江苏启东数学大一轮讲义七概率与统计第3讲统计pdf

163 专题七 概率与统计 专题七 概率与统计 第第 3 讲 统 计讲 统 计 总序总序 20 考情解读 (1)该部分常考内容：样本数字特征的计算、各种统计图表；有时也会在知识交汇点处命题， 如概率与统计交汇等(2)从考查形式上来看，大部分为填空题，重在考查基础知识、基本技能，有时在知 识交汇点处命题，也会出现解答题，都属于中、低档题 热点一 抽样方法 例1 (1)(2013 陕西)某单位有840名职工， 现采用系统抽样方法抽取42人做问卷调查， 将840人按1,2， ， 840 随机编号，则抽取的 42 人中，编号落入区间481,720的人数为_ (2)某学校共有师生 3 200 人，现用分层抽样的方法，从所有师生中抽取一个容量为 160 的样本，已知从学 生中抽取的人数为 150，那么该学校的教师人数是_ 思维启迪 (1)系统抽样时需要抽取几个个体，样本就分成几组，且抽取号码的间隔相同；(2)分层抽样最重 要的是各层的比例 答案 (1)12 (2)200 解析 (1)由840 42 20，即每 20 人抽取 1 人， 所以抽取编号落入区间481,720的人数为720480 20 240 20 12. (2)本题属于分层抽样，设该学校的教师人数为 x，所以 160 3 200 160150 x ，所以 x200. 思维升华 (1)随机抽样各种方法中，每个个体被抽到的概率都是相等的；(2)系统抽样又称“等距”抽样，被 抽到的各个号码间隔相同；分层抽样满足：各层抽取的比例都等于样本容量在总体容量中的比例 (1)某校高一、高二、高三分别有学生人数为 495,493,482，现采用系统抽样方法，抽取 49 人 做问卷调查，将高一、高二、高三学生依次随机按 1,2,3，1 470 编号，若第 1 组有简单随机抽样方法 抽取的号码为 23，则高二应抽取的学生人数为_ (2)(2014 广东)已知某地区中小学生人数和近视情况分别如图和图所示 为了解该地区中小学生的近视 形成原因，用分层抽样的方法抽取 2%的学生进行调查，则样本容量和抽取的高中生近视人数分别为 _ 164 答案 (1)17 (2)200,20 解析 (1)由系统抽样方法，知按编号依次每 30 个编号作为一组，共分 49 组， 高二学生的编号为 496 到 988，在第 17 组到第 33 组内，第 17 组抽取的编号为 16 3023503， 为高二学生，第 33 组抽取的编号为 32 3023983，为高二学生， 故共抽取高二学生人数为 331617. (2)该地区中、小学生总人数为 3 5002 0004 50010 000， 则样本容量为 10 000 2%200，其中抽取的高中生近视人数为 2 000 2% 50%20. 热点二 用样本估计总体 例 2 (1)(2014 山东)为了研究某药品的疗效，选取若干名志愿者进行 临床试验，所有志愿者的舒张压数据(单位：kPa)的分组区间为12,13)， 13,14)，14,15)，15,16)，16,17，将其按从左到右的顺序分别编号为 第一组，第二组，第五组，如图是根据试验数据制成的频率分布直 方图已知第一组与第二组共有 20 人，第三组中没有疗效的有 6 人， 则第三组中有疗效的人数为_ (2)PM2.5是指大气中直径小于或等于 2.5 微米的颗粒物，也称为可入肺颗粒物，如图是根据某地某日早 7 点至晚 8 点甲、乙两个 PM2.5监测点统计的数据(单位：毫克/每立方米)列出的茎叶图，则甲、乙两地浓度 的方差较小的是_. 甲 乙 2 0.04 1 2 3 6 9 3 0.05 9 6 2 1 0.06 2 9 3 3 1 0.07 9 6 4 0.08 7 7 0.09 2 4 6 思维启迪 (1)根据第一组与第二组的人数和对应频率估计样本总数， 然后利用第三组的频率和无疗效人数 计算；(2)直接根据公式计算方差 答案 (1)12 (2)甲 解析 (1)志愿者的总人数为 20 0.160.24150， 所以第三组人数为 50 0.3618，有疗效的人数为 18612. (2) x甲(0.0420.0530.0590.0610.0620.0660.0710.0730.0730.0840.0860.097)120.068 9， x乙(0.0410.0420.0430.0460.0590.0620.0690.0790.0870.0920.0940.096)120.067 5， s2 1 12(0.0420.068 9) 2(0.0530.068 9)2(0.0970.068 9)20.000 212. s2 1 12(0.0410.067 5) 2(0.0420.067 5)2(0.0960.067 5)20.000 429. 所以甲、乙两地浓度的方差较小的是甲地 165 (1)某商场在庆元宵促销活动中，对元宵节 9 时至 14 时的销售额 进行统计，其频率分布直方图如图所示，已知 9 时至 10 时的销售额为 2.5 万 元，则 11 时至 12 时的销售额为_万元 (2)设样本数据 x1，x2，x10的均值和方差分别为 1 和 4，若 yixia(a 为 非零常数，i1,2，10)，则 y1，y2，y10的均值和方差分别为_ 答案 (1)10 (2)1a,4 解析 (1)由频率分布直方图可知： 0.10 0.40 2.5 x ，所以 x10. (2)x 1x2x10 10 1，yixia，所以 y1，y2，y10的均值为 1a，方差不变仍为 4. 热点三 概率与统计的综合应用 例 3 某高校组织自主招生考试，共有 2 000 名优秀同学参加笔试，成绩均介于 195 分到 275 分之间，从 中随机抽取 50 名同学的成绩进行统计，将统计结果按如下方式分成 8 组：第 1 组195,205)，第 2 组 205,215)， ， 第 8 组265,275 如图是按上述分组方法得到的频率分布直方图， 且笔试成绩在 260 分(含 260 分)以上的同学进入面试 (1)估计所有参加笔试的 2 000 名同学中，参加面试的同学人数； (2)面试时，每位同学抽取两个问题，若两个问题全答错，则不能取得 该校的自主招生资格； 若两个问题均回答正确且笔试成绩在 270 分以 上，则获 A 类资格；其他情况下获 B 类资格现已知某中学有两人获 得面试资格，且仅有一人笔试成绩为 270 分以上，在回答两个面试问 题时，两人对每一个问题正确回答的概率均为1 2，求恰有一名同学获 得该高校 B 类资格的概率 解 (1)设第 i(i1,2，8)组的频率为 fi， 则由频率分布直方图知 f71(0.0040.010.010.020.020.0160.008) 100.12. 所以成绩在 260 分以上的同学的概率 Pf 7 2f80.14，2 000 0.14280， 故这 2 000 名同学中，取得面试资格的约为 280 人 (2)不妨设两名同学分别为 M、N，且 M 的笔试成绩在 270 分以上， 则对于 M，答题的可能有 M11，M10，M01，M00，对于 N， 答题的可能有 N11，N10，N01，N00， 其中角标中的 1 表示正确，0 表示错误，如 N10表示 N 同学第一题正确，第二题错误 将两名同学的答题情况列表如下： M11 M10 M01 M00 N11 AB BB BB CB N10 AB BB BB CB N01 AB BB BB CB N00 AC BC BC CC 表中 AB 表示 M 获 A 类资格，N 获 B 类资格； BC 表示 M 获 B 类资格，N 没有获得资格 所以恰有一名同学获得该高校 B 类资格的概率为 8 16 1 2. 166 思维升华 解概率统计的综合问题的关键是从文字语言中提取数学信息，找出概率问题中的基本事件，列 举基本事件总数，再利用古典概型的解法求解概率 某企业为了增强自身竞争力，计划对职工进行技术培训，以提高产品的质量，为了解某车间对 技术培训的态度与性别的关系，对该车间所有职工进行了问卷调查得到了如下的列联表： 赞成 不赞成 合计 男职工 22 8 30 女职工 8 12 20 合计 30 20 50 (1)用分层抽样的方法在不赞成的职工中抽 5 人进行调查，其中男职工、女职工各抽取多少人？ (2)在上述抽取的 5 人中选 2 人，求至少有一名男职工的概率 解 (1)在不赞成的职工中抽 5 人，则抽取比例为 5 20 1 4， 所以男职工应该抽取 8 1 42(人)，女职工应该抽取 12 1 43(人) (2)上述抽取的 5 人中，男职工 2 人记为 a，b，女职工 3 人记为 c，d，e， 则从 5 人中选 2 人的所有情况为(a，b)，(a，c)，(a，d)，(a，e)，(b，c)， (b，d)，(b，e)，(c，d)，(c，e)，(d，e)，共 10 种情况 其中至少有一名男职工的情况有(a，b)，(a，c)，(a，d)，(a，e)，(b，c)，(b，d)，(b，e)，共 7 种情况 故从上述抽取的 5 人中选 2 人，至少有一名男职工的概率为 P 7 10. 真题感悟 1(2014 江苏)为了了解一片经济林的生长情况，随机抽测了其中 60 株树 木的底部周长(单位：cm)，所得数据均在区间80,130上，其频率分布直 方图如图所示，则在抽测的 60 株树木中，有_株树木的底部周长 小于 100 cm. 答案 24 解析 底部周长在80,90)的频率为 0.015 100.15， 底部周长在90,100)的频率为 0.025 100.25， 样本容量为 60，所以树木的底部周长小于 100 cm 的株数为(0.150.25) 6024. 2(2014 重庆)以下茎叶图记录了甲、乙两组各五名学生在一次英语听力测试中的成绩(单位：分) 甲组 乙组 9 0 9 x 2 1 5 y 8 7 4 2 4 已知甲组数据的中位数为 15，乙组数据的平均数为 16.8，则 x，y 的值分别为_ 167 答案 5,8 解析 由于甲组中有 5 个数，比中位数小的有两个数为 9,12，比中位数大的也有两个数 24,27， 所以 10x15，x5.又因91510y1824 5 16.8，所以 y8. 押题精练 1某教育出版社在高三期末考试结束后，从某市参与考试的考生中选取 600 名学生对在此期间购买教辅 资料的情况进行调研，得到如下数据： 购买图 书情况 只买试题类 只买讲解类 试题类和讲解类都买 人数 240 200 160 若该教育出版社计划用分层抽样的方法从这 600 人中随机抽取 60 人进行座谈，则只买试题类的学生应抽 取的人数为_ 答案 24 解析 只买试题类的学生应抽取的人数为 60 240 60024. 2某地区对某路段公路上行驶的汽车速度实施监控，从中抽取 50 辆汽 车进行测速分析，得到如图所示的时速的频率分布直方图，根据该图， 时速在 70 km/h 以下的汽车有_辆 答案 20 解析 时速在 70 km/h 以下的汽车所占的频率为 0.01 10 0.03 100.4，共有 0.4 5020(辆) 3如图是一次选秀节目上，七位评委为某选手打出的分数的茎叶统计图，去掉一 个最高分和一个最低分后， 所剩数据的平均数为 85， 则 a2b2的最小值是_ 答案 32 解析 方法一 根据题意，得4a6b7 5 5， 得 ab8， 则 b8a， a2b2a2(8a)22a216a64， 其中 a， b 满足 0a9,0b9， 所以 0a9,08 a9，即 0a8 且 a 是整数设函数 f(a)2a216a64，分析知当 a4 时，f(a)取得最小值 32，所以 a2b2的最小值是 32. 方法二 由 ab8，且 a，b0，得 82 ab，故 ab16，则 a2b2(ab)22ab643232，当且仅当 ab4 时等号成立，所以 a2b2的最小值是 32. 一、填空题 1(2014 湖南)对一个容量为 N 的总体抽取容量为 n 的样本，当选取简单随机抽样、系统抽样和分层抽样 三种不同方法抽取样本时，总体中每个个体被抽中的概率分别为 p1，p2，p3，则 p1，p2，p3的大小关系是 _ 答案 p1p2p3 解析 由于三种抽样过程中，每个个体被抽到的概率都是相等的，因此 p1p2p3. 2某中学高中一年级有 400 人，高中二年级有 320 人，高中三年级有 280 人，现从中抽取一个容量为 200 168 人的样本，则高中二年级被抽取的人数为_ 答案 64 解析 由已知，得样本容量为 4003202801 000， 所以，高中二年级被抽取的人数为 200 1 000 32064. 3(2013 江西)总体由编号为 01,02，19,20 的 20 个个体组成，利用下面的随机数表选取 5 个个体，选 取方法是从随机数表第 1 行的第 5 列和第 6 列数字开始由左到右依次选取两个数字，则选出来的第 5 个个 体的编号为_. 7816 6572 0802 6314 0702 4369 9728 0198 3204 9234 4935 8200 3623 4869 6938 7481 答案 01 解析 从第 1 行第 5 列、第 6 列组成的数 65 开始由左到右依次选出的数为：08,02,14,07,01， 所以第 5 个个体编号为 01. 4为了了解某城市今年准备报考飞行员的学生的体重情况，将所得的 数据整理后，画出了频率分布直方图(如图)，已知图中从左到右的前 3 个小组的频率之比为 123，第 2 小组的频数为 120，则抽取的学生 人数是_ 答案 480 解析 由频率分布直方图知：学生的体重在 6575 kg 的 频率为(0.012 50.037 5) 50.25， 则学生的体重在 5065 kg 的频率为 10.250.75. 从左到右第 2 个小组的频率为 0.75 2 60.25.所以抽取的学生人数是 120 0.25480. 5某校甲、乙两个班级各有 5 名编号为 1,2,3,4,5 的学生进行投篮练习，每人投 10 次，投中的次数如下表： 学生 1 号 2 号 3 号 4 号 5 号 甲班 6 7 7 8 7 乙班 6 7 6 7 9 以上两组数据的方差中较小的一个为 s2，则 s2_. 答案 2 5 解析 x甲7，s2甲1 5 (67) 2(77)2(77)2(87)2(77)22 5， x乙7，s2乙1 5 (67) 2(77)2(67)2(77)2(97)26 5，所以 s 2 甲s2乙. 由两组数据中方差较小的一个为 s2，即 s22 5. 6超速行驶已成为马路上最大杀手之一，已知某路段属于限速路段，规定 通过该路段的汽车时速不超过 70 km/h，否则视为违规某天，有 1 000 辆汽 车经过了该路段，经过雷达测速得到这些汽车运行时速的频率分布直方图如 图所示，则违规的汽车大约有_辆 答案 110 解析 由题意， 知时速超过 70 km/h 的为违规汽车， 由频率分布 直方图可以得出超过 70 km/h 的频率为 0.011 100.11，所以违规的汽车大约有 1 000 0.11110(辆) 169 7.某苗圃基地为了解基地内甲、乙两块地种植的同一种树苗的长势情况，从两块 地各随机抽取了 10 株树苗，并用茎叶图表示出了两组数据，对两块地抽取树苗的 高度的平均数 x甲， x乙和中位数 y甲，y乙进行比较，结论是_ 答案 x甲 x乙，y甲y乙 8.从某中学高一年级中随机抽取 100 名同学，将他们的成绩(单位：分) 数据绘制成频率分布直方图(如图) 则这 100 名学生成绩的平均数、 中位 数分别为_ 答案 125,124 解析 由图可知(aa0.005) 101(0.0100.0150.030) 10， 解得 a0.025， 则 x 105 0.1115 0.3125 0.25135 0.2145 0.15 125. 中位数在 120130 之间，设为 x，则 0.01 100.03 100.025 (x120)0.5，解得 x124. 9.某校开展“爱我海西、爱我家乡”摄影比赛，9 位评委为参赛作品 A 给出的分 数如茎叶图所示 记分员在去掉一个最高分和一个最低分后， 算得平均分为 91， 复核员在复核时， 发现有一个数字(茎叶图中的 x)无法看清， 若记分员计算无误， 则数字 x 应该是_ 答案 1 解析 当 x4 时，89899293929194 7 640 7 91， x4，898992939291x90 7 91，x1. 10(2013 辽宁)为了考察某校各班参加课外书法小组的人数，从全校随机抽取 5 个班级，把每个班级参加 该小组的人数作为样本数据，已知样本平均数为 7，样本方差为 4，且样本数据互不相同，则样本数据中 的最大值为_ 答案 10 解析 设 5 个班级中参加的人数分别为 x1，x2，x3，x4，x5， 则由题意知x 1x2x3x4x5 5 7，(x17)2(x27)2(x37)2(x47)2(x57)220， 五个整数的平方和为 20，则必为 0119920， 由|x7|3 可得 x10 或 x4.由|x7|1 可得 x8 或 x6. 由上可知参加的人数分别为 4,6,7,8,10，故最大值为 10. 二、解答题 11为了了解 2014 年某校高三学生的视力情况，随机抽查了一部分学生的视力，将调查结果分组，分组 区间为(3.9,4.2，(4.2,4.5，(5.1,5.4经过数据处理，得到如下频率分布表： 分组 频数 频率 (3.9,4.2 3 0.06 (4.2,4.5 6 0.12 (4.5,4.8 25 x (4.8,5.1 y z (5.1,5.4 2 0.04 合计 n 1.00 (1)求频率分布表中未知量 n，x，y，z 的值； 170 (2)从样本中视力在(3.9,4.2和(5.1,5.4的学生中随机抽取 2 人，求 2 人的视力差的绝对值低于 0.5 的概率 解 (1)由表，可知样本容量为 n，由2 n0.04，得 n50. 所以 x25 500.5，y503625214，z y n 14 500.28. (2)设样本中视力在(3.9,4.2的 3 人为 a，b，c，样本视力在(5.1,5.4的 2 人为 d，e. 由题意得从 5 人任