江苏数学一轮第二章第4课函数的概念及其表示法要点导学pdf

要点导学 各个击破 要点导学 各个击破 函数的概念 函数的概念 判断下列对应是否为函数: (1) xy,y=x 2+2x+1,xR R; (2) xy,这里y 4=x,xR R,yR R; (3) A=(x,y)|x,yR R,对任意的(x,y)A,(x,y)x+y. 思维引导思维引导判断标准:根据给出的定义域和对应法则,看自变量x在其定义域内 的每一个值是否有确定且唯一的函数值与之对应. 解答解答(1) 对于任意一个实数x,y=x 2+2x+1都被x唯一确定,所以当xR R 时,y=x 2+2x+1是函数. (2) 考虑输入值1,即当x=1时,输出值为y,由y 4=1,得y=1,这里一个输入值与两 个输出值对应(不是单值对应),所以y 4=x不是函数. (3) 由于集合A不是数集,所以此对应法则一定不是函数. 精要点评精要点评判断对应关系是否为函数关系,从三个角度入手:(1) 定义域是否为 数集;(2) 定义域中每个值是否使解析式都有意义;(3) 由解析式算出的数是否唯一. 函数的三要素 函数的三要素 (2014江苏模拟)下列各组函数中,表示同一函数的是 .(填序号) f(x)=x-1,g(x)= 2 x x -1; f(x)=|x|,g(x)= 2 ( x) ; f(x)=x,g(x)= 33 x ; f(x)=2x,g(x)= 2 4x . 思维引导思维引导判断两个函数是否为同一函数,要从定义域、值域和对应关系三个 方面考虑. 答案答案 解析解析f(x)=x-1的定义域为R R,g(x)= 2 x x -1的定义域为x|x0,定义域不同, 所以不是同一函数;f(x)=|x|的定义域为R R,g(x)= 2 ( x) 的定义域为x|x0,定 义域不同,所以不是同一函数;f(x)=x,g(x)= 33 x =x,所以是同一函数; f(x)=2x,g(x)= 2 4x =2|x|0,对应法则和值域都不同,所以不是同一函数. 求函数的解析式 求函数的解析式 (1) 已知f( x +1)=x+2 x ,求f(x); (2) 设f(x)是一次函数,且ff(x)=4x+3,求f(x); (3) 已知f 1 x- x =x2+ 2 1 x +1(x0),求f(x). 思维引导思维引导求函数解析式的方法一般有待定系数法和换元法.如果已知函数式 的构造模式,可用待定系数法;如果已知复合函数fg(x)的表达式求f(x),常用换元 法. 解答解答(1) 设 x +1=t(t1),则 x =t-1, 代入f( x +1)=x+2 x , 得f(t)=(t-1) 2+2(t-1)=t2-1,即f(x)=x2-1(x1). (2) 根据题意,可设f(x)=ax+b(a0), 则ff(x)=af(x)+b=a(ax+b)+b=a 2x+ab+b=4x+3, 故a 2=4,ab+b=3,解得 a2, b1 或 a-2, b-3. 所以f(x)=2x+1或f(x)=-2x-3. (3) 因为f 1 x- x = 2 1 x- x +3,当x0时,x- 1 xR R,所以f(x)=x2+3. 精要点评精要点评在采用整体换元法求解时,一定要注意所换的元的取值范围,不但 要从式子形式上确定其取值范围,还要注意题目的限制条件. (1) (2014江苏模拟)已知f 1 x =x2+5x,求f(x)的解析式; (2) 已知f(x)是一次函数,且满足3f(x+1)-2f(x-1)=2x+17,求f(x); (3) (2014保定模拟)已知f 2 1 x =x+3,求f(x)的解析式. 解答解答(1) 令t= 1 x(t0),则x= 1 t, 所以f(t)= 2 1 t + 5 t. 故f(x)= 2 5x1 x (x0). (2) 设f(x)=ax+b(a0), 则3f(x+1)-2f(x-1)=3ax+3a+3b-2ax+2a-2b=ax+b+5a=2x+17,解得a=2,b=7, 所以f(x)=2x+7. (3) 令t= 2 x+1(t1),则x= 2 t-1, 所以f(t)= 2 t-1+3= 3t-1 t-1 , 所以f(x)= 3x-1 x-1 (x1). 如图,有一块半径为R的半圆形钢板,计划裁剪成等腰梯形ABCD的形状,它的 下底AB是O的直径,且上底CD的端点在圆周上,写出梯形的周长y关于腰长x的函数 关系式,并求出它的定义域. (例4) 思维引导思维引导本题只要将上底用腰长x表示即可. 解答解答由题意得AB=2R,点C,D在O的半圆周上,设腰长AD=BC=x,作DEAB,垂 足为E,连接BD,易知ADB是直角. 由RtADERtABD,得AD 2=AEAB,即AE= 2 x 2R. 所以CD=AB-2AE=2R- 2 x R . 所以y=2R+2x+ 2 x 2R- R . 即y=- 2 x R +2x+4R. 由 2 2 x0, x 0, 2R x 2R-0, R 解得0x0,所以当t= 15 4 =3.75时,p取最大值, 故最佳加工时间是3.75 min. 提高过江大桥的车辆通行能力可改善整个城市的交通状况,在一般情况下,大桥 上的车流速度v(单位:km/h)是车流密度x(单位:辆/km)的函数.当桥上的车流密度达 到200辆/km时,造成堵塞,此时车流速度为0;当车流密度不超过20辆/km时,车流速度 为60 km/h.研究表明:当20x200时,车流速度v是车流密度x的一次函数. (1) 当0x200时,求函数v(x)的表达式. (2) 当车流密度x为多大时,车流量(单位时间内通过桥上某观测点的车辆数,单 位:辆/h)f(x)=xv(x)可以达到最大?并求出最大值.(精确到1辆/h) 规范答题规范答题(1) 由题意,当0x20时,v(x)=60. 当20x200时,设v(x)=ax+b, 由已知得 200ab0, 20ab60, 解得 1 a-, 3 200 b. 3 (4分) 故v(x)= 60,0 x20, 1 (200-x),20 x200. 3 (6分) (2) 依题意并由(1)可得 f(x)= 60 x,0 x20, 1 x(200-x),20 x200. 3 (8分) 当0x20时,f(x)为单调增函数,故当x=20时,其最大值为6020=1200; 当20x200时, f(x)= 1 3x(200-x) 2 1 x(200-x) 32 = 10000 3 , (10分) 当且仅当x=200-x,即x=100时,等号成立. 所以,当x=100时,f(x)在区间20,200上取得最大值 10000 3 . 综上,当x=100时,f(x)在区间0,200上取得最大值 10000 3 3333. 即当车流密度为100辆/km时,车流量可以达到最大,最大值约为3333辆/h.(14 分) 1. 判断下列对应是否为从集合A到B的函数: (1) A=1,2,3,4,5,B=0,2,4,6,8,xA,f:x2x; (2) A=R R,B=R R,xA,f:xy,y=|x|; (3) A=0,+),B=R R,xA,f:xy,y 2=x. 解答解答(1) A中元素5在B中无元素与之对应,故(1)不是函数;(2) 满足函数的定义, 故(2)是函数;(3) 当输入值x=1时,输出值y=-1或1,这里一个输入值与两个输出值对 应,故(3)不是函数. 2. 下列各组函数中,表示相同函数的是 .(填序号) f(u)= 1 u 1-u ,g(v)= 1 v 1-v ; f(x)= 2 x ,g(x)=x; f(x)= 2 1-x ,g(x)=1-|x|,x-1,1; f(x)= x1 x-1,g(x)= 2 x -1. 答案答案 解析解析中两个函数的定义域、值域和对应法则都相同,所以它们是同一函数.中 由于f(x)= 2 x =|x|,两个函数的对应法则不同,故它们不是同一函数.中两个函数 的对应法则不同,故它们不是同一函数.中两个函数的定义域不同,故它们不是同 一函数. 3. 已知函数f(x)= x-1.若f(a)=3,则实数a= . 答案答案10 4. (2014 江苏模拟)某种产品的购买量x(单位:t)与单价y(单位:t)之间满足一次函 数关系,如果购买1 000t,每吨800元,购买2 000t,每吨700