广东广州六中高二数学期试理

广州市六中08-09学年高二下学期期中数学考试题时间：120分钟 满分：150分一、选择题（共8题，每题5分）1.复数在复平面内的对应点在（ ）A第一象限 B第二象限 C第三象限 D第四象限2.定积分的值为（ ）A1 B.ln2 C. D.3.某班一天上午安排语、数、外、体四门课，其中体育课不能排在第一、第四节，则不同排法的种数为 （ ） A.24 B.22 C.20 D.124. 已知则a，b，c的大小关系为（ ）Aabc Bcab Ccba Dbca 5.曲线上的任意一点P处切线的斜率的取值范围是（ ）A B. C. D. 6. 已知数列满足，则（ ）A1 B.2 C.3 D.07. 函数的大致图像为（ ）ABCDA1B1C1D1xyoAxyoBxyoCxyoD1111 8. ABCD-A1B1C1D1是单位正方体，黑白两只蚂蚁从点A出发沿棱向前爬行，每爬完一条棱称为“爬完一段”.白蚂蚁爬行的路线是AA1A1D1，黑蚂蚁爬行的路线是ABBB1，它们都遵循如下规则：所爬行的第i+2段与第i段所在直线必须是异面直线（iN*），设黑白蚂蚁都爬完2007段后各自停止在正方体的某个顶点处，则此时黑白蚂蚁的距离是（ ）A B1 C0 D二、填空题（共6题，30分）9.已知向量 若，则x_10.若复数，则复数z= _ 11.由曲线与所围成的曲边形的面积为_12.在平面几何里，有“RtABC的直角边分别为a、b，斜边上的高为h，则”。类比这一结论，在三棱锥PABC中，PA、PB、PC两两互相垂直，且PAa，PBb，PCc，则此三棱锥PABC的高h满足 13题13. 为如图所示的四块区域涂色，要求相邻区域不能同色，现有3种不同颜色可供选择，则共有_种不同涂色方案（要求用具体数字作答）.14.若在区间-1, 1上，函数恒成立，则a的取值范围是_三、解答题（共6题，80分）15.（12分）已知复数在复平面内表示的点为A，实数m取什么值时，（1）z为实数？z为纯虚数？（2）A位于第三象限？16.（13分）已知且是、的等差中项，是、的等比中项。求证： 17.（14分）如图，四面体ABCD中，O、E分别是BD、BC的中点，（1）求证：平面BCD；（2）求异面直线AB与CD所成角的余弦；（3）求点E到平面ACD的距离。18.（13分）如图，设铁路AB长为80，BCAB，且BC10，为将货物从A运往C，现在AB上距点B为x的点M处修一公路至C，.已知单位距离的铁路运费为2，公路运费为4.ABCM（1）将总运费y表示为x的函数；（2）如何选点M才使总运费最小？19. （14分）已知函数是定义在R上的奇函数，且时，函数取极值1（1）求的值；（2）若对任意的，均有 成立，求s的最小值；20.（14分）已知各项为正的数列的首项为（为锐角），数列满足.（1）求证：当x时，（2）求，并证明：若，则（3）是否存在最大正整数m，使得对任意正整数n恒成立？若存在，求出m；若不存在，请说明理由.广州市第六中学高二下学期期中数学考试题答案一、 选择题（每题5分）题号12345678答案BBDCDAAC二、填空题（每空5分）9. -2； 10. -1 ； 11. ； 12.； 13. 18； 14. 三、解答题15.解：（1）当0即m3或m6时，z为实数； 3分当，即m5时，z为纯虚数.6分（2）当即即3m5时，对应点在第三象限. 12分16.证明：由题意， 2分得 5分另一方面，要证，即证 7分即证 9分即证 11分亦即证，而此式在已证，故原等式成立.13分17. 解：（1）由题知ABD为等腰直角三角形，因此，又，故OA2+OC2=AC2，所以OAOC，又OABD,OCBDO，故OA面BCD 4分（2）以O为原点建立直角坐标系如图，则A（0，0，1），B（1，0，0），C（0，0），D（1，0，0）从而，因此直线AB与CD所成的角的余弦为 9分（3），设面ACD的法向量为，则，令y=1,则，从而.又点E（），故点E到面ACD的距离d= 14分18.解：(1)依题，铁路AM上的运费为2（50x），公路MC上的运费为，则由A到C的总运费为 6分（2），令，解得（舍）9分 当时，；当时， 故当时，y取得最小值. 12分即当在距离点B为时的点M处修筑公路至C时总运费最省. 13分19.解：(1)函数是定义在R上的奇函数,即对于恒成立，.,时，函数取极值1. ,解得: 故6分 (2),时,上是减函数, 8分故上最小值为1，最大值为,因此当时,12分，故s的最小值为2 14分20.解：（1）令，则故，即sinxx 3分（2）由得又，猜想： 5分下面用数学归纳法证明：n1时，成立，假设nk时命题成立，即，则nk1时，即nk1时命题成立.由知对N*成立.8分 由（1）知，N*故因此时， 11分（3），故，为递增数列，因此要使对任意正整数n恒成立，只需成立，而，因此，故存在最大自然数m8满足条件。 14分另证：由于，可得，因此可猜想m的最大值，下面证明，即证恒成立.n1时，成立，假设nk时命题成立，即，则nk1时，即nk1时命题成立.由知对N*成立.即对N*成立，由知正整数m的最大值为814分（修改）19. （14分）已知函数是定义在R上的奇函数，且时，函数取极值1（1）求的值；（2）若对任意的，均有 成立，求s的最小值；（3）若对任意的，恒有，求t的最大值.解：(1)函数是定义在R上的奇函数,即对于恒成立，.,时，函数取极值1. ,