江苏启东数学大一轮讲义二函数与导数第1讲函数、基本初等函数的图像与性质pdf

17 专题二 函数与导数 专题二 函数与导数 第第 1 讲 函数、基本初等函数的图象与性质讲 函数、基本初等函数的图象与性质 总序总序 3 考情解读 (1)高考对函数的三要素，函数的表示方法等内容的考查以基础知识为主，难度中等偏下(2) 函数图象和性质是历年高考的重要内容，也是热点内容，对图象的考查主要有两个方面：一识图，二用图， 即利用函数的图象，通过数形结合的思想解决问题；对函数性质的考查，则主要是将单调性、奇偶性、周 期性等综合一起考查，既有具体函数也有抽象函数常以填空题的形式出现，且常与新定义问题相结合， 难度较大 热点一 函数的性质及应用 例 1 (1)已知偶函数 f(x)在0，)单调递减，f(2)0.若 f(x1)0，则 x 的取值范围是_ (2)设奇函数 yf(x) (xR)，满足对任意 tR 都有 f(t)f(1t)，且 x 0，1 2 时，f(x)x2， 则 f(3)f 3 2 _. 思维启迪 (1)利用数形结合， 通过函数的性质解不等式； (2)利用 f(x)的性质和 x0， 1 2时的解析式探求 f(3) 和 f(3 2)的值 答案 (1)(1,3) (2)1 4 解析 (1)f(x)是偶函数，图象关于 y 轴对称 又 f(2)0，且 f(x)在0，)单调递减，则 f(x)的大致图象如图所示， 由 f(x1)0，得2x12，即1x3. (2)根据对任意 tR 都有 f(t)f(1t)可得 f(t)f(1t)，即 f(t1)f(t)， 进而得到 f(t2)f(t1)f(t)f(t)，得函数 yf(x)的一个周期为 2， 故 f(3)f(1)f(01)f(0)0，f 3 2 f 1 2 1 4.所以 f(3)f 3 2 0 1 4 1 4. 思维升华 函数的性质主要是函数的奇偶性、单调性和周期性以及函数图象的对称性，在解题中根据问题 的条件通过变换函数的解析式或者已知的函数关系，推证函数的性质，根据函数的性质解决问题 (1)已知函数 f(x)ax3bsin x4(a，bR)，f(lg(log210)5，则 f(lg(lg 2)_. (2)已知函数 f(x)x3x，对任意的 m2,2，f(mx2)f(x)0 恒成立，则 x 的取值范围为_ 答案 (1)3 (2) 2，2 3 解析 (1)lg(log210)lg 1 lg 2 lg(lg 2)，由 f(lg(log210)5， 得 alg(lg 2)3bsin(lg(lg 2)451，则 f(lg(lg 2)a(lg(lg 2)3bsin(lg(lg 2)4143. (2)易知 f(x)为增函数又 f(x)为奇函数，由 f(mx2)f(x)0 知， f(mx2)f(x) 18 mx2x，即 mxx20，令 g(m)mxx2，由 m2,2知 g(m)0 恒成立， 即 g(2)x20， g(2)3x20， 21 时，f(x2)f(x1)(x2x1)ac 解析 (1)函数的定义域为x|x1， 其图象可由 y10ln|x| x 的图象沿 x 轴向左平移 1 个单位而得到，y10ln|x| x 为奇函数，图象关于原点对称， 所以，y10ln|x1| x1 的图象关于点(1,0)成中心对称所以不可能是； 又 x0 时，y10ln|x1| x1 0，所以不可能是，图象可能是 (2)由于函数 f(x)的图象向左平移 1 个单位后得到的图象关于 y 轴对称， 故函数 yf(x)的图象本身关于直线 x1 对称，所以 af(1 2)f( 5 2)， 当 x2x11 时，f(x2)f(x1)(x2x1)ac. 思维升华 (1)作图：常用描点法和图象变换法图象变换法常用的有平移变换、伸缩变换和对称变换尤 其注意 yf(x)与 yf(x)、yf(x)、yf(x)、yf(|x|)、y|f(x)|及 yaf(x)b 的相互关系 (2)识图：从图象与轴的交点及左、右、上、下分布范围、变化趋势、对称性等方面找准解析式与图象的对 应关系 (3)用图：图象形象地显示了函数的性质，因此，函数性质的确定与应用及一些方程、不等式的求解常与图 象数形结合研究 (1)已知函数 f(x) x22x，x0， ln(x1)，x0. 若|f(x)|ax，则 a 的取值范围是_ (2)形如 y b |x|a(a0，b0)的函数，因其图象类似于汉字中的“囧”字，故我们把它称为“囧函数” 若当 a1，b1 时的“囧函数”与函数 ylg |x|图象的交点个数为 n，则 n_. 19 答案 (1)2,0 (2)4 解析 (1)函数 y|f(x)|的图象如图 当 a0 时，|f(x)|ax 显然成立 当 a0 时，只需在 x0 时，ln(x1)ax 成立 比较对数函数与一次函数 yax 的增长速度 显然不存在 a0 使 ln(x1)ax 在 x0 上恒成立 当 a0 时，只需在 x0，则下面结论正确的是_ ；0；2. 思维启迪 (1)可利用函数图象或分类讨论确定 a 的范围；(2)构造函数 f(x)xsin x，利用 f(x)的单调性 答案 (1)(1,0)(1，) (2) 解析 (1)方法一 由题意作出 yf(x)的图象如图 显然当 a1 或10 时，log2alog1 2a，即 log 2a0，a1. 当 alog 2(a)，即 log2(a)0，1a0，sin sin ，|，22. 思维升华 (1)指数函数、对数函数、幂函数和三角函数是中学阶段所学的基本初等函数，是高考的必考内 容之一，重点考查图象、性质及其应用，同时考查分类讨论、等价转化等数学思想方法及其运算(2)比较 数式大小问题，往往利用函数图象或者函数的单调性 (1)设1 5( 1 5) b(1 5) a1，那么 aa，ba，ab的大小关系式是_ 20 (2)已知函数 f(x)2x 1 2x，函数 g(x) f(x)，x0， f(x)，x0， 则函数 g(x)的最小值是_ 答案 (1)abaaba (2)0 解析 (1)因为指数函数 y(1 5) x在(，)上是递减函数， 所以由1 5( 1 5) b(1 5) a1，得 0ab1，所以 0a b1. 所以 yax，ybx，y(a b) x在(，)上都是递减函数，从而 abaa，(a b) aaa，故 abaaba. (2)当 x0 时，g(x)f(x)2x 1 2x为单调增函数，所以 g(x)g(0)0； 当 xg(0)0，所以函数 g(x)的最小值是 0. 真题感悟 1 (2014 安徽)若函数 f(x)(xR)是周期为 4 的奇函数，且在0,2上的解析式为 f(x) x(1x)，0x1， sin x，10，且 a1)的图象过(3,1)点，可解得 a3. 图象中，y3 x(1 3) x，显然图象错误；图象中，yx3，由幂函数图象可知正确； 图象中，y(x)3x3，显然与所画图象不符； 图象中，ylog3(x)的图象与 ylog3x 的图象关于 y 轴对称，显然不符，故图象正确 押题精练 1已知函数 f(x)e|ln x| x1 x ，则函数 yf(x1)的大致图象为_ 21 答案 解析 据已知关系式可得 f(x) e ln x x1 x x(01)， 作出其图象然后将其向左平移 1 个单位即得函数 yf(x1)的图象 2已知函数 f(x)|log1 2x|，若 mn，有 f(m)f(n)，则 m3n 的取值范围是_ 答案 (4，) 解析 f(x)|log1 2x|，若 mn，有 f(m)f(n)，log 1 2mlog 1 2n， mn1，04. 3已知 f(x)2x1，g(x)1x2，规定：当|f(x)|g(x)时，h(x)|f(x)|；当|f(x)|g(x) 时，h(x)g(x)，则 h(x)的最小值为_ 答案 1 解析 由题意得，利用平移变化的知识画出函数|f(x)|，g(x)的图象如图， 而 h(x) |f(x)|，|f(x)|g(x)， g(x)，|f(x)|g(x)， 故 h(x)的最小值为1. 4已知定义在 R 上的偶函数满足：f(x4)f(x)f(2)，且当 x0,2时，yf(x)单调递减，给出以下四个 命题：f(2)0；x4 为函数 yf(x)图象的一条对称轴；函数 yf(x)在8,10上单调递增；若方 程 f(x)m 在6，2上的两根为 x1，x2，则 x1x28. 则所有正确命题的序号为_ 答案 解析 令 x2，得 f(2)f(2)f(2)，又函数 f(x)是偶函数，故 f(2)0，正确； 根据可得 f(x4)f(x)，可得函数 f(x)的周期是 4， 由于偶函数的图象关于 y 轴对称，故 x4 也是函数 yf(x)图象的一条对称轴，正确； 根据函数的周期性可知，函数 f(x)在8,10上单调递减，不正确； 由于函数 f(x)的图象关于直线 x4 对称，故如果方程 f(x)m 在区间6，2上的两根为 x1，x2， 则x 1x2 2 4，即 x1x28，正确故正确命题的序号为. 1设函数 f(x)x3cos x1.若 f(a)11，则 f(a)_. 答案 9 解析 令 g(x)f(x)1x3cos x，g(x)(x)3cos(x)x3cos xg(x)， g(x)为定义在 R 上的奇函数又f(a)11，g(a)f(a)110，g(a)g(a)10. 又 g(a)f(a)1，f(a)g(a)19. 2在同一直角坐标系中，函数 f(x)xa(x0)，g(x)logax 的图象可能是_ 22 答案 解析 幂函数 f(x)xa的图象不过(0,1)点，图象不正确；由对数函数 f(x)logax 图象知 00 时，f(x)lg x，则 f f 1 100 的值为_ 答案 lg 2 解析 当 x0，则 f(x)lg(x)又函数 f(x)为奇函数，f(x)f(x)， 所以当 x0 的解集为_ 答案 x|x4 解析 由于函数 f(x)是偶函数，因此有 f(|x|)f(x)，不等式 f(x2)0， 即 f(|x2|)0，f(|x2|)2|x 2|40， |x2|2， 即 x22， 由此解得 x4. f(x2)0 的解集为x|x4 6使 log2(x)0， cos x，x0，又 log 1 2alog2a 1log 2a.f(x)是 R 上的偶函数， f(log2a)f(log2a)f(log1 2a)f(log2a)f(log 1 2a)2f(1)，2f(log2a)2f(1)，即 f(log2a)f(1) 又f(x)在0，)上递增|log2a|1，1log2a1，a 1 2，2 . 23 9已知函数 f(x) 1 3e x(x2)， f(x1)(x0 恒成立，则 实数 a 的取值范围为_ 答案 a|a2 解析 f(x) x(xa)，xa， x(xa)，x0 知， 函数 yf(x)在2，)单调递增，当 a0 时，满足题意，当 a0 时，只需 a2，即 0a2， 综上所述，实数 a 的取值范围为 a2. 11设 f(x)是定义在 R 上且周期为 2 的函数，在区间1,1上，f(x) ax1，1x0， bx2 x1 ，0x1， 其中 a，bR. 若 f 1 2 f 3 2 ，则 a3b 的值为_ 答案 10 解析 因为 f(x)的周期为 2，所以 f 3 2 f 3 22 f 1 2 ，即 f 1 2 f 1 2 . 又因为 f 1 2 1 2a1，f 1 2 b 22 1 21 b4 3 ，所以1 2a1 b4 3 . 整理，得 a2 3(b1)又因为 f(1)f(1)，所以a1 b2 2 ，即 b2a. 将代入，得 a2，b4. 所以 a3b23 (4)10. 12已知定义在 R 上的函数 yf(x)满足以下三个条件：对于任意的 xR，都有 f(x4)f(x)；对于任 意的 x1，x2R，且 0x1x22，都有 f(x1)f(x2)；函数 yf(x2)的图象关于 y 轴对称则判断 f(4.5)， f(6.5)，f(7)的大小关系为 答案 f(4.5)f(7)f(6.5) 解析 由已知得 f(x)是以 4 为周期且关于直线 x2 对称的函数 所以 f(4.5)f(41 2)f( 1 2)，f(7)f(43)f(3)， f(6.5)f(4 5 2)f( 5 2)又 f(x)在0,2上为增函数 所以作出其在0,4上的图象知 f(4.5)f(7)f(6.5) 13设函数 f(x)1(1) x 2 (xZ)，给出以下三个结论： f(x)为偶函数；f(x)为周期函数；f(x1)f(x)1，其中正确结论的序号是_ 答案 解析 对于 xZ，f(x)的图象为离散的点，关于 y 轴对称，正确；f(x)为周期函数，T2， 正确；f(x1)f(x)1(1) x1 2 1(1) x 2 1(1) x1(1)x 2 1，正确 14能够把圆 O：x2y216 的周长和面积同时分为相等的两部分的函数称为圆 O 的“和谐函数”，下列函 24 数f(x)exe x；f(x)ln5x 5x；f(x)tan x 2；f(x)4x 3x.是圆 O 的“和谐函数”的是_ 答案 解析 由“和谐函