江苏数学一轮第七章第39课等差数列要点导学pdf

要点导学 各个击破 要点导学 各个击破 等差数列的基本量运算 等差数列的基本量运算 例1 已知等差数列an中,a1=1,a3=-3. (1)求数列an的通项公式; (2)若数列an的前k项和Sk=-35,求k的值. 思维引导思维引导(1)由等差数列的通项公式可写出数列an的通项公式;(2)先根据 等差数列的前n项和公式Sn= 1 () 2 n n aa 求出其前k项和,再由Sk=-35得到关于k的方程, 解此方程可得k值,注意kN N * *. 解答解答(1)设等差数列an的公差为d,则an=a1+(n-1)d. 由a1=1,a3=-3,可得1+2d=-3,解得d=-2. 从而an=1+(n-1)(-2)=3-2n. (2)由(1)可知an=3-2n, 所以Sn= 1(3-2 ) 2 nn =2n-n 2. 由Sk=-35,可得2k-k 2=-35, 即k 2-2k-35=0,解得k=7或k=-5.又kN N* *,故k=7. 精要点评精要点评本题还可以用两点式求直线方程的方法求an.设an=an+b,把 a1=1,a3=-3分别代入求出a=-2,b=3,得到an=3-2n. 例2 已知等差数列an中的前三项和为12,且2a1,a2,a3+1依次成等比数列,求 数列an的公差. 思维引导思维引导求得a2的值,设公差d,构造关于d的方程,然后求之. 解答解答设等差数列an的公差为d,由数列an的前3项和为12, 得3a2=12,所以a2=4. 因为2a1,a2,a3+1成等比数列,所以2a1(a3+1)= 2 2 a , 即2(a2-d)(a2+d+1)= 2 2 a ,即d 2+d-12=0, 解得d=-4或3. 精要点评精要点评在等差数列的运算中,常用的有五个基本量,它们是a1,d,n,an,Sn.掌 握这五个基本量之间的各种关系,结合熟练的运算,即可解决等差数列的常见问题. 【题组强化重点突破】 【题组强化重点突破】 1. 在等差数列an中,a2=1,a4=5,则数列an的前5项和S5= . 答案答案15 解 析 解 析 因 为 a2=1,a4=5, 所 以 a1+a5=a2+a4=6, 所 以 数 列 an 的 前 5 项 和 S5= 15 5() 2 aa = 24 5() 2 aa = 5 26=15. 2.(2014 福 建 卷 ) 已 知 等 差 数 列 an 的 前 n 项 和 为 Sn, 若 a1=2,S3=12, 则 a6= . 答案答案12 解 析 解 析 设 等 差 数 列 an 的 公 差 为 d, 由 题 意 得 S3=3a1+3d=6+3d=12, 所 以 d=2,a6=a1+5d=12. 3. 若 在 公 差 不 为 0 的 等 差 数 列 an 中 ,a3=10,a3,a7,a10成 等 比 数 列 , 则 公 差 d= . 答案答案- 5 8 解析解析因为a3,a7,a10成等比数列,所以 2 7 a =a3a10.又因为a3=10,公差为d,所以 (a3+4d) 2=a 3(a3+7d),即(10+4d) 2=10(10+7d),即8d2+5d=0,所以d=- 5 8或d=0(舍去). 4. 已知等差数列an中,a2=6,a5=15,若bn=a2n,则数列bn的第5项是 . 答案答案30 解析解析设等差数列an的公差为d,由题意得 21 51 6, 415 aad aad 1 3, 3, a d 所以 an=3+3(n-1)=3n.因为bn=a2n,所以b5=a10=30. 5.已知数列an是等差数列,若a1+1,a3+3,a5+5构成公比为q的等比数列,则 q= . 答案答案1 解 析 解 析 设 等 差 数 列 an 的 公 差 为 d. 因 为 a1+1,a3+3,a5+5 成 等 比 数 列 , 所 以 (a1+1)(a5+5)=(a3+3) 2,即(a 1+1) a1+1+4(d+1)=a1+1+2(d+1) 2,令a 1+1=x,d+1=y,则 x(x+4y)=(x+2y) 2,即x2+4xy=x2+4xy+4y2,所以y=0,即d+1=0,所以q= 3 1 3 1 a a = 1 1 1 1 a a =1. 等差数列的通项公式 等差数列的通项公式 例3 设各项均为正数的数列an的前n项和为Sn,已知4Sn= 2 1n a -4n-1,nN N * *, 且a2,a5,a14构成等比数列. (1)求证:a2= 1 45a ; (2)求数列an的通项公式. 思维引导思维引导(1)对于4Sn= 2 1n a -4n-1,取n=1,可得到a1与a2的关系,即可证得;(2)当 n2时,由4an=4Sn-4Sn-1= 2 1n a - 2 n a -4,可得到an+1与an的关系式,从而可知等差数列an 的公差,又由a2,a5,a14构成等比数列,从而可求出基本量a1,即可写出其通项公式. 解答解答(1)当n=1时,4a1= 2 2 a -5, 2 2 a =4a1+5, 因为an0,所以a2= 1 45a . (2)当n2时,4Sn-1= 2 n a -4(n-1)-1, 则4an=4Sn-4Sn-1= 2 1n a - 2 n a -4, 即 2 1n a = 2 n a +4an+4=(an+2) 2, 因为an0,所以an+1=an+2,an+1-an=2, 所以当n2时,an是公差d=2的等差数列. 因为a2,a5,a14构成等比数列, 所以 2 5 a =a2a14,即(a2+6) 2=a 2(a2+24),解得a2=3, 由(1)可知,4a1= 2 2 a -5=4,所以a1=1, 因为a2-a1=3-1=2, 所以an是首项a1=1、公差d=2的等差数列. 所以数列an的通项公式为an=2n-1. 精要点评精要点评等差数列的判断,主要通过等差数列的定义进行判断:an+1-an为常数 d,而不能是关于n变化的函数f(n). 变式变式 已知各项均为正数的数列an的前n项和为Sn,且4Sn= 2 n a +2an+1,nN N * *, 求数列an的通项公式. 解答解答当n=1时,a1=1. 因为4Sn= 2 n a +2an+1, 所以4Sn+1= 2 1n a +2an+1+1, 两式相减得4an+1= 2 1n a - 2 n a +2an+1-2an, 即(an+1+an)(an+1-an-2)=0. 因为数列an的各项都是正数, 所以an+1-an=2, 所以an为首项为1、公差为2的等差数列, 故an=2n-1. 等差数列的求和问题 等差数列的求和问题 例4 (2014湖北卷)已知等差数列an满足:a1=2,且a1,a2,a5成等比数列. (1)求数列an的通项公式. (2)记Sn为数列an的前n项和,是否存在正整数n,使得Sn60n+800?若存在,求出 n的最小值;若不存在,请说明理由. 思维引导思维引导(1)设数列an的公差为d,根据a1,a2,a5成等比数列求得d的值,从而 求得数列an的通项公式;(2)由(1)中求得的an,根据等差数列的求和公式求出Sn,从 而解不等式求出满足条件的n. 解答解答(1) 设数列an的公差为d, 依题意得2,2+d,2+4d成等比数列, 所以(2+d) 2=2(2+4d),解得d=0或d=4. 当d=0时,an=2;当d=4时,an=2+(n-1)4=4n-2, 所以数列an的通项公式为an=2或an=4n-2. (2) 当an=2时,Sn=2n,显然2n60n+800. 当an=4n-2时,Sn= 2(42) 2 nn =2n 2, 令2n 260n+800,即n2-30n-4000, 解得n40或n60n+800成立,n的最小值为41. 综上所述,当an=2时,不存在满足题意的正整数n; 当an=4n-2时,存在正整数n,使得Sn60n+800成立,n的最小值为41. 精要点评精要点评等差数列的求和是数列中考查频率比较高的知识点,通常会与解不 等式及求最值等知识点综合考查. 变式 在公差为d的等差数列an中,已知a1=10,且a1,2a2+2,5a3成等比数列. (1)求d,an; (2)若d0,求|a1|+|a2|+|a3|+|an|. 解答解答(1)由题意,得a15a3=(2a2+2) 2, 由a1=10,an为公差为d的等差数列,得d 2-3d-4=0, 解得d=-1或d=4, 当d=-1时,an=-n+11;当d=4时,an=4n+6. (2)设数列an的前n项和为Sn. 因为d0,所以|a1|+|a2|+|a3|+|an|=Sn,当n12时,an0,|a1|+|a2|+|a3|+ +|an|=2S11-Sn. 1. 在等差数列an中,若a3+a13=18,则a8= . 答案答案9 解析解析由题意得a3+a13=2a8=18,所以a8=9. 2.(2014南京学情调研)在等差数列an中,a4=7,a8=15,则数列an的前n项和 Sn= . 答案答案n 2 解析解析设等差数列an的公差为d,则a8-a4=4d=8,从而d=2,因此an=7+2(n-4)=2n-1, 故Sn= (12 -1) 2 nn =n 2. 3. 在等差数列an中,已知S30=20,S90=80,那么S60= . 答案答案 140 3 解析 解析设S60=x,则20,x-20,80-x成等差数列,所以20+(80-x)=2(x-20),解得x= 140 3 . 4. 已知数列an的前n项和Sn=n 2-6n,那么数列|a n|的前6项和T6= . 答案答案18 解析解析由Sn=n 2-6n,得a n是等差数列,且an=2n-7.当n3时,an0,所 以T6=-a1-a2-a3+a4+a5+a6=S6-2S3=18. 5. 已知数列an为等差数列,a1+a3+a5=10