江苏数学一轮第八章第47课基本不等式及其应用一要点导学pdf

要点导学 各个击破 要点导学 各个击破 利用基本不等式证明 利用基本不等式证明 已知a0,b0,c0,求证: bc a + ca b + ab c a+b+c. 思维引导思维引导先局部运用基本不等式,再利用不等式的性质相加得到. 证明证明因为a0,b0,c0, 所以 bc a + ca b 2 bc ca ab =2c(当且仅当a=b时取等号); bc a + ab c 2 bc ab ac =2b(当且仅当a=c时取等号); ca b + ab c 2 ca ab bc =2a(当且仅当b=c时取等号). 以上三式相加得2 bccaab abc 2(a+b+c)(当且仅当a=b=c时取等号), 即 bc a + ca b + ab c a+b+c. 精要点评精要点评利用基本不等式证明不等式是综合法证明不等式的一种情况,证明 思路是从已证不等式和问题的已知条件出发,借助不等式的性质和有关定理,经过逐 步的逻辑推理最后转化为需证问题. 已知a0,b0,a+b=1,求证: 11 11 ab 9. 证明证明因为a0,b0,a+b=1, 所以1+ 1 a=1+ ab a =2+ b a. 同理,1+ 1 b=2+ a b. 所以 11 11 ab = 2 b a 2 a b =5+2 ba ab 5+4=9,当且仅当a=b= 1 2时 等号成立. 利用基本不等式求函数的最值 利用基本不等式求函数的最值 (2014重庆卷)若log4(3a+4b)=log2 ab,求a+b的最小值. 思维引导思维引导基本不等式的应用一定要注意一正、二定、三相等,特别是等号成 立的条件. 解答解答由题意知ab0,且3a+4b0,所以a0,b0. 又log4(3a+4b)=log2 ab, 所以3a+4b=ab,所以 4 a+ 3 b=1. 所以a+b=(a+b) 43 ab =7+ 4b a + 3a b 7+2 43 ba ab =7+4 3, 当且仅当 4b a = 3a b ,即a=4+2 3,b=3+23时,等号成立. 故a+b的最小值为7+4 3. 精要点评精要点评一正、二定、三相等不满足时,相应的处理方法分别是一正不满足 则变为正,二定不满足则凑定值,三相等不满足则转化为函数的单调性. (2014北京东城区期末)求函数y= x + 1-x 的最大值. 解答解答因为函数y= x + 1-x 的定义域为0,1, 所以y 2=x+(1-x)+2(1- )xx =1+2 (1- )xx 1+x+(1-x)=2,当且仅当x=1-x,即 x= 1 2时等号成立. 因为y0,所以ymax= 2. 利用基本不等式解决恒成立问题 利用基本不等式解决恒成立问题 (2014河南中原名校联考)已知x0,y0,若 2y x + 8x y m 2+2m恒成立,则实数m 的取值范围是 . 答案答案(-4,2) 解析解析因为 2y x + 8x y 2 16 =8,要使 2y x + 8x y m 2+2m恒成立,则m2+2m8,解得 -40,k 22 4 2 xy xy = 2 (2 ) -4 2 xy xy =(x+2y)- 4 2xy ,令m=x+2y,则k 4 - min m m . 因为m=x+2y2 2xy =2 2,且y=m- 4 m在22,+)上单调递增, 所以当m=2 2时, 4 - min m m =2 2- 4 2 2 = 2,即k2. 方法二:令t=x+2y,t2 2,因此t2-kt-40对t22,+)恒成立, 记f(t)=t 2-kt-4,则f(2 2)=4-22k0k2. 某地区的农产品A第x天(1x20)的销售价格p=50-|x-6|(单位:元百斤),一 农户在第x天(1x20)农产品A的销售量q=40+|x-8|(单位:百斤). (1) 求该农户在第7天销售农产品A的收入; (2) 这20天中该农户在哪一天的销售收入最大? 规范答题规范答题(1) 由已知得第7天的销售价格p=49,销售量q=41. 所以第7天的销售收入W7=4941=2009 (元) .(3分) (2) 设第x天的销售收入为Wx, 则Wx= (44)(48- ),16, 2009,7, (56- )(32),820. xxx x xxx (6分) 当1x6时,Wx=(44+x)(48-x) 2 (44)(48- ) 2 xx =2116(当且仅当x=2时取等 号). 所以当x=2时取最大值W2=2116.(9分) 当8x20时,Wx=(56-x)(32+x) 2 (56- )(32) 2 xx =1936(当且仅当x=12时取 等号). 所以当x=12时取最大值W12=1936. (12分) 由于W2W7W12, 所以第2天该农户的销售收入最大. (13分) 答:第7天的销售收入为2009元;第2天该农户的销售收入最大. (14分) 1. 若x0,则x+ 2 x的最小值为 . 答案答案2 2 解析解析因为x0x+ 2 x22,当且仅当x= 2 xx=2时,取等号. 2. 已知正实数a,b满足a+2b=1,那么a 2+4b2+ 1 ab的最小值为 . 答案答案 17 2 解析 解析因为1=a+2b2 2abab 1 8,当且仅当a=2b= 1 2时取等号.又因为a2+4b2+ 1 ab 2a(2b)+ 1 ab =4ab+ 1 ab .令t=ab,所以f(t)=4t+ 1 t 在 1 0, 8 上单调递减,所以 f(t)min=f 1 8 = 17 2 ,此时a=2b= 1 2. 3. (2014上海卷)若实数x,y满足xy=1,则x 2+2y2的最小值为 . 答案答案2 2 解析解析x 2+2y22 22 2xy =2 2 xy =2 2,当且仅当x2=2y2时等号成立. 4. (2014福建卷改编)要制作一个容积为4 m 3,高为1 m的无盖长方体容器.已知该 容器的底面造价是每平方米20元,侧面造价是每平方米10元,求该容器的最低总造价 (单位:元). 解答解答设底面矩形的一边长为x,由容器的容积为4 m 3,高为1 m,得另一边长为 4 x m. 记容器的总造价为y元,则 y=420+2 4 x x 110 =80+20