江苏数学一轮第九章第50课线面平行与面面平行要点导学pdf

要点导学 各个击破 要点导学 各个击破 线面平行的判定与证明 线面平行的判定与证明 如图(1),在等边三角形ABC中,D,E分别是AB,AC边上的点,AD=AE,F是BC的 中点,AF与DE交于点G,将ABF沿AF折起,得到如图(2)所示的三棱锥A-BCF,求证:DE 平面BCF. 图(1) 图(2)(例1) 思维引导思维引导将平面图形折成空间图形要弄清折前折后不变的关系,如 AD DB= AE EC. 证明证明在等边三角形ABC中,AD=AE, 所以 AD DB= AE EC,在折叠后的三棱锥A-BCF中也成立,所以DEBC. 因为DE 平面BCF,BC平面BCF, 所以DE平面BCF. (2014 山 东 卷 ) 如 图 , 在 四 棱 锥 P-ABCD 中 ,AP 平 面 PCD,AD BC,AB=BC= 1 2AD,E,F分别为线段AD,PC的中点,求证:AP平面BEF. (变式1) 证明证明设ACBE=O,连接OF,CE. 由于E为AD的中点, AB=BC= 1 2AD,ADBC. 所以AEBC,AE=AB=BC, 因此四边形ABCE为菱形, 所以O为AC的中点. 又F为PC的中点, 因此在PAC中,APOF. 又OF平面BEF,AP 平面BEF, 所以AP平面BEF. 如图,在四棱锥P-ABCD中,PD底面ABCD,ADAB,CDAB,AB=2,CD=3,点M,N 分别是PA,PB的中点. (变式2) (1) 求证:MN平面PCD; (2) 求证:四边形MNCD是直角梯形. 证明证明(1) 因为点M,N分别是PA,PB的中点, 所以MNAB. 因为CDAB,所以MNCD. 又因为CD 平面PCD,MN 平面PCD, 所以MN平面PCD. (2) 因为MN= 1 2AB=1,ED=3, 所以MNCD,又MNCD, 所以四边形MNCD是梯形. 因为ADAB,CDAB,所以CDAD, 又因为PD底面ABCD,CD平面ABCD, 所以CDPD,又ADPD=D, 所以CD平面PAD. 因为MD平面PAD,所以CDMD, 所以四边形MNCD是直角梯形. 线面平行的性质的应用 线面平行的性质的应用 (2014泰州模拟改编)如图,在四棱锥P-ABCD中,底面ABCD是正方形,E是PC 的中点,F为线段AC上一点.若EF平面PBD,求 AF FC 的值. (例2) 思维引导思维引导通过线面平行的性质,将空间的问题转化到一个平面PAC中,通过EF PO来确定点F的位置,求出 AF FC 的值. 解答解答设ACBD=O,连接PO. 因为EF平面PBD,底面ABCD是正方形,平面PBD平面PAC=PO,且EF平面PAC, 所以EFPO, 又E是PC的中点,所以OF=FC,AF=3FC, 即 AF FC =3. 在空间四边形ABCD中,点E,F,G,H分别在AB,BC,CD,DA上,且四边形EFGH为平 行四边形,求证:AC平面EFGH. (变式) 证明证明如图,因为四边形EFGH是平行四边形,所以EFHG. 又HG平面ACD,EF 平面ACD, 所以EF平面ACD. 又EF平面ABC,平面ABC 平面ADC=AC,所以EFAC. 又EF平面EFGH,AC 平面EFGH, 所以AC平面EFGH. 面面平行的判定 面面平行的判定 (2014江苏模拟)如图,在四棱锥E-ABCD中,ABD为正三角形,EB=ED,且AB BC,M,N分别为线段AE,AB的中点,求证:平面DMN平面BEC. (例3) 思维引导思维引导分别证MN平面BCE和BC平面BCE,再利用面面平行的性质定理进 行证明. 证明证明因为N是AB的中点,ABD为正三角形, 所以DNAB. 因为BCAB,所以DNBC. 因为BC平面BCE,DN 平面BCE,所以BC平面BCE. 又因为M为AE的中点,所以MNBE. 因为MN 平面BCE,BE平面BCE,所以MN平面BCE, 因为MNDN=N,所以平面MND平面BCE. 精要点评精要点评在利用面面平行的性质定理进行证明时,不能直接根据DNBC 和MN BE得出平面DMN平面BEC. 如图,在三棱柱ABC-A1B1C1中,M,N,Q分别是AA1,BB1,B1C1的中点,求证:平面 ABC1平面MNQ. (变式) 证明证明在B1BC1中,因为N,Q分别为B1B,B1C1的中点,所以QNBC1, 又因为QN 平面ABC1,BC1平面ABC1, 所以QN平面ABC1. 在矩形A1B1BA中,因为M,N分别为AA1,BB1的中点, 所以MNAB,又MN 平面ABC1,AB平面ABC1, 所以MN平面ABC1. 又因为QNMN=N,QN,MN平面MNQ, 所以平面MNQ平面ABC1. 直线与平面平行的探索问题 直线与平面平行的探索问题 (2014四川卷)在如图所示的多面体中,四边形ABB1A1和ACC1A1都为矩形.设 D,E分别是线段BC,CC1的中点,在线段AB上是否存在一点M,使直线DE平面A1MC?请证 明你的结论. (例4) 思维引导思维引导对于求某个特殊位置上的点这类问题,一种办法是由猜想定下点的 位置,后证明;另一种办法是可先假定存在这个点,然后再根据点的特点找到这个点 所满足的条件. 解答解答线段AB上存在点M,且M为AB的中点,使得直线DE平面A1MC.证明如下: 取线段AB的中点M,连接A1M,MC,A1C,AC1,连接MD,OE,OM. 设O为A1C,AC1的交点, 则MD,OE分别为ABC,ACC1的中位线, 所以MDAC,且MD= 1 2AC, OEAC,且OE= 1 2AC, 所以MDOE. 从而四边形MDEO为平行四边形, 所以DEMO. 因为直线DE 平面A1MC,MO平面A1MC, 所以直线DE平面A1MC. 即线段AB上存在点M,使得直线DE平面A1MC. 精要点评精要点评“探索”在于由未知到已知,由变化到确定.找平行关系时多借助中 点、中位线、平行四边形等图形,此题的本质仍是线与面的平行关系. (2014蚌埠模拟)在如图所示的几何体中,平面CDEF为正方形,平面ABCD为 等腰梯形,ABCD,AC= 3,AB=2BC=2,ACFB. (变式) (1) 求证:AC平面FBC. (2) 线段AC上是否存在点M,使EA平面FDM?并证明你的结论. 解答解答(1) 在ABC中,AC= 3,AB=2,BC=1, 所以ACBC. 又因为 ACFB,BCFB=B, 所以AC平面FBC. (2) 线段AC上存在点M,且M为AC中点时,有EA 平面FDM.证明如下: 连接CE,与DF交于点N,连接MN. 因为CDEF为正方形,所以N为CE中点, 所以 EAMN. 因为MN平面FDM,EA 平面FDM, 所以EA平面FDM. 所以线段AC上存在点M,使得EA平面FDM. 在如图所示的几何体中,四边形ABCD为平行四边形,ACB=90,EA平面 ABC,EFAB,FGBC,EGAC,AB=2EF.若M是线段AD的中点,求证:GM平面ABFE. (范题赏析) 思维引导思维引导要证明直线GM与平面ABFE平行,就要在平面ABFE内找到一条直线与 GM平行.本题可以考虑构造四边形AMGF,然后再证明其为平行四边形即可. 规范答题规范答题连接AF,因为EFAB,FGBC,EGAC, 所以ABCEFG.(4分) 由AB=2EF, 得BC=2FG. 所以FGBC,则FG= 1 2BC. (6分) 在平行四边形ABCD中,M是线段AD的中点, 所以AMBC,且AM= 1 2BC. (8分) 所以FGAM,且FG=AM, 所以四边形AFGM为平行四边形, 所以GMFA.(10分) 又FA平面ABFE,GM 平面ABFE, 所以GM平面ABFE.(14分) 1. 平面内的两条直线a,b都平行于平面,则和的位置关系是 . 答案答案平行或相交 2. 若直线ab,a平面,则直线b与平面的位置关系为 . 答案答案b或b 解析解析很容易漏掉b的情况,这一点很值得注意. 3. (2014泰州中学模拟)给出下列命题: 如果一个平面经过另一个平面的垂线,那么这两个平面相互垂直; 如果一个平面内的两条直线与另一个平面都平行,那么这两个平面相互平行; 如果两条平行直线中的一条垂直于直线m,那么另一条直线也与直线m垂直; 如果两个平面垂直,那么一个平面内与它们的交线不垂直的直线与另一个平面也 不垂直. 其中,真命题有 .(填序号) 答案答案 解析解析由面面垂直的判定定理可知正确;如果一个平面内的两条相交直线与另一 个平面都平行,那么这两个平面相互平行,但若是两条平行直线,得不到平面平行,故 错误;根据空间直线夹角的定义,可得两条平行直线与第三条直线的夹角相等,故 若两条平行直线中的一条垂直于直线m,那么另一条直线也与直线m垂直,即正确; 根据面面垂直的性质定理,若两个平面垂直,那么一个平面内与它们的交线垂直的直 线与另一个平面也垂直,则一个平面内与它们的交线不垂直的直线与另一个平面也 不垂直,故正确. 4. (2014济南期末)在长方体ABCD-A1B1C1D1中,AD=1,AA1=AB=2,点E是线段AB上的动 点,点M为D1C的中点.若点E是AB的中点