江苏启东数学大一轮讲义五立体几何第2讲空间中的平行于垂直pdf

99 专题五 立体几何 专题五 立体几何 第第 2 讲 空间中的平行与垂直讲 空间中的平行与垂直 总序总序 13 考情解读 (1)以填空题的形式考查，主要利用平面的基本性质及线线、线面和面面的判定与性质定理对 命题的真假进行判断，属基础题(2)以解答题的形式考查，主要是对线线、线面与面面平行和垂直关系交 汇综合命题，且多以棱柱、棱锥、棱台或其简单组合体为载体进行考查，难度中等 热点一 空间线面位置关系的判定 例 1 (1)设 a，b 表示直线， 表示不同的平面，则下列命题中正确的是_ 若 a 且 ab，则 b；若 且 ，则 若 a 且 a，则 ；若 且 ，则 (2)“直线 l 垂直于ABC 的边 AB，AC”是“直线 l 垂直于ABC 的边 BC”的_条件(填“充要”、“充 分不必要”、“必要不充分”或“既不充分也不必要”) 思维启迪 判断空间线面关系的基本思路：利用定理或结论；借助实物模型作出肯定或否定 答案 (1) (2)充分不必要 解析 (1)：应该是 b 或 b； ：如果是墙角出发的三个面就不符合题意； ：m，若 am 时，满足 a，a，但是 不正确，所以填. (2)因为直线 l 垂直于ABC 的边 AB，AC，故直线 l 垂直于平面 ABC，故直线 l 垂直于边 BC， 但直线 l 垂直于边 BC，不一定得到直线 l 垂直于平面 ABC，故答案填写充分不必要 思维升华 解决空间点、线、面位置关系的组合判断题，主要是根据平面的基本性质、空间位置关系的各 种情况，以及空间线面垂直、平行关系的判定定理和性质定理进行判断，必要时可以利用正方体、长方体、 棱锥等几何模型辅助判断，同时要注意平面几何中的结论不能完全引用到立体几何中 设 m、n 是不同的直线，、 是不同的平面，有以下四个命题： 若 ，m，则 m；若 m，n，则 mn 若 m，mn，则 n；若 n，n，则 其中真命题的序号为_ 答案 解析 若 ，m，则 m 与 可以是直线与平面的所有关系，所以错误； 若 m，n，则 mn，所以正确；若 m，mn，则 n 或 n，所以错误； 若 n，n，则 ，所以正确所以正确 热点二 平行、垂直关系的证明 例 2 如图，在四棱锥 PABCD 中，ABCD，ABAD，CD2AB， 平面 PAD底面 ABCD，PAAD，E 和 F 分别是 CD 和 PC 的中点，求证： 100 (1)PA底面 ABCD； (2)BE平面 PAD； (3)平面 BEF平面 PCD. 思维启迪 (1)利用平面 PAD底面 ABCD 的性质，得线面垂直；(2)BEAD 易证； (3)EF 是CPD 的中位线 证明 (1)因为平面 PAD底面 ABCD，且 PA 垂直于这两个平面的交线 AD，所以 PA底面 ABCD. (2)因为 ABCD，CD2AB，E 为 CD 的中点，所以 ABDE，且 ABDE. 所以四边形 ABED 为平行四边形所以 BEAD. 又因为 BE平面 PAD，AD平面 PAD，所以 BE平面 PAD. (3)因为 ABAD，而且 ABED 为平行四边形所以 BECD，ADCD，由(1)知 PA底面 ABCD. 所以 PACD.所以 CD平面 PAD.所以 CDPD.因为 E 和 F 分别是 CD 和 PC 的中点， 所以 PDEF.所以 CDEF.所以 CD平面 BEF.又 CD平面 PCD，所以平面 BEF平面 PCD. 如图所示，已知 AB平面 ACD，DE平面 ACD，ACD 为等 边三角形，ADDE2AB，F 为 CD 的中点 求证：(1)AF平面 BCE； (2)平面 BCE平面 CDE. 证明 (1)如图，取 CE 的中点 G，连结 FG，BG. F 为 CD 的中点，GFDE 且 GF1 2DE.AB平面 ACD，DE平面 ACD， ABDE，GFAB.又 AB1 2DE，GFAB.四边形 GFAB 为平行四边形，则 AFBG. AF平面 BCE，BG平面 BCE，AF平面 BCE. (2)ACD 为等边三角形，F 为 CD 的中点，AFCD. DE平面 ACD，AF平面 ACD，DEAF.又 CDDED，AF平面 CDE. BGAF，BG平面 CDE.BG平面 BCE，平面 BCE平面 CDE. 热点三 图形的折叠问题 例 3 如图(1)，在 RtABC 中，C90 ，D，E 分别为 AC， AB 的中点，点 F 为线段 CD 上的一点，将ADE 沿 DE 折起到 A1DE 的位置，使 A1FCD，如图(2) (1)求证：DE平面 A1CB； (2)求证：A1FBE； (3)线段 A1B上是否存在点 Q， 使 A1C平面 DEQ？请说明理由 思维启迪 折叠问题要注意在折叠过程中，哪些量变化了，哪些量没有变化第(1)问证明线面平行，可以 证明 DEBC；第(2)问证明线线垂直转化为证明线面垂直，即证明 A1F平面 BCDE；第(3)问取 A1B 的中 点 Q，再证明 A1C平面 DEQ. (1)证明 因为 D，E 分别为 AC，AB 的中点，所以 DEBC. 又因为 DE平面 A1CB，BC平面 A1CB，所以 DE平面 A1CB. (2)证明 由图(1)得 ACBC 且 DEBC，所以 DEAC.所以 DEA1D，DECD. 101 所以 DE平面 A1DC.而 A1F平面 A1DC，所以 DEA1F.又因为 A1FCD， 所以 A1F平面 BCDE，又 BE平面 BCDE，所以 A1FBE. (3)解 线段 A1B 上存在点 Q，使 A1C平面 DEQ.理由如下： 如图，分别取 A1C，A1B 的中点 P，Q，则 PQBC. 又因为 DEBC，所以 DEPQ.所以平面 DEQ 即为平面 DEP. 由(2)知，DE平面 A1DC，所以 DEA1C. 又因为 P 是等腰三角形 DA1C 底边 A1C 的中点，所以 A1CDP.所以 A1C平面 DEP. 从而 A1C平面 DEQ.故线段 A1B 上存在点 Q，使得 A1C平面 DEQ. 思维升华 (1)解决与折叠有关的问题的关键是搞清折叠前后的变化量和不变量，一般情况下，折线同一侧 线段的长度是不变量，而位置关系往往会发生变化，抓住不变量是解决问题的突破口(2)在解决问题时， 要综合考虑折叠前后的图形，既要分析折叠后的图形，也要分析折叠前的图形 如图(1)，已知梯形 ABCD 中，ADBC，BAD90 ，ABBC2AD4，E，F 分别是 AB， CD 上的点，EFBC，AEx.沿 EF 将梯形 ABCD 翻折，使平面 AEFD平面 EBCF(如图(2)所示)，G 是 BC 的中点 (1)当 x2 时，求证：BDEG； (2)当 x 变化时，求三棱锥 DBCF 的体积 f(x)的函数式 (1)证明 作 DHEF，垂足为 H，连结 BH，GH，因为平面 AEFD平面 EBCF，交线为 EF， DH平面 AEFD，所以 DH平面 EBCF，又 EG平面 EBCF，故 EGDH. 因为 EHAD1 2BCBG2，BE2，EFBC，EBC90 ， 所以四边形 BGHE 为正方形，故 EGBH. 又 BH，DH平面 DBH，且 BHDHH，故 EG平面 DBH.又 BD平面 DBH，故 EGBD. (2)解 因为 AEEF，平面 AEFD平面 EBCF，交线为 EF，AE平面 AEFD，所以 AE平面 EBCF. 由(1)知，DH平面 EBCF，故 AEDH，所以四边形 AEHD 是矩形，DHAE， 故以 B，F，C，D 为顶点的三棱锥 DBCF 的高 DHAEx. 又 SBCF1 2BC BE 1 2 4 (4x)82x， 所以三棱锥 DBCF 的体积 f(x)1 3SBFC DH 1 3SBFC AE 1 3(82x)x 2 3x 28 3x(0xAC，所以符合要求的点 G 不存在 13.如图，在平行四边形 ABCD 中，AB2BC4，ABC120 ，E，M 分别为 AB，DE 的中点，将ADE 沿直线 DE 翻折成ADE，F 为 AC 的中点，AC4. (1)求证：平面 ADE平面 BCD； (2)求证：FB平面 ADE. 证明 (1)由题意，得ADE 是ADE 沿 DE 翻折而成的，ADEADE. ABC120 ，四边形 ABCD 是平行四边形，A60 .又ADAE2， ADE 和ADE 都是等边三角形 如图，连结 AM，MC，M 是 DE 的中点，AMDE，AM 3. 在DMC 中， MC2DC2DM22DC DMcos 60 42122 4 1 cos 60 ， MC 13.在AMC 中，AM2MC2( 3)2( 13)242AC2. AMC 是直角三角形