江苏数学一轮第二章第6课函数的单调性要点导学pdf

要点导学 各个击破 要点导学 各个击破 函数单调性的判断 函数单调性的判断 判断下列函数在区间(0,2)上的单调性: (1) y=-x+1; (2) y= x ; (3) y=x 2-2x+5; (4) y= 2 x. 思维引导思维引导利用函数单调性的定义或借助这些函数的图象很容易得出结论. 解答解答(1) 函数y=-x+1在区间(0,2)上为单调减函数. (2) 函数y= x 在区间(0,2)上为单调增函数. (3) 函数y=x 2-2x+5在区间(0,1上为减函数,在区间1,2)上为单调增函数. (4) 函数y= 2 x在区间(0,2)上为单调减函数. 精要点评精要点评对于我们熟知的初等函数,可以通过作出它们的图象直接给出结论, 也可通过定义来验证.特别是当无法作出图象时,我们只能通过定义来给出判断,当 然利用导数也可判断. 函数单调性的证明 函数单调性的证明 (2014江苏模拟)已知函数f(x)= x-1 x2 ,x3,5. (1) 判断函数f(x)的单调性,并证明; (2) 求函数f(x)的最大值和最小值. 思维引导思维引导(1) 利用函数单调性的定义判断其单调性;(2) 根据函数的单调性 和函数的定义域求出函数f(x)的最大值和最小值. 解答解答(1) 任取x1,x23,5且x1x2. f(x1)-f(x2)= 1 1 x -1 x2 - 2 2 x -1 x2 = 12 12 3(x -x ) (x2)(x2) , 因为3x1x25, 所以x1-x20. 所以f(x1)-f(x2)0,即f(x1)0)在区间(0,+)上为单调减函数. 思维引导思维引导判断或证明函数的单调性一般利用定义,或利用函数的导数来判断 或证明. 证明证明任取两实数x1,x2,使得0x10,00. 所以f(x1)-f(x2)0,即f(x1)f(x2). 所以函数f(x)= a x(a0)在区间(0,+)上为单调减函数. 精要点评精要点评利用定义证明函数单调性的一般步骤: (1) 取值:设x1,x2为所证区间内任意两个数,且x1x2. (2) 作差:f(x1)-f(x2)或f(x2)-f(x1),并通过通分、配方、因式分解等方法,向有 利于判断差的符号的方向变形. (3) 定号:根据给定的区间和x2-x1的符号,确定f(x1)-f(x2)的符号.当符号不确 定时,可以进行分类讨论. (4) 判断:根据定义可以得出结论. 函数单调性的应用 函数单调性的应用 (2014 温州十校联考)若f(x)= xa-1 x2 在区间(-2,+)上是增函数,则实数a 的取值范围是 . 思维引导思维引导通过分离常数再结合函数的单调性,求出实数a的取值范围. 答案答案(-,3) 解析解析f(x)= xa-1 x2 = x2a-3 x2 =1+ a-3 x2 ,因为函数f(x)在区间(-2,+)上是增 函数,所以a-30恒成立等价于x 2+2x+a0恒成立,从而求出实数a的取值范围. 解答解答(1) 当a= 1 2时,f(x)=x+ 1 2x+2, 设x1,x21,+),且x1x2, 则f(x1)-f(x2)=x1+ 1 1 2x -x2- 2 1 2x =(x1-x2) 12 1 1- 2x x . 因为x1x2,所以x1-x20,又1x10,所以f(x1)-f(x2)0恒成立. 设y=x 2+2x+a,x1,+), 则y=(x+1) 2+a-1,显然此函数在1,+)上单调递增, 所以当x=1时,ymin=3+a,于是当且仅当ymin=3+a0时,函数f(x)0恒成立,故a-3. 故实数a的取值范围是(-3,+). 已知函数f(x)=x+ a x,g(x)=x- a x,a22-3. (1) 求证:函数f(x)在(0,1上单调递增; (2) 若函数g(x)在(0,1上单调递减,求a的取值范围; (3) 若对任意的x(0,1,函数h(x)=x|x-b|+a的图象在x轴下方,求b的取值范 围. 规范答题规范答题设0x1x21, (1) 因为a2 2-30, 所以f(x1)-f(x2)=(x1-x2) 12 a 1- x x 0, 即f(x1)0, (6分) 所以1+ 12 a x x 0,即a-x1x2. 又-x1x2(-1,0),所以a-1. 故a的取值范围是(-,-1.(8分) (3) 由题意知h(x)0,即|x-b|- a x, 所以x+ a xbx- a x,即f(x)bg(x)在x(0,1上恒成立. (10分) 所以f(x)maxbg(x)min,x(0,1. 当-1a2 2-3时,由(1)知 f(x)max=f(1)=1+a, 而g(x)=x- a x2 -a ,所以1+ab2 -a . 当a-1时,由(2)中结论的可逆性,可得g(x)min=g(1)=1-a, 由(1)知f(x)max=f(1)=1+a, 所以1+ab1-a.(13分) 综上所述,当-1a2 2-3时,b的取值范围为(1+a,2-a); 当a-1时,b的取值范围为(1+a,1-a).(14分) 1. (2014北京模拟)给定下列函数:y=2x+1;y=lo 1 2 g x;y= 1 2 x ;y= x 1 2 ,其中 在区间(0,1)上单调递增的函数是 .(填序号) 答案答案 解析解析y=2x+1在R R上单调递增,所以在(0,1)上单调递增,故正确;因为0 1 21, 所以y=lo 1 2 g x在(0,+)上单调递减,则在(0,1)上单调递减,