2014年全国初中数学联赛试题及答案(修正版)

2014年全国初中数学联合竞赛试题参考答案第一试一、选择题： 1已知x，y为整数，且满足() ()()，则xy的可能的值有（ ）A. 1个 B. 2个 C. 3个 D. 4个2已知非负实数x，y，z满足xyz1，则t2xyyz2xz的最大值为（ ）A B C D3在ABC中，ABAC，D为BC的中点，BEAC于E，交AD于P，已知BP3，PE1，则AE（ ）A B C D 46张不同的卡片上分别写有数字2，2，4，4，6，6，从中取出3张，则这3张卡片上所写的数字可以作为三角形的三边长的概率是（ ）A B C D5设t表示不超过实数t的最大整数，令ttt.已知实数x满足x318，则x（ ）A B3 C(3) D16在ABC中，C90，A60，AC1，D在BC上，E在AB上，使得ADE为等腰直角三角形, ADE90 ,则BE的长为（ ）A42 B2 C(1) D1二、填空题： 1已知实数a，b，c满足abc1，1，则abc_2使得不等式对唯一的整数k成立的最大正整数n为_3已知P为等腰ABC内一点，ABBC，BPC108，D为AC的中点，BD与PC交于点E，如果点P为ABE的内心，则PAC_4已知正整数a，b，c满足: 1abc，abc111，b2ac，则b_第一试 参考答案一、选择题 1.C 2.A 3.B 4.B 5.D 6.A二、填空题 1. 0 2. 144 3. 48 4. 36第二试 （A）一、 设实数满足，求的值二、如图，在ABCD中， D为对角线BD上一点，且满足ECDACB, AC的延长线与ABD的外接圆交于点F. 证明：DFEAFB三、设n是整数，如果存在整数x，y，z满足nx3y3z33xyz，则称n具有性质P. 在1，5，2013，2014这四个数中，哪些数具有性质P，哪些数不具有性质P？并说明理由.第二试 （A）答案一、解 由已知条件可得，.设，则有，联立解得或.若，即，则是一元二次方程的两根，但这个方程的判别式，没有实数根； 若，即，则是一元二次方程的两根，这个方程的判别式，它有实数根.所以. 二、证明 由是平行四边形及已知条件知.又A、B、F、 D四点共圆，所以，所以，所以.又，所以，故. 三、解 取，可得，所以1具有性质P.取，可得，所以5具有性质P. 为了一般地判断哪些数具有性质P，记，则.即 不妨设，如果，即，则有；如果，即，则有；如果，即，则有；由此可知，形如或或（为整数）的数都具有性质P.因此，1，5和2014都具有性质P. 若2013具有性质P，则存在整数使得.注意到，从而可得，故，于是有，即，但201392236，矛盾，所以2013不具有性质P.第二试 （B）试题及答案一同（A）卷第一题.二如图，已知为的外心，为的外接圆上一点，过点作直线的垂线，垂足为.若，求.解 延长交于点，延长交于点，由题意得，所以为的平分线.又点在的半径上，点、在上，所以点、关于直线对称，.延长交于点，因为为圆心，所以点、关于直线对称，.因此. 又，所以，所以，. 因此， ，即，所以. 三设n是整数，如果存在整数x，y，z满足nx3y3z33xyz，则称n具有性质P.（1）试判断1，2，3是否具有性质P；（2）在1，2，3，2013，2014这2014个连续整数中，不具有性质的数有多少个？解 取，可得，所以1具有性质P；取，可得，所以2具有性质P； 若3具有性质P，则存在整数使得，从而可得，故，于是有，即，这是不可能的，所以3不具有性质P. （2）记，则.即 不妨设，如果，即，则有；如果，即，则有；如果，即，则有；由此可知，形如或或（为整数）的数都具有性质P.又若，则，从而，进而可知.综合可知：当