x)cos(2x 3)sin 2xcos 2xcos 3sin 2xsin 3 1cos 2x 2 1 2 3 2 sin 2x. 52 所以 f(x)的最小正周期为 T2 2 ，最大值为1 3 2 . (2)因为 f( 2)0，所以 1 2 3 2 sin 0，即 sin 3 3 ，又 是第二象限角， 所以 cos 1sin2 6 3 . 所以 cos 2 1cos 2sin 2 cos2sin2 2cos22sin cos (cos sin )( cos sin ) 2cos (cos sin ) cos sin 2cos 6 3 3 3 2 ( 6 3 ) 6 3 2 6 2 2 4 . 热点二 解三角形 例 2 在ABC 中，角 A，B，C 所对的边分别为 a，b，c，满足 a2sin A，cos B cos C 2a c b c0. (1)求边 c 的大小； (2)求ABC 面积的最大值 思维启迪 (1)将cos B cos C 2a c b c0 中的边化成角，然后利用和差公式求 cos C，进而求 c.(2)只需求 ab 的最 大值，可利用 cos Ca 2b2c2 2ab 和基本不等式求解 解 (1)cos B cos C 2a c b c0，ccos B2acos Cbcos C0，sin Ccos Bsin Bcos C2sin Acos C0， sin A2sin Acos C0，sin A0，cos C1 2，C(0，)，C 2 3 ，c a sin A sin C 3. (2)cos C1 2 a2b23 2ab ，a2b2ab3，3ab3，即 ab1. SABC1 2absin C 3 4 .ABC 面积的最大值为 3 4 . 思维升华 三角形问题的求解一般是从两个角度，即从“角”或从“边”进行转化突破，实现“边”或“角”的统 一，问题便可突破 几种常见变形： (1)abcsin Asin Bsin C； (2)a2Rsin A，b2Rsin B，c2Rsin C，其中 R 为ABC 外接圆的半径； (3)sin(AB)sin C，cos(AB)cos C. (1)ABC 的三个内角 A，B，C 所对的边分别为 a，b，c，asin Asin Bbcos2A 2a， 则b a_. (2)在ABC 中， 内角 A， B， C 所对的边分别是 a， b， c.若 c2(ab)26， C 3， 则ABC 的面积是_ 53 答案 (1) 2 (2)3 2 3 解析 (1)因为 asin Asin Bbcos2A 2a， 由正弦定理得 sin2Asin Bsin Bcos2A 2sin A，即 sin B 2sin A，即sin B sin A 2， b a sin B sin A 2. (2)c2(ab)26，c2a2b22ab6.C 3，c 2a2b22abcos 3a 2b2ab. 由得 ab6.SABC1 2absin C 1 2 6 3 2 3 3 2 . 热点三 正、余弦定理的实际应用 例 3 如图，游客从某旅游景区的景点 A 处下山至 C 处有两种路径一种是从 A 沿直线步行到 C，另一 种是先从 A 沿索道乘缆车到 B，然后从 B 沿直线步行到 C.现有甲、乙两位游客从 A 处下山，甲沿 AC 匀速 步行，速度为 50 m/min.在甲出发 2 min 后，乙从 A 乘缆车到 B，在 B 处停留 1 min 后，再从 B 匀速步行到 C.假设缆车匀速直线运动的速度为 130 m/min，山路 AC 长为 1 260 m，经测量 cos A12 13， cos C 3 5. (1)求索道 AB 的长； (2)问：乙出发多少分钟后，乙在缆车上与甲的距离最短？ (3)为使两位游客在 C 处互相等待的时间不超过 3 分钟，乙步行的 速度应控制在什么范围内？ 思维启迪 (1)直接求 sin B， 利用正弦定理求 AB.(2)利用余弦定理和函数思想， 将甲乙距离表示为乙出发后 时间 t 的函数(3)利用正弦定理求 BC，将两位游客互相等待的时间不超过 3 分钟用不等式表示 解 (1)在ABC 中，因为 cos A12 13，cos C 3 5，所以 sin A 5 13，sin C 4 5. 从而 sin Bsin(AC)sin(AC)sin Acos Ccos Asin C 5 13 3 5 12 13 4 5 63 65. 由正弦定理 AB sin C AC sin B，得 AB AC sin B sin C 1 260 63 65 4 51 040(m)所以索道 AB 的长为 1 040 m. (2)假设乙出发 t 分钟后，甲、乙两游客距离为 d，此时，甲行走了(10050t)m，乙距离 A 处 130t m， 所以由余弦定理得 d2(10050t)2(130t)22 130t (10050t) 12 13200(37t 270t50)， 由于 0t1 040 130 ，即 0t8，故当 t35 37 min 时，甲、乙两游客距离最短 (3)由正弦定理 BC sin A AC sin B，得 BC AC sin B sin A 1 260 63 65 5 13500(m) 乙从 B 出发时，甲已走了 50 (281)550(m)，还需走 710 m 才能到达 C. 设乙步行的速度为 v m/min，由题意得3500 v 710 50 3，解得1 250 43 v625 14 ， 所以为使两位游客在 C 处互相等待的时间不超过 3 min， 乙步行的速度应控制在 1 250 43 ，625 14 (单位：m/min)范围内 54 思维升华 求解三角形的实际问题，首先要准确理解题意，分清已知与所求，关注应用题中的有关专业名 词、术语，如方位角、俯角等；其次根据题意画出其示意图，示意图起着关键的作用；再次将要求解的问 题归结到一个或几个三角形中，通过合理运用正、余弦定理等有关知识建立数学模型，从而正确求解，演 算过程要简练，计算要准确；最后作答 如图，中国渔民在中国南海黄岩岛附近捕鱼作业，中国海监船在 A 地侦察发现，在南偏东 60 方向的 B 地，有一艘某国军舰正以每小时 13 海里的速 度向正西方向的 C 地行驶，企图抓捕正在 C 地捕鱼的中国渔民此时，C 地位于 中国海监船的南偏东 45 方向的 10 海里处，中国海监船以每小时 30 海里的速度 赶往 C 地救援我国渔民，能不能及时赶到？( 21.41， 31.73， 62.45) 解 如图，过点 A 作 ADBC，交 BC 的延长线于点 D. 因为CAD45 ，AC10 海里，所以ACD 是等腰直角三角形 所以 ADCD 2 2 AC 2 2 105 2(海里) 在 RtABD 中， 因为DAB60 ， 所以 BDAD tan 60 5 2 35 6(海里) 所以 BCBDCD(5 65 2)(海里) 因为中国海监船以每小时 30 海里的速度航行，某国军舰正以每小时 13 海里的速度航行， 所以中国海监船到达 C 点所用的时间 t1AC 30 10 30 1 3(小时)，某国军舰到达 C 点所用的时间 t2BC 13 5 ( 6 2) 13 5 (2.451.41) 13 0.4(小时)因为1 30.4，所以中国海监船能及时赶到 真题感悟 1(2013 浙江改编)已知 R，sin 2cos 10 2 ，则 tan 2_. 答案 3 4 解析 sin 2cos 10 2 ，sin24sin cos 4cos25 2. 用降幂公式化简得：4sin 23cos 2，tan 2sin 2 cos 2 3 4. 2若ABC 的内角满足 sin A 2sin B2sin C，则 cos C 的最小值是_ 解析 由 sin A 2sin B2sin C，结合正弦定理得 a 2b2c. 由余弦定理得 cos Ca 2b2c2 2ab a2b2a 2b 2 4 2ab 3 4a 21 2b 2 2ab 2 2ab 2 3 4a 2 1 2b 2 2ab 2 2ab 6 2 4 ，故 6 2 4 cos C1，且 3a22b2时取“”故 cos C 的最小值为 6 2 4 . 押题精练 55 1在ABC 中，已知 tan AB 2 sin C，给出以下四个结论：tan A tan B1；1sin Asin B 2； sin2Acos2B1；cos2Acos2Bsin2C.其中一定正确的是_ 答案 解析 依题意，tan AB 2 sin AB 2 cos AB 2 2sin AB 2 cos AB 2 2cos2AB 2 sin(AB) 1cos(AB) sin C 1cos(AB)sin C. sin C0，1cos(AB)1，cos(AB)0. 0AB，AB 2，即ABC 是以角 C 为直角的直角三角形 对于，由tan A tan B1，得 tan Atan B，即 AB，不一定成立，故不正确； 对于，AB 2，sin Asin Bsin Acos A 2sin(A 4)，1sin Asin B 2，故正确； 对于，AB 2，sin 2Acos2Bsin2Asin2A2sin2A，其值不确定，故不正确； 对于，AB 2，cos 2Acos2Bcos2Asin2A1sin2C，故正确 2在ABC 中，角 A，B，C 所对的边分别为 a，b，c，q(2a,1)，p(2bc，cos C)，且 qp. (1)求 sin A 的值； (2)求三角函数式2cos 2C 1tan C 1 的取值范围 解 (1)q(2a,1)，p(2bc，cos C)且 qp，2bc2acos C， 由正弦定理得 2sin Acos C2sin Bsin C，又 sin Bsin(AC)sin Acos Ccos Asin C， 1 2sin Ccos Asin C.sin C0，cos A 1 2，又0A，A 3，sin A 3 2 . (2)原式2cos 2C 1tan C 112(cos 2Csin2C) 1sin C cos C 12cos2C2sin Ccos Csin 2Ccos 2C 2sin(2C 4)， 0C2 3， 42C 4 13 12， 2 2 sin(2C 4)1，1 2sin(2C 4) 2， 即三角函数式2cos 2C 1tan C 1 的取值范围为(1， 2 一、填空题 1 为了得到函数 ysin 3xcos 3x 的图象， 可以将函数 y 2cos 3x 的图象向_平移_个单位 答案 右 12 解析 因为 ysin 3xcos 3x 2sin(3x 4) 2sin3(x 12)， 56 又 y 2cos 3x 2sin(3x 2) 2sin3(x 6)，所以应由 y 2cos 3x 的图象向右平移 12个单位得到 2已知 ( 2，)，sin( 4) 3 5，则 cos _. 答案 2 10 解析 ( 2，) 4( 3 4， 5 4)sin( 4) 3 5，cos( 4) 4 5， cos cos( 4 4)cos( 4)cos 4sin( 4)sin( 4) 4 5 2 2 3 5 2 2 2 10. 3在ABC 中，若sin C sin A3，b 2a25 2ac，则 cos B 的值为_ 答案 1 4 解析 由正弦定理得 c a sin C sin A3， 由余弦定理得cos B a2c2b2 2ac c25 2ac 2ac 1 2 c a 5 4 3 2 5 4 1 4. 4 设ABC 的内角 A， B， C 所对的边分别为 a， b， c， 若 bcos Cccos Basin A， 则ABC 的形状为_ 答案 直角三角形 解析 由 bcos Cccos Basin A，得 sin Bcos Csin Ccos Bsin2A，即 sin(BC) sin2A，所以 sin A1，由 0A，得 A 2，所以ABC 为直角三角形 5已知 tan 4 3，sin() 5 13，其中 ，(0，)，则 sin 的值为_ 答案 63 65 解析 依题意得 sin 4 5， cos 3 5.注意到 sin() 5 13 2(否则， 若 2， 则有 0 2，0sin sin()，这与“sin()sin ”矛盾)， 则 cos()12 13，sin sin()sin()cos cos()sin 63 65. 6已知ABC 中，角 A、B、C 的对边分别是 a、b、c，且 tan B 2 3 a2b2c2，BC BA1 2，则 tan B 等于 _ 答案 2 3 解析 由题意得，BC BA|BC| |BA|cos Baccos B1 2，即 cos B 1 2ac， 由余弦定理，得 cos Ba 2c2b2 2ac 1 2aca 2c2b21，所以 tan B 2 3 a2b2c22 3. 7已知 tan 4 1 2，且 20，则 2sin2sin 2 cos 4 _. 答案 2 5 5 解析 由 tan 4 tan 1 1tan 1 2，得 tan 1 3.又 20，可得 sin 10 10 . 故2sin 2sin 2 cos 4 2sin (sin cos ) 2 2 (sin cos ) 2 2sin 2 5 5 . 8在ABC 中，内角 A、B、C 的对边长分别为 a、b、c，已知 a2c22b，且 sin Acos C3cos Asin C， 则 b_. 57 答案 4 解析 由 sin Acos C3cos Asin C 得 a 2R a2b2c2 2ab 3 b2c2a2 2bc c 2R， 所以 a2b2c23(b2c2a2)，a2c2b 2 2 ，解方程组 a2c22b a2c2b 2 2 ，得 b4. 9已知 0 2，cos( 4) 1 3，sin() 4 5，则 cos( 4)_. 答案 8 23 15 解析 因为 0 2，所以 4 4 3 4 ， 20，cos()0. 因为 cos( 4) 1 3，sin() 4 5，所以 sin( 4) 2 2 3 ，cos()3 5. 所以 cos( 4)cos()( 4)cos()cos( 4)si