江苏启东数学大一轮讲义六解析几何第2讲椭圆、双曲线、抛物线pdf

127 专题六 解析几何 专题六 解析几何 第第 2 讲 椭圆、双曲线、抛物线讲 椭圆、双曲线、抛物线 总序总序 16 考情解读 (1)以填空题的形式考查，主要考查圆锥曲线的标准方程、性质(特别是离心率)，以及圆锥曲线 之间的关系，突出考查基础知识、基本技能，属于基础题(2)以解答题的形式考查，主要考查圆锥曲线的 定义、性质及标准方程的求解，直线与圆锥曲线的位置关系，常常在知识的交汇点处命题，有时以探究的 形式出现，有时以证明题的形式出现该部分题目多数为综合性问题，考查分析问题、解决问题的能力， 综合运用知识的能力等，属于中、高档题，一般难度较大 热点一 圆锥曲线的定义与标准方程 例 1 若椭圆 C：x 2 9 y2 21 的焦点为 F1，F2，点 P 在椭圆 C 上，且 PF24 则F1PF2_. (2)已知抛物线 x22py(p0)的焦点与双曲线 x2y21 2的一个焦点重合， 且在抛物线上有一动点 P 到 x 轴 的距离为 m，P 到直线 l：2xy40 的距离为 n，则 mn 的最小值为_ 思维启迪 (1)PF1F2中利用余弦定理求F1PF2； (2)根据抛物线定义得 mPF1.再利用数形结合求最值 答案 (1)120 (2) 51 解析 (1)由题意得 a3，c 7，所以 PF12. 在F2PF1中，由余弦定理可得 cosF2PF14 2222 72 242 1 2. 又因为 cosF2PF1(0 ，180 )，所以F2PF1120 . (2)易知 x22py(p0)的焦点为 F(0,1)，故 p2，因此抛物线方程为 x24y. 根据抛物线的定义可知 mPF1，设 PHn(H 为点 P 到直线 l 所作垂线的垂足)， 因此 mnPF1PH.易知当 F，P，H 三点共线时 mn 最小， 因此其最小值为 FH1|14| 5 1 51. 思维升华 (1)对于圆锥曲线的定义不仅要熟记， 还要深入理解细节部分： 比如椭圆的定义中要求 PF1PF2 F1F2，双曲线的定义中要求|PF1PF2|F1F2，抛物线上的点到焦点的距离与到准线的距离相等的转化 (2)注意数形结合，画出合理草图 (1)已知椭圆 C：x 2 a2 y2 b21(ab0)的离心率为 3 2 .双曲线 x2y21 的 渐近线与椭圆 C 有四个交点，以这四个交点为顶点的四边形的面积为 16，则椭圆 C 的方程为_ 128 (2)如图，过抛物线 y22px(p0)的焦点 F 的直线交抛物线于点 A，B，交其准线 l 于点 C，若 BC2BF，且 AF3，则此抛物线的方程为_ 答案 (1)x 2 20 y2 51 (2)y 23x 解析 (1)椭圆的离心率为 3 2 ，c a a2b2 a 3 2 ， a2b.椭圆方程为 x24y24b2.双曲线 x2y21 的渐近线方程为 x y0， 渐近线 x y0 与椭圆 x24y24b2在第一象限的交点为 2 5 5 b，2 5 5 b ， 由圆锥曲线的对称性得四边形在第一象限部分的面积为2 5 5 b 2 5 5 b4， b25，a24b220.椭圆 C 的方程为x 2 20 y2 51. (2)如图，分别过 A，B 作 AA1l 于 A1，BB1l 于 B1， 由抛物线的定义知，AFAA1，BFBB1，BC2BF，BC2BB1， BCB130 ，A1AF60 .连结 A1F，则A1AF 为等边三角形， 过 F 作 FF1AA1于 F1，则 F1为 AA1的中点， 设 l 交 x 轴于 N，则 NFA1F11 2AA1 1 2AF，即 p 3 2，抛物线方程为 y 23x. 热点二 圆锥曲线的几何性质 例 2 (1)已知离心率为 e 的双曲线和离心率为 2 2 的椭圆有相同的焦点 F1，F2，P 是两曲线的一个公共点， 若F1PF2 3，则 e_. (2)设 F1，F2分别是椭圆x 2 a2 y2 b21 (ab0)的左，右焦点，若在直线 x a2 c 上存在点 P，使线段 PF1的中垂 线过点 F2，则椭圆的离心率的取值范围是_ 思维启迪 (1)在F1F2P 中利用余弦定理列方程，然后利用定义和已知条件消元；(2)可设点 P 坐标为(a 2 c ， y)，考察 y 存在的条件 答案 (1) 6 2 (2) 3 3 ，1) 解析 (1)设椭圆的长半轴长为 a1，双曲线的实半轴长为 a2， 焦距为 2c，PF1m，PF2n，且不妨设 mn，由 mn2a1，mn2a2得 ma1a2，na1a2. 又F1PF2 3，4c 2m2n2mna2 13a22，a 2 1 c2 3a22 c2 4，即 1 2 2 2 3 e24，解得 e 6 2 . (2)设 P a2 c ，y ，线段 F1P 的中点 Q 的坐标为 b2 2c， y 2 ， 当 kQF2存在时，则 kF1P cy a2c2，kQF2 cy b22c2， 由 kF1P kQF21，得 y2a 2c2 2c2b2 c2 ，y20， 129 但注意到 b22c20，即 2c2b20，即 3c2a20，即 e21 3，故 3 3 e0)的右焦点为 F，以 OF 为直径作圆交双曲线 的渐近线于异于原点的两点 A、B，若(AO AF ) OF 0，则双曲线的离心率 e_. (2)(2014 课标全国改编)已知 F 为双曲线 C：x2my23m(m0)的一个焦点，则点 F 到 C 的一条渐近线 的距离为_ 3 3 3 m 3 m 答案 (1) 2 (2) 解析 (1)设 OF的中点为 C，则AO AF 2AC， 由题意得， 2AC OF 0，ACOF，AOAF，又OAF90 ，AOF45 ， 即双曲线的渐近线的倾斜角为 45 ，b atan 45 1，则双曲线的离心率 e 1b a 2 2. (2)双曲线 C 的标准方程为 x2 3m y2 31(m0)，其渐近线方程为 y 3 3mx m m x，即 my x， 不妨选取右焦点 F( 3m3，0)到其中一条渐近线 x my0 的距离求解，得 d 3m3 1m 3. 热点三 直线与圆锥曲线 例 3 过椭圆x 2 a2 y2 b21(ab0)的左顶点 A 作斜率为 2 的直线，与椭圆的另一个交点为 B，与 y 轴的交点 为 C，已知AB 6 13BC . (1)求椭圆的离心率； (2)设动直线 ykxm 与椭圆有且只有一个公共点 P，且与直线 x4 相交于点 Q，若 x 轴上存在一定点 M(1,0)，使得 PMQM，求椭圆的方程 思维启迪 (1)根据AB 6 13BC 和点 B 在椭圆上列关于 a、b 的方程；(2)联立直线 ykxm 与椭圆方程，利 用 0，PM QM 0 求解 解 (1)A(a,0)，设直线方程为 y2(xa)，B(x1，y1)，令 x0，则 y2a，C(0,2a)， AB (x 1a，y1)，BC (x1,2ay1)， 130 AB 6 13BC ，x 1a 6 13(x1)，y1 6 13(2ay1)，整理得 x1 13 19a，y1 12 19a， 点 B 在椭圆上，(13 19) 2(12 19) 2 a2 b21， b2 a2 3 4， a2c2 a2 3 4，即 1e 23 4，e 1 2. (2)b 2 a2 3 4，可设 b 23t，a24t，椭圆的方程为 3x24y212t0， 由 3x24y212t0 ykxm ，得 (34k2)x28kmx4m212t0， 动直线 ykxm 与椭圆有且只有一个公共点 P， 0，即 64k2m24(34k2)(4m212t)0，整理得 m23t4k2t， 设 P(x1，y1)则有 x1 8km 234k2 4km 34k2， y1kx1m 3m 34k2，P( 4km 34k2， 3m 34k2)， 又 M(1,0)，Q(4,4km)，x 轴上存在一定点 M(1,0)，使得 PMQM， (1 4km 34k2， 3m 34k2) (3，(4km)0 恒成立，整理得 34k 2m2. 34k23t4k2t 恒成立，故 t1.椭圆的方程为x 2 4 y2 31. 思维升华 待定系数法是求圆锥曲线方程的基本方法；解决直线与圆锥曲线问题的通法是联立方程，利用 根与系数的关系，设而不求思想，弦长公式等简化计算；涉及中点弦问题时，也可用“点差法”求解 已知椭圆 C：x 2 a2 y2 b21(ab0)的焦距为 2，且过点(1， 2 2 )，右焦点为 F2.设 A，B 是 C 上的 两个动点，线段 AB 的中点 M 的横坐标为1 2，线段 AB 的中垂线交椭圆 C 于 P，Q 两点 (1)求椭圆 C 的方程； (2)求F2P F2Q 的取值范围 解 (1)因为焦距为 2，所以 a2b21.因为椭圆 C 过点(1， 2 2 )，所以 1 a2 1 2b21.故 a 22，b21. 所以椭圆 C 的方程为x 2 2y 21. (2)由题意，得当直线 AB 垂直于 x 轴时，直线 AB 的方程为 x1 2， 此时 P( 2，0)，Q( 2，0)，得F2P F2Q 1. 当直线 AB 不垂直于 x 轴时，设直线 AB 的斜率为 k(k0)，M(1 2，m)(m0)，A(x1，y1)，B(x2，y2)， 由 x21 2y 2 11， x22 2y 2 21， 得(x1x2)2(y1y2) y1y2 x1x20，则14mk0，故 4mk1. 此时，直线 PQ 的斜率为 k14m， 直线 PQ 的方程为 ym4m(x1 2)即 y4mxm. 131 联立 y4mxm， x2 2y 21 消去 y，整理得(32m21)x216m2x2m220. 设 P(x3，y3)，Q(x4，y4)，所以 x3x4 16m2 32m21，x3x4 2m22 32m21. 于是F2P F2Q (x31)(x41)y3y4x3x4(x3x4)1(4mx3m)(4mx4m) (4m21)(x3x4)(16m21)x3x4m21 4m 2116m2 32m21 116m 22m22 32m21 1m219m 21 32m21. 由于 M(1 2，m)在椭圆的内部，故 0m 27 8，令 t32m 21,1t29，则F2P F2Q 19 32 51 32t. 又 1t29，所以10，b0)的左焦点 F，且与双曲线的右支 交于点 P，若OE 1 2(OF OP )，则双曲线的离心率是_ 答案 26 4 解析 如图所示，设双曲线的右焦点为 H，连结 PH， 由题意可知 OEa 4，由OE 1 2(OF OP )，可知 E 为 FP 的中点 由双曲线的性质，可知 O 为 FH 的中点， 所以 OEPH，且 OE1 2PH，故 PH2OE a 2. 由双曲线的定义，可知 PFPH2a(P 在双曲线的右支上)，所以 PF2aPH5a 2 . 因为直线 l 与圆相切，所以 PFOE.又 OEPH，所以 PFPH.在PFH 中，FH2PH2PF2， 即(2c)2(a 2) 2(5a 2 )2，整理得c a 26 4 ，即 e 26 4 . 2设椭圆x 2 a2 y2 b21(ab0)的左、右顶点分别为 A、B，点 P 在椭圆上且异于 A、B 两点，O 为坐标原点 (1)若直线 AP 与 BP 的斜率之积为1 2，求椭圆的离心率； (2)若 APOA，证明：直线 OP 的斜率 k 满足|k| 3. (1)解 设点 P 的坐标为(x0，y0)，y00.由题意，有x 2 0 a2 y20 b21. 由 A(a,0)，B(a,0)，得 kAP y0 x0a，kBP y0 x0a.由 kAP kBP 1 2，可得 x 2 0a22y20， 代入并整理得(a22b2)y200.由于 y00，故 a22b2.于是 e2a 2b2 a2 1 2，所以椭圆的离心率 e 2 2 . (2)证明 方法一 依题意，直线 OP 的方程为 ykx，设点 P 的坐标为(x0，y0) 由条件得 y0kx0， x20 a2 y20 b21. 消去 y0并整理，得 x20 a2b2 k2a2b2， 由 APOA，A(a,0)及 y0kx0，得(x0a)2k2x20a2.整理得(1k2)x202ax00. 而 x00，于是 x02a 1k2，代入，整理得(1k 2)24k2 a b 24. 又 ab0，故(1k2)24k24，即 k214，因此 k23，所以|k| 3. 方法二 依题意，直线 OP 的方程为 ykx，可设点 P 的坐标为(x0，kx0) 133 由点 P 在椭圆上，有x 2 0 a2 k2x20 b2 1.因为 ab0，kx00，所以x 2 0 a2 k2x20 a2 1，即(1k2)x20 3. 一、填空题 1已知椭圆x 2 4 y2 b21(00)以及双曲线 y2 a2 x2 b21 的渐近线将第一象限三等分，则双曲线 x2 a2 y2 b21 的离心率为_ 答案 2 或2 3 3 解析 由题意，可知双曲线x 2 a2 y2 b21 的渐近线的倾斜角为 30 或 60 ，则 b a 3 3 或 3. 则 ec a c2 a2 1b a 22 3 3 或 2. 3已知双曲线x 2 a2 y2 b21(a0，b0)的一条渐近线方程是 y 3x，它的一个焦点在抛物线 y 224x 的准线 上，则双曲线的方程为_ 答案 x2 9 y2 271 解析 因为双曲线 x2 a2 y2 b21(a0，b0)的一条渐近线方程是 y 3x， 可设双曲线的方程为 x2y 2 3(0) 因为双曲线x 2 a2 y2 b21(a0，b0)的一个焦点在抛物线 y 224x 的准线上， 所以 F(6,0)是双曲线的左焦点，即 336，9，所以双曲线的方程为x 2 9 y2 271. 4已知椭圆y 2 a2 x2 b21 (ab0)，A(4,0)为长轴的一个端点，弦 BC 过椭圆的中心 O， 且AC BC0，|OB OC |2|BC BA|，则其焦距为_ 答案 8 6 3 解析 由题意，可知|OC |OB |1 2|BC |，且 a4，又|OB OC |2|BC BA|， 所以，|BC |2|AC|.故|OC |AC |.又AC BC0，所以ACBC. 134 故OAC 为等腰直角三角形，|OC |AC |2 2. 不妨设点 C 在第一象限，则点 C 的坐标为(2,2)，代入椭圆的方程，得2 2 42 22 b21，解得 b 216 3 . 所以 c2a2b24216 3 32 3 ，c4 6 3 .故其焦距为 2c8 6 3 . 5设 F 为抛物线 C：y23x 的焦点，过 F 且倾斜角为 30 的直线交 C 于 A，B 两点，O 为坐标原点，则 OAB 的面积为_ 答案 9 4 解析 由已知得焦点坐标为 F( 3 4，0)，因此直线 AB 的方程为 y 3 3 (x3 4)，即 4x4 3y30. 方法一 联立抛物线方程，化简得 4y212 3y90，故|yAyB| yAyB24yAyB6. 因此 SOAB1 2OF|yAyB| 1 2 3 4 6 9 4. 方法二 联立方程得 x221 2 x 9 160，故 xAxB 21 2 . 根据抛物线的定义有 ABxAxBp21 2 3 212， 同时原点到直线 AB 的距离为 h |3| 424 32 3 8，因此 SOAB 1 2AB h 9 4. 6椭圆 M：x 2 a2 y2 b21(ab0)的左、右焦点分别为 F1、F2，P 为椭圆 M 上任一点，且PF 1 PF 2的最大值的 取值范围是c2,3c2，其中 c a2b2，则椭圆 M 的离心率 e 的取值范围是_ 答案 1 2， 2 2 解析 设 P(x，y)，F1(c,0)，F2(c,0)，则PF1 (cx，y)，PF2 (cx，y)， PF1 PF2 x2y2c2.又 x2y2可看作 P(x，y)到原点的距离的平方， 所以(x2y2)maxa2，所以(PF1 PF2 )maxb2，所以 c2b2a2c23c2，即1 4e 21 2，所以 1 2e 2 2 . 7(2014 北京)设双曲线 C 经过点(2,2)，且与y 2 4x 21 具有相同渐近线，则 C 的方程为_；渐近线 方程为_ 答案 x2 3 y2 121 y 2x 解析 设双曲线 C 的方程为 y2 4x 2，将点(2,2)代入上式，得 3， C 的方程为x 2 3 y2 121，其渐近线方程为 y 2x. 8已知点 P(0,2)，抛物线 C：y22px(p0)的焦点为 F，线段 PF 与抛物线 C 的交点为 M，过 M 作抛物线 准线的垂线，垂足为 Q，若PQF90 ，则 p_. 答案 2 解析 由抛物线的定义可得 MQMF，F(p 2，0)，又 PQQF，故 M 为线段 PF 的中点， 所以 M(p 4，1)，把 M( p 4，1)，代入抛物线 y 22px(p0)得，12pp 4，解得 p 2，故答案为 2. 9抛物线 C 的顶点在原点，焦点 F 与双曲线x 2 3 y2 61 的右焦点重合，过点 P(2,0)且斜率为 1 的直线 l 与 135 抛物线 C 交于 A，B 两点，则弦 AB 的中点到抛物线准线的距离为_ 答案 11 解析 因为双曲线x 2 3 y2 61 的右焦点坐标是(3,0)所以 p 23，所以 p6. 即抛物线的标准方程为 y212x.设过点 P(2,0)且斜率为 1 的直线 l 的方程为 yx2， 联立 y212x 消去 y 可得 x216x40，设 A(x1，y1)，B(x2，y2)，则 x1x216， 所以弦 AB 的中点到抛物线准线的距离为x 1x2p 2 166 2 11.故填 11. 10已知 F1，F2是双曲线x 2 a2 y2 b21(a0，b0)的左，右焦点，点 P 在双曲线上且不与顶点重合，过 F2作 F1PF2的角平分线的垂线，垂足为 A.若 OA b，则该双曲线的离心率为_ 答案 2 解析 延长 F2A 交 PF1于 B 点，则 PBPF2，依题意可得 BF1PF1PF22a. 又因为点 A 是 BF2的中点所以得到 OA1 2BF1，所以 ba.，所以 c 2a.所以离心率为 2. 二、解答题 11已知曲线 C 上的动点 P(x，y)满足到定点 A(1,0)的距离与到定点 B(1,0)的距离之比为 2. (1)求曲线 C 的方程； (2)过点 M(1,2)的直线 l 与曲线 C 交于两点 M、N，若 MN4，求直线 l 的方程 解 (1)由题意得 PA 2PB，故x12y2 2 x12y2， 化简得：x2y26x10(或(x3)2y28)即为所求 (2)当直线 l 的斜率不存在时，直线 l 的方程为 x1.将 x1 代入方程 x2y26x10 得 y 2， 所以 MN4，满足题意当直线 l 的斜率存在时，设直线 l 的方程为 ykxk2， 由圆心到直线的距离 d2|3kk2| 1k2 ，解得 k0，此时直线 l 的方程为 y2. 综上所述，满足题意的直线 l 的方程为 x1 或 y2. 12设 F1，F2分别是椭圆 E：x 2 a2 y2 b21(ab0)的左，右焦点，过 F1 且斜率为 1 的直线 l 与 E 相交于 A，B 两点，且 AF2，AB，BF2成等差数列 (1)求 E 的离心率； (2)设点 P(0，1)满足 PAPB，求 E 的方程 解 (1)由椭圆定义知 AF2BF2AB4a，因为 2ABAF2BF2，所以 AB4 3a. l 的