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推理与证明第#章 # ! 教!学 札记! 解 析 由反证法的定义可知! !答案!#$ !求证! 一个三角形中# 至少有一个内角不小于( ) 8# 用反 证法证明时的假设应为) 三角形的!*! 答案! 三个内角都小于( ) 8 !有下列叙述! )$ 0.* $ ! 0. 0!*! 3 ; 0 ! )#+ #3 ; 0%*, 3 ; 0 % ), 3 ; 0 ! 0(* ! 3 ; 0 ( )% , 3 ; 0 % 0 ! )#+ % 3 ; 0 ,* # ! , 3 ; 0 , ) ! ( 3 ; 0 ( 0 % ) ! 3 ; 0 ! 0# )*B3 ; 0 # ) )#! , ) 3 ; 0 , 0 ( 0 % 0 ! )#! 可以推测#B)+ 0( ) ) 8 * # !( # ! # )#! , )( # ! , 0-是有理数+ 0+ -是有理数! 证明! 0- *- . ! 0+ -和0 9 :-00 9 :+ -都是有 理数! 当+*#时# 由 0-是有理数# 从而有0 9 :-0 0 9 :-*#*3 ; 0 !-也是有理数! #假设当+*E 0E -和0 9 :-00 9 :E -都是 有理数! 当+*E 0 0-03 ; 0E -)0 9 :-00 9 :E -# 0 9 :-00 9 : 0E - 0-0 0 9 :E - * 0E - 0-# 由和归纳假设# 知3 ; 0 0+ -是有理数! 例%! 0! 3)槡!#*3 ; 0!3$* 槡! !0 9 :! 3 0! 3)槡!*0 9 : !3 7# (!# 7 # (!2 # % # &)!*#代入函数表 达式得 %&# & $&# !* # % # )!%&# &#*!$ !*# , - . # 即 %&%2$ !&! $&# )!%%$ !)% $&# 2 # 解得 $*# %* 2 ) 舍去$*)# ( & ) ! 于是&3* # &3&# !& 37)#! &!3#*#*&#*#*# %* % # 3!* %6 #* & # - * ! # 3* ! 6 #* # & # ( * , # 3%* ,6 #* # & ! * ! & 这里因为偶数项的分子 分母作了约分# 所以规律 不明显# 若变形为 % # % ( # , # ( # )# -# 便可猜想3 +* +&! !&+&# !由于每一项都与 # ! 很接近# 若改写为 # ! & # % # # !& # ( # ! & # , # ! & # # )# -# 也 可 猜 想 3+* # !& # !&+&# $ $ $ $ $ $ $ $ $ $ $ $ $ $ $ $ $ $ $ $ $ $ $ $ $ $ $ $ $ $ $ $ $ $ $ $ $
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