江苏启东数学大一轮讲义七概率与统计第2讲概率、随机变量及其概率分布pdf

153 专题七 概率与统计 专题七 概率与统计 第第 2 讲 概率、随机变量及其概率分布讲 概率、随机变量及其概率分布 总序总序 19 考情解读 (1)该部分常考内容有几何概型、古典概型、条件概率，而几何概型常与平面几何交汇命题， 古典概型常与排列、组合交汇命题；常考内容还有离散型随机变量的概率分布、均值(期望)、方差，常与 相互独立事件的概率、n 次独立重复试验交汇考查(2)从考查形式上来看，两种题型都有可能出现，填空 题突出考查基础知识、基本技能，有时会在知识交汇点处命题；解答题则着重考查知识的综合运用，考查 统计、古典概型、二项分布以及离散型随机变量的概率分布等，都属于中、低档题 热点一 古典概型与几何概型 例 1 (1)在 1,2,3,4 共 4 个数字中，任取两个数字(允许重复)，其中一个数字是另一个数字的 2 倍的概率是 _ (2)(2013 四川改编)节日前夕，小李在家门前的树上挂了两串彩灯这两串彩灯的第一次闪亮相互独立，且 都在通电后的 4 秒内任一时刻等可能发生， 然后每串彩灯以 4 秒为间隔闪亮， 那么这两串彩灯同时通电后， 它们第一次闪亮的时刻相差不超过 2 秒的概率是_ 思维启迪 (1)符合古典概型特点，求 4 个数字任取两个数字的方法种数和其中一个数字是另一个数字的 2 倍的方法数；(2)由几何概型的特点，利用数形结合求解 答案 (1)1 4 (2) 3 4 解析 (1)任取两个数字(可重复)共有 4 416(种)排列方法， 一个数字是另一个数字的 2 倍的所有可能情况有 12、21、24、42 共 4 种，所以所求概率为 P 4 16 1 4. (2)如图所示，设在通电后的 4 秒钟内， 甲串彩灯、 乙串彩灯第一次亮的时刻为 x、 y， x、 y 相互独立， 由题意可知 0x4 0y4 |xy|2 ， 所以两串彩灯第一次亮的时间相差不超过 2 秒的概率为 P(|xy|2)S 正方形2SABC S正方形 4 42 1 2 2 2 4 4 12 16 3 4. 思维升华 (1)解答有关古典概型的概率问题，关键是正确求出基本事件总数和所求事件包含的基本事件 数，这常用到计数原理与排列、组合的相关知识 (2)在求基本事件的个数时，要准确理解基本事件的构成，这样才能保证所求事件所包含的基本事件个数的 求法与基本事件总数的求法的一致性 154 (3)当构成试验的结果的区域为长度、面积、体积、弧长、夹角等时，应考虑使用几何概型求解 (1)(2014 广东)从 0,1,2,3,4,5,6,7,8,9 中任取七个不同的数，则这七个数的中位数是 6 的概率为 _ (2)在区间3,3上随机取一个数 x，使得函数 f(x) 1x x31 有意义的概率为_ 答案 (1)1 6 (2) 2 3 解析 (1)从 0,1,2,3,4,5,6,7,8,9 中任取七个不同的数，基本事件总数共有 C 7 10120(个)， 记事件“七个数的中位数为 6”为事件 A，则事件 A 包含的基本事件的个数为 C36C3320， 故所求概率 P(A) 20 120 1 6. (2)由 1x0， x30， 得 f(x)的定义域为3,1，由几何概型的概率公式，得所求概率为 P13 33 2 3. 热点二 相互独立事件和独立重复试验 例 2 甲、乙、丙三个同学一起参加某高校组织的自主招生考试，考试分笔试和面试两部分，笔试和面试 均合格者将成为该高校的预录取生(可在高考中加分录取)，两次考试过程相互独立根据甲、乙、丙三个 同学的平时成绩分析，甲、乙、丙三个同学能通过笔试的概率分别是 0.6、0.5、0.4，能通过面试的概率分 别是 0.6、0.6、0.75. (1)求甲、乙、丙三个同学中恰有一人通过笔试的概率； (2)求经过两次考试后，至少有一人被该高校预录取的概率 思维启迪 本题主要考查相互独立事件的概率求法，(1)问的关键是利用转化与化归思想，把欲求概率的事 件分解为 3 个互斥事件进行计算；(2)问的关键是合理运用对立事件的概率公式计算求解 解 (1)分别记“甲、乙、丙三个同学笔试合格”为事件 A1、A2、A3；E 表示事件“恰有一人通过笔试”， 则 P(E)P(A1A2A3)P( A1A2A3)P( A1A2A3)0.6 0.5 0.60.4 0.5 0.60.4 0.5 0.40.38. 即恰有一人通过笔试的概率是 0.38. (2)分别记“甲、乙、丙三个同学经过两次考试后合格”为事件 A、B、C，则 P(A)0.6 0.60.36， P(B)0.5 0.60.3，P(C)0.4 0.750.3. 事件 F 表示“甲、乙、丙三人中至少有一人被该高校预录取” 则 F 表示甲、乙、丙三人均没有被该高校预录取，即 F A B C ， 于是 P(F)1P( F )1P( A )P( B )P( C )10.64 0.7 0.70.686 4. 即经过两次考试后，至少有一人被预录取的概率是 0.686 4. 思维升华 求相互独立事件和独立重复试验的概率的注意点： (1)求复杂事件的概率，要正确分析复杂事件的构成，看复杂事件能转化为几个彼此互斥的事件的和事件还 是能转化为几个相互独立事件同时发生的积事件，然后用概率公式求解 (2)一个复杂事件若正面情况比较多，反面情况比较少，则一般利用对立事件进行求解对于“至少”“至多” 等问题往往也用这种方法求解 (3)注意辨别独立重复试验的基本特征：在每次试验中，试验结果只有发生与不发生两种情况；在每次 155 试验中，事件发生的概率相同 某居民小区有两个相互独立的安全防范系统(简称系统)A 和 B， 系统 A 和系统 B 在任意时刻发 生故障的概率分别为 1 10和 p. (1)若在任意时刻至少有一个系统不发生故障的概率为49 50，求 p 的值； (2)求系统 A 在 3 次相互独立的检测中不发生故障的次数大于发生故障的次数的概率 解 (1)设“至少有一个系统不发生故障”为事件 C，那么 1P( C )1 1 10 p 49 50，解得 p 1 5. (2)设“系统 A 在 3 次相互独立的检测中不发生故障的次数大于发生故障的次数”为事件 D.“系统 A 在 3 次相 互独立的检测中发生 k 次故障”为事件 Dk.则 DD0D1，且 D0、D1互斥 依题意，得 P(D0)C03(1 1 10) 3，P(D1)C1 3 1 10(1 1 10) 2， 所以 P(D)P(D0)P(D1) 729 1 000 243 1 000 243 250. 所以系统 A 在 3 次相互独立的检测中不发生故障的次数大于发生故障的次数的概率为243 250. 热点三 随机变量的概率分布 例 3 (2013 辽宁)现有 10 道题，其中 6 道甲类题，4 道乙类题，张同学从中任取 3 道题解答 (1)求张同学至少取到 1 道乙类题的概率； (2)已知所取的 3 道题中有 2 道甲类题，1 道乙类题设张同学答对每道甲类题的概率都是3 5，答对每道乙 类题的概率都是4 5，且各题答对与否相互独立用 X 表示张同学答对题的个数，求 X 的概率分布和均值 思维启迪 (1)利用对立事件求概率；(2)计算每个 X 的值所对应的概率 解 (1)设事件 A“张同学所取的 3道题至少有 1 道乙类题”， 则有 A “张同学所取的 3道题都是甲类题” 因为 P( A ) C36 C310 1 6，所以 P(A)1P( A ) 5 6. (2)X 所有的可能取值为 0,1,2,3. P(X0)C02 3 5 0 2 5 2 1 5 4 125；P(X1)C 1 2 3 5 1 2 5 1 1 5C 0 2 3 5 0 2 5 2 4 5 28 125； P(X2)C22 3 5 2 2 5 0 1 5C 1 2 3 5 1 2 5 1 4 5 57 125；P(X3)C 2 2 3 5 2 2 5 0 4 5 36 125. 所以 X 的概率分布为 X 0 1 2 3 P 4 125 28 125 57 125 36 125 所以 E(X)0 4 1251 28 1252 57 1253 36 1252. 思维升华 解答离散型随机变量的概率分布及相关问题的一般思路： 156 (1)明确随机变量可能取哪些值 (2)结合事件特点选取恰当的计算方法计算这些可能取值的概率值 (3)根据概率分布和均值、方差公式求解 (1)(2013 湖北改编)如图，将一个各面都涂了油漆的正方体，切割为 125 个同样大小的小正方体，经过搅拌后，从中随机取一个小正方体，记它的油漆面数为 X，则 X 的均值 E(X)_. (2)某毕业生参加人才招聘会，分别向甲、乙、丙三个公司投递了个人简历假定该 毕业生得到甲公司面试的概率为2 3，得到乙、丙两公司面试的概率均为 p，且三个公 司是否让其面试是相互独立的，记 X 为该毕业生得到面试的公司个数若 P(X0) 1 12，则随机变量 X 的 均值 E(X)_. 答案 (1)6 5 (2) 5 3 解析 (1)125 个小正方体中 8 个三面涂漆，36 个两面涂漆，54 个一面涂漆，27 个没有涂漆， 从中随机取一个正方体，涂漆面数 X 的均值 E(X) 54 125 1 36 125 2 8 125 3 150 125 6 5. (2)由题意知 P(X0)1 3(1p) 2 1 12，p 1 2. 随机变量 X 的概率分布为 X 0 1 2 3 P 1 12 1 3 5 12 1 6 E(X)01 121 1 32 5 123 1 6 5 3. 真题感悟 1(2014 陕西改编)从正方形四个顶点及其中心这 5 个点中，任取 2 个点，则这 2 个点的距离不小于该正 方形边长的概率为_ 答案 3 5 解析 取两个点的所有情况为 C 2 510， 所有距离不小于正方形边长的情况有 6 种， 概率为 6 10 3 5. 2(2014 浙江改编)已知甲盒中仅有 1 个球且为红球，乙盒中有 m 个红球和 n 个蓝球(m3，n3)，从乙盒 中随机抽取 i(i1,2)个球放入甲盒中 (1)放入 i 个球后，甲盒中含有红球的个数记为 i(i1,2)； (2)放入 i 个球后，从甲盒中取 1 个球是红球的概率记为 pi(i1,2) 则 p1，p2的大小关系为_ 答案 p1p2 解析 随机变量 1，2的概率分布如下： 157 1 1 2 P n mn m mn 2 1 2 3 P C2n C2mn C1mC1n C2mn C2m C2mn 所以 E(1) n mn 2m mn 2mn mn ， E(2) C2n C2mn 2C1mC1n C2mn 3C2m C2mn 3mn mn ，所以 E(1)0，所以 p1p2. 押题精练 1有编号分别为 1,2,3,4,5 的 5 个红球和 5 个黑球，从中随机取出 4 个，则取出球的编号互不相同的概率 为_ 答案 8 21 解析 有编号分别为 1,2,3,4,5 的 5 个红球和 5 个黑球，从中随机取出 4 个， 有 C410210 种不同的结果，由于是随机取出的，所以每个结果出现的可能性是相等的； 设事件 A 为“取出球的编号互不相同，” 则事件 A 包含了 C15 C12 C12 C12 C1280 个基本事件，所以 P(A) 80 210 8 21. 2箱中装有标号为 1,2,3,4,5,6 且大小相同的 6 个球从箱中一次摸出两个球，记下号码并放回，如果两球 号码之积是 4 的倍数，则获奖现有 4 人参与摸奖(每人一次)，则恰好有 3 人获奖的概率是_ 答案 96 625 解析 由题意得任取两球有 C 2 6种情况， 取出两球号码之积是 4 的倍数的情况为(1,4)，(2,4)，(3,4)，(2,6)，(4,6)，(4,5)共 6 种情况， 故每人摸球一次中奖的概率为 6 C26 2 5，故 4 人中有 3 人中奖的概率为 C 3 4(2 5) 33 5 96 625. 3 甲乙两支球队进行总决赛， 比赛采用七场四胜制， 即若有一队先胜四场， 则此队为总冠军， 比赛结束 因 两队实力相当，每场比赛两队获胜的可能性均为1 2.据以往资料统计，第一场比赛可获得门票收入 40 万元， 以后每场比赛门票收入比上一场增加 10 万元 (1)求总决赛中获得门票总收入恰好为 300 万元的概率； (2)设总决赛中获得的门票总收入为 X，求 X 的均值 E(X) 解 (1)依题意，每场比赛获得的门票收入组成首项为 40，公差为 10 的等差数列 设此数列为an，则易知 a140，an10n30，Snn10n70 2 300. 158 解得 n12(舍去)或 n5，总决赛共比赛了 5 场 则前 4 场比赛的比分必为 13，且第 5 场比赛为领先的球队获胜，其概率为 C14(1 2) 41 4. (2)随机变量 X 可取的值为 S4，S5，S6，S7，即 220,300,390,490. 又 P(X220)2 (1 2) 41 8，P(X300)C 1 4(1 2) 41 4， P(X390)C25(1 2) 5 5 16，P(X490)C 3 6(1 2) 65 16. 所以，X 的概率分布为 X 220 300 390 490 P 1 8 1 4 5 16 5 16 所以 X 的均值为 E(X)220 1 8300 1 4390 5 16490 5 16377.5(万元). 一、填空题 1(2014 课标全国改编)4 位同学各自在周六、周日两天中任选一天参加公益活动，则周六、周日都有同 学参加公益活动的概率为_ 答案 7 8 解析 4 名同学各自在周六、周日两天中任选一天参加公益活动的情况有 2 416(种)， 其中仅在周六(周日)参加的各有 1 种，所求概率为 111 16 7 8. 2已知菱形 ABCD 的边长为 4，ABC150 ，若在菱形内任取一点，则该点到菱形的四个顶点的距离大 于 1 的概率为_ 答案 1 8 解析 P 4 4 sin 150 12 4 4 sin 150 1 8. 3已知 (x，y)| y0， y 4x2 ，直线 ymx2m 和曲线 y 4x2有两个不同的交点，它们围成的平 面区域为 M，向区域 上随机投一点 A，点 A 落在区域 M 内的概率为 P(M)， 若 P(M)2 2 ，1，则实数 m 的取值范围为_ 答案 0,1 解析 如图，由题意得 m0，根据几何概型的意义， 知 P(M)S 弓形 S半圆 S弓形 2 ，又 P(M)2 2 ，1，所以 S弓形2,2故 0m1. 4已知盒中装有 3 只螺口灯泡与 7 只卡口灯泡，这些灯泡的外形与功率都相同且灯口向下放着，现需要 一只卡口灯泡，电工师傅每次从中任取一只并不放回，则在他第 1 次抽到的是螺口灯泡的条件下，第 2 次 抽到的是卡口灯泡的概率是_ 159 答案 7 9 解析 设事件 A 为“第 1 次抽到的是螺口灯泡”，事件 B 为“第 2 次抽到的是卡口灯泡”， 则 P(A) 3 10，P(AB) 3 10 7 9 7 30.则所求概率为 P(B|A) PAB PA 7 30 3 10 7 9. 5 将三个骰子各掷一次， 设事件 A 为“三个骰子掷出的点数都不同”， 事件 B 为“至少有一个骰子掷出 3 点”， 则条件概率 P(A|B)，P(B|A)分别是_ 答案 60 91 1 2 解析 根据条件概率的含义，P(A|B)的含义为在 B 发生的情况下，A 发生的概率， 即在“至少有一个骰子掷出 3 点”的情况下，“三个骰子掷出的点数都不同”的概率 因为“至少有一个骰子掷出 3 点”的情况共有 6 6 65 5 591(种)， “三个骰子掷出的点数都不相同且只有一个 3 点”的情况共有 C13 5 460(种)，所以 P(A|B)60 91. P(B|A)的含义为在 A 发生的情况下，B 发生的概率， 即在“三个骰子掷出的点数都不同”的情况下， “至少有一个骰子掷出 3 点”的概率， 所以 P(B|A)C 1 3 5 4 6 5 4 1 2. 6花园小区内有一块三边长分别是 5 m，5 m，6 m 的三角形绿化地，有一只小花猫在其内部玩耍，若不 考虑猫的大小，则在任意指定的某时刻，小花猫与三角形三个顶点的距离均超过 2 m 的概率是_ 答案 1 6 解析 如图所示，当小花猫与三角形 ABC 的三个顶点的距离均超过 2 m 时， 小花猫要在图中的空白区域内由于三角形为等腰三角形，底边 BC 上的高 AD4 m， 所以ABC 的面积是 12 m2，因为三角形的内角和等于 ， 则图中的三个扇形的面积之和等于半径为 2 的圆面积的一半， 即 3 个扇形的面积之和等于 2，所以空白区域的面积为 122，故所求的概率 P122 12 1 6. 7 (2014 江西)10 件产品中有 7 件正品， 3 件次品， 从中任取 4 件， 则恰好取到 1 件次品的概率是_ 答案 1 2 解析 从 10 件产品中取 4 件，共有 C 4 10种取法，取到 1 件次品的取法为 C13C37种，由古典概型概 率计算公式得 PC 1 3C37 C410 3 35 210 1 2. 8将一枚均匀的硬币抛掷 6 次，则正面出现的次数比反面出现的次数多的概率为_ 答案 11 32 解析 正面出现的次数比反面出现的次数多，则正面可以出现 4 次，5 次或 6 次， 故所求的概率 PC46 1 2 6C5 6 1 2 6C6 6 1 2 611 32. 9(2014 浙江)随机变量 的取值为 0,1,2.若 P(0)1 5，E()1，则 V()_. 答案 2 5 解析 设 P(1)a，P(2)b，则 1 5ab1， a2b1， 解得 a3 5， b1 5， 160 所以 V()1 5 3 5 0 1 5 1 2 5. 10连续掷一枚均匀的正方体骰子(6 个面分别标有 1,2,3,4,5,6)，现定义 数列 an 1，点数不是3的倍数， 1，点数是3的倍数， Sn是其前 n 项和，则 S53 的概率是_ 答案 10 243 解析 该试验可看作一个独立重复试验，结果为1 发生的概率为 2 3， 结果为 1 发生的概率为1 3，S53 即 5 次试验中1 发生一次，1 发生四次， 故其概率为 C15 (2 3) 1(1 3) 4 10 243. 二、解答题 11一个袋子中装有 7 个小球，其中红球 4 个，编号分别为 1,2,3,4，黄球 3 个，编号分别为 2,4,6，从袋子 中任取 4 个小球(假设取到任一小球的可能性相等) (1)求取出的小球中有相同编号的概率； (2)记取出的小球的最大编号为 X，求随机变量 X 的概率分布和均值 解 (1)设取出的小球中有相同编号的事件为 A，编号相同可分成一个相同和两个相同 P(A)2C 1 2C13C231 C47 19 35. (2)随机变量 X 的可能取值为 3,4,6.P(X3) 1 C47 1 35， P(X4) C12C34C24 C47 2 5， P(X6) C36 C47 4 7. 所以随机变量 X 的概率分布为 X 3 4 6 P 1 35 2 5 4 7 所以随机变量 X 的均值 E(X)31 354 2 56 4 7 179 35 . 12.(2014 山东)乒乓球台面被球网分隔成甲、乙两部分，如图，甲上有两个不相交的区域 A，B，乙被划分 为两个不相交的区域 C，D.某次测试要求队员接到落点在甲上的来球后向乙回球规定：回球一次，落点 在 C 上记 3 分，在 D 上记 1 分，其他情况记 0 分对落点在 A 上的来球，队员小明回球的落点在 C 上的 概率为1 2，在 D 上的概率为 1 3；对落点在 B 上的来球，小明回球的落点在 C 上的概率为 1 5，在 D 上的概率为 3 5.假设共有两次来球且落在 A，B 上各一次，小明的两次回球互不影响求： (1)小明两次回球的落点中恰有一次的落点在乙上的概率； (2)两次回球结束后，小明得分之和 的概率分布与均值 161 解 (1)记 Ai为事件“小明对落点在 A 上的来球回球的得分为 i 分”(i0,1,3)， 则 P(A3)1 2，P(A1) 1 3，P(A0)1 1 2 1 3 1 6. 记 Bj为事件“小明对落点在 B 上的来球回球的得分为 j 分”(j0,1,3)， 则 P(B3)1 5，P(B1) 3 5，P(B0)1 1 5 3 5 1 5. 记 D 为事件“小明两次回球的落点中恰有 1 次的落点在乙上” 由题意得 DA3B0A1B0A0B1A0B3，由事件的独立性和互斥性，得 P(D)P(A3B0A1B0A0B1A0B3)P(A3B0)P(A1B0)P(A0B1)P(A0B3) P(A3)P(B0)P(A1)P(B0)P(A0)P(B1)P(A0)P(