江苏启东数学大一轮讲义六解析几何第1讲直线与圆pdf

119 专题六 解析几何 专题六 解析几何 第第 1 讲 直线与圆讲 直线与圆 总序总序 15 考情解读 考查重点是直线间的平行和垂直的条件、与距离有关的问题直线与圆的位置关系(特别是弦 长问题)，此类问题难度属于中等，一般以填空题的形式出现，有时也会出现解答题，多考查其几何图形的 性质或方程知识 热点一 直线的方程及应用 例 1 (1)过点(5,2)，且在 y 轴上的截距是在 x 轴上的截距的 2 倍的直线方程是_ (2)“m1”是“直线 xy0 和直线 xmy0 互相垂直”的_条件 思维启迪 (1)不要忽略直线过原点的情况；(2)分别考虑充分性和必要性 答案 (1)2xy120 或 2x5y0 (2)充要 解析 (1)当直线过原点时方程为 2x5y0， 不过原点时， 可设出其截距式为x a y 2a1，再由过点(5,2)即可解出 2xy120. (2)因为 m1 时，两直线方程分别是 xy0 和 xy0，两直线的斜率分别是 1 和1，两直线垂直， 所以充分性成立；当直线 xy0 和直线 xmy0 互相垂直时，有 1 1(1) m0，所以 m1， 所以必要性成立故填“充要” 思维升华 (1)要注意几种直线方程的局限性点斜式、两点式、斜截式要求直线不能与 x 轴垂直而截距 式方程不能表示过原点的直线，也不能表示垂直于坐标轴的直线 (2)求解与两条直线平行或垂直有关的问题时，主要是利用两条直线平行或垂直的充要条件，即“斜率相等” 或“互为负倒数”若出现斜率不存在的情况，可考虑用数形结合的方法去研究 已知 A(3,1)， B(1,2)， 若ACB 的平分线方程为 yx1， 则 AC 所在的直线方程为_ 答案 x2y10 解析 由题意可知，直线 AC 和直线 BC 关于直线 yx1 对称 设点 B(1,2)关于直线 yx1 的对称点为 B(x0，y0)，则有 y02 x011 y02 2 x 01 2 1 ， x01 y00 ， 即 B(1,0)因为 B(1,0)在直线 AC 上，所以直线 AC 的斜率为 k10 31 1 2， 所以直线 AC 的方程为 y11 2(x3)，即 x2y10. 热点二 圆的方程及应用 例 2 (1)若圆 C 经过(1,0)，(3,0)两点，且与 y 轴相切，则圆 C 的方程为_ 120 (2)已知圆 M 的圆心在 x 轴上，且圆心在直线 l1：x2 的右侧，若圆 M 截直线 l1所得的弦长为 2 3，且 与直线 l2：2x 5y40 相切，则圆 M 的方程为_ 思维启迪 (1)确定圆心在直线 x2 上，然后待定系数法求方程；(2)根据弦长为 2 3及圆与 l2相切列方程 组 答案 (1)(x2)2(y 3)24 (2)(x1)2y24 解析 (1)因为圆 C 经过(1,0)，(3,0)两点，所以圆心在直线 x2 上，又圆与 y 轴相切，所以半径 r2，设 圆心坐标为(2，b)，则(21)2b24，b23，b 3，所求方程为(x2)2(y 3)24. (2)由已知，可设圆 M 的圆心坐标为(a,0)，a2，半径为 r，得 a22 32r2， |2a4| 45r， 解得满足条件的一组解为 a1， r2， 所以圆 M 的方程为(x1)2y24. 思维升华 圆的标准方程直接表示出了圆心和半径，而圆的一般方程则表示出了曲线与二元二次方程的关 系，在求解圆的方程时，要根据所给条件选取适当的方程形式解决与圆有关的问题一般有两种方法：(1) 几何法，通过研究圆的性质、直线和圆、圆与圆的位置关系，进而求得圆的基本量和方程；(2)代数法，即 用待定系数法先设出圆的方程，再由条件求得各系数 (1)已知圆 C：x2(y3)24，过点 A(1,0)的直线 l 与圆 C 相交于 P、Q 两点，若 PQ2 3， 则直线 l 的方程为_ (2)已知圆 C 的圆心与抛物线 y24x 的焦点关于直线 yx 对称，直线 4x3y20 与圆 C 相交于 A，B 两 点，且 AB6，则圆 C 的方程为_ 答案 (1)x1 或 4x3y40 (2)x2(y1)210 解析 (1)当直线 l 与 x 轴垂直时，易知 x1 符合题意； 当直线 l 与 x 轴不垂直时，设直线 l 的方程为 yk(x1)， 线段 PQ 的中点为 M，由于 PQ2 3，易得 CM1.又 CM|3k| k211， 解得 k4 3，此时直线 l 的方程为 y 4 3(x1)故所求直线 l 的方程为 x1 或 4x3y40. (2)设所求圆的半径是 r，依题意得，抛物线 y24x 的焦点坐标是(1,0)，则圆 C 的圆心坐标是(0,1)， 圆心到直线 4x3y20 的距离 d|40312| 4232 1，则 r2d2(AB 2 )210， 故圆 C 的方程是 x2(y1)210. 热点三 直线与圆、圆与圆的位置关系 例 3 如图，在平面直角坐标系 xOy 中，点 A(0,3)，直线 l：y2x4.设圆 C 的 半径为 1，圆心在 l 上 (1)若圆心 C 也在直线 yx1 上，过点 A 作圆 C 的切线，求切线的方程； 121 (2)若圆 C 上存在点 M，使 MA2MO，求圆心 C 的横坐标 a 的取值范围 思维启迪 (1)先求出圆 C 的圆心坐标，再利用几何法求出切线斜率；(2)将 MA2MO 化为 M 点坐标满足 的条件后，可知点 M 是两圆的交点 解解 (1)由题设，圆心 C 是直线 y2x4 和直线 yx1 的交点，解得点 C(3,2)， 于是切线的斜率必存在设过 A(0,3)的圆 C 的切线方程为 ykx3， 由题意，|3k1| k211，解得 k0 或 3 4，故所求切线方程为 y3 或 3x4y120. (2)因为圆心在直线 y2x4 上，所以圆 C 的方程为(xa)2y2(a2)21. 设点 M(x，y)，因为 MA2MO，所以 x2y322 x2y2， 化简得 x2y22y30，即 x2(y1)24，所以圆心 M 在以 D(0，1)为圆心，2 为半径的圆上 由题意得，点 M(x，y)在圆 C 上，所以圆 C 与圆 D 有公共点，则 21CD21， 即 1 a22a323.由 5a212a80，得 aR；由 5a212a0，得 0a12 5 . 所以圆心 C 的横坐标 a 的取值范围为 0，12 5 . 思维升华 (1)讨论直线与圆及圆与圆的位置关系时，要注意数形结合，充分利用圆的几何性质寻找解题途 径，减少运算量研究直线与圆的位置关系主要通过圆心到直线的距离和半径的比较实现，两个圆的位置 关系的判断依据是两圆心距离与两半径差与和的比较 (2)直线与圆相切时利用“切线与过切点的半径垂直，圆心到切线的距离等于半径”建立切线斜率的等式，所 以求切线方程时主要选择点斜式过圆外一点求解切线段长可转化为圆心到圆外点距离，利用勾股定理处 理 (1)已知直线 axy20 与圆心为 C 的圆(x1)2(ya)24 相交于 A，B 两点，且ABC 为等边三角形，则实数 a_. (2)两个圆 C1：x2y22axa240(aR)与 C2：x2y22by1b20(bR)恰有三条公切线，则 ab 的最小值为_ 答案 (1)4 15 (2)3 2 解析 (1)圆心 C(1，a)到直线 axy20 的距离为|aa2| a21 . 因为ABC 为等边三角形，所以 ABBC2，所以(|aa2| a21 )21222，解得 a4 15. (2)两个圆恰有三条公切线，则两圆外切，两圆的标准方程为圆 C1：(xa)2y24，圆 C2：x2(yb)21， 所以 C1C2 a2b2213，即 a2b29.由(ab 2 )2a 2b2 2 ，得(ab)218， 所以3 2ab3 2，当且仅当“ab”时取“”ab 的最小值为3 2. 真题感悟 122 1(2014 江苏)在平面直角坐标系 xOy 中，直线 x2y30 被圆(x2)2(y1)24 截得的弦长 为_ 答案 2 55 5 解析 圆心为(2，1)，半径 r2.圆心到直线的距离 d|2213| 14 3 5 5 ， 所以弦长为 2 r2d22223 5 5 22 55 5 . 2(2014 课标全国)设点 M(x0,1)，若在圆 O：x2y21 上存在点 N，使得OMN45 ，则 x0的取值范 围是_ 答案 1,1 解析 如图，过点 M 作O 的切线，切点为 N，连结 ON. M 点的纵坐标为 1， MN 与O 相切于点 N. 设OMN，则 45 ，即 sin 2 2 ，即ON OM 2 2 . 而 ON1，OM 2.M 为(x0,1)， x201 2，x201， 1x01，x0的取值范围为1,1 押题精练 1在直角坐标系 xOy 中，已知 A(1,0)，B(0,1)，则满足 PA2PB24 且在圆 x2y24 上的点 P 的个数 为_ 答案 2 解析 设 P(x，y)，则由 PA2PB24，得(x1)2y2x2(y1)24，xy2， 满足条件的点 P 的个数转化为直线 xy2 和圆 x2y24 的交点个数， |002| 2 22，直线与圆相交，点 P有 2 个 2如果圆 C：x2y22ax2ay2a240 与圆 O：x2y24 总相交，则实数 a 的取值范围 是_ 答案 2 2a0 或 0a2 2 解析 将圆 C：x2y22ax2ay2a240 变形为(xa)2(ya)24，可知圆心为 C(a，a)，半径为 r2.圆 O：x2y24 的圆心为 O(0,0)， 半径为 R2.当两圆总相交时|Rr|OCrR，即 0 a2a24，解得2 2a0 或 0a0)上有且只有两个点到直线 xy20 的距离为 1， 则实数 r 的取值范围是_ 答案 ( 21， 21) 解析 注意到与直线 xy20 平行且距离为 1 的直线方程分别是 xy2 20 和 xy2 20，要使圆上有且只有两个点到直线 xy20 的距离为 1， 需满足在两条直线 xy2 20 和 xy2 20 中，一条与该圆相交且另一条与该圆相离， 所以| 22| 2 r|2 2| 2 ，即 214. 5动圆 C 经过点 F(1,0)，并且与直线 x1 相切，若动圆 C 与直线 yx2 21 总有公共点，则圆 C 面积的最小值为_ 答案 4 解析 设圆心为(a，b)，半径为 r，rCF|a1|，即(a1)2b2(a1)2，即 a1 4b 2， 圆心为(1 4b 2，b)，r1 4b 21，圆心到直线 yx2 21 的距离为 d |b 2 4 b2 21| 2 b 2 41， b2(2 23)或 b2，当 b2 时，rmin1 4 412，Sminr 24. 6设 P 为直线 3x4y30 上的动点，过点 P 作圆 C：x2y22x2y10 的两条切线，切点分别为 A，B，则四边形 PACB 的面积的最小值为_ 答案 3 解析 依题意，圆 C：(x1)2(y1)21 的圆心是点 C(1,1)，半径是 1， 易知 PC 的最小值等于圆心 C(1,1)到直线 3x4y30 的距离，即10 5 2，而四边形 PACB 的面积 等于 2SPAC2 (1 2PA AC)PA ACPA PC 21，因此四边形 PACB 的面积的最小值是 221 3. 7已知直线 l1与圆 x2y22y0 相切，且与直线 l2：3x4y60 平行，则直线 l1的方程 是_ 答案 3x4y10 或 3x4y90 解析 依题意，设所求直线 l1的方程是 3x4yb0， 则由直线 l1与圆 x2(y1)21 相切，可得圆心(0，1)到直线 3x4yb0 的距离为 1， 124 即有|b4| 5 1，解得 b1 或 b9.因此，直线 l1的方程是 3x4y10 或 3x4y90. 8直线 l1：yxa 和 l2：yxb 将单位圆 C：x2y21 分成长度相等的四段弧，则 a2b2_. 答案 2 解析 依题意，不妨设直线 yxa 与单位圆相交于 A，B 两点，则AOB90 . 如图，此时 a1，b1，满足题意， 所以 a2b22. 9(2013 湖北)已知圆 O：x2y25，直线 l：xcos ysin 1(00)关于直线 xy20 对称，求圆 C 的方程 解 (1)根据题意可设圆心(a,0)，则10 1a1a2，即圆心为(2,0)，r 21 2012 2， 则所求圆的方程为(x2)2y22. (2)设圆心为 C(a，b)，则 a2 2 b2 2 20， b2 a21， 所以 a0， b0， 又 P(1,1)在圆上， 所以圆 C 的方程为 x2y22. 12已知圆 M 的方程为 x2y22x2y60，以坐标原点 O 为圆心的圆 O 与圆 M 相切 (1)求圆 O 的方程； (2)圆 O 与 x 轴交于 E，F 两点，圆 O 内的动点 D 使得 DE，DO，DF 成等比数列，求DE DF 的取值范围 解 (1)圆 M 的方程可整理为(x1)2(y1)28，故圆心 M(1,1)，半径 R2 2. 圆 O 的圆心为 O(0,0)，因为 MO 22 2，所以点 O 在圆 M 内，故圆 O 只能内切于圆 M. 设圆 O 的半径为 r，因为圆 O 内切于圆 M，所以 MORr，即 22 2r，解得 r 2. 125 所以圆 O 的方程为 x2y22. (2)不妨设 E(m,0)，F(n,0)，且