江苏数学一轮第五章第30课正弦定理与解三角形要点导学pdf

要点导学 各个击破 要点导学 各个击破 正弦定理的直接应用 正弦定理的直接应用 在ABC中,已知a=3,b=2 6 ,B=2A. (1) 求cosA的值; (2) 求c的值. 思维引导思维引导(1) 结合已知条件,利用正弦定理构造关系式,解决问题的关键在于 条件“B=2A”的运用;(2) 求出sinA,sinC,结合正弦定理即可求得c. 解答解答(1) 因为a=3,b=2 6 ,B=2A, 所以在ABC中,由正弦定理得 3 sinA= 2 6 2sin A, 所以 2sinAcosA sinA = 2 6 3 ,故cosA= 6 3 . (2) 由(1)知cosA= 6 3 ,所以sinA= 2 1-cos A= 3 3 . 又因为B=2A,所以cosB=cos2A=2cos 2A-1= 1 3 , 所以sinB= 2 1-cos B= 2 2 3 . 在ABC中,sinC=sin(A+B)=sinAcosB+cosAsinB= 5 3 9 . 由正弦定理得c= asinC sinA =5. 精要点评精要点评解三角形时,正弦定理是一个重要的工具.在结合正弦定理解三角 形时,要注意:其一,什么条件下用;其二,怎么用;其三,如何灵活恰当地运用.特别是 在边角关系转化时对定理的熟练应用. (2014 广 东 卷 ) 在 ABC 中 , 角 A,B,C 所 对 的 边 分 别 为 a,b,c. 若 bcosC+ccosB=2b,则 a b = . 答案答案2 解析解析由正弦定理及bcosC+ccosB=2b,得sinBcosC+sinCcosB=2sinB,即 sin(B+C)=2sinB.因为sin(B+C)=sinA,所以sinA=2sinB,利用正弦定理得a=2b,故 a b =2. 利用正弦定理判断三角形的形状 利用正弦定理判断三角形的形状 在ABC中,已知(a 2+b2)sin(A-B)=(a2-b2)sin C,试判断ABC的形状. 思维引导思维引导从条件我们容易发现角C可以写成-(A+B),另外注意到两边都是 关于边的二次齐次式,因此可以利用正弦定理将边化为角处理. 解答解答由已知(a 2+b2)sin(A-B)=(a2-b2)sinC, 得b 2sin(A-B)+sin(A+B)=a2sin(A+B)-sin(A-B), 即b 2sinAcosB=a2cosAsinB, 即sin 2BsinAcosB=sin2AcosAsinB, 所以sin2B=sin2A. 由于A,B是三角形的内角, 故02A2,02B2, 所以2A=2B或2A=-2B, 即A=B或A+B=2 . 故ABC为等腰三角形或直角三角形. 精要点评精要点评正弦定理的一个重要作用就是将边化为角处理,借助三角恒等变换 得到问题的解. 若acosA=bcosB,试判断ABC的形状. 解答解答因为acosA=bcosB, 所以sinAcosA=sinBcosB, 所以sin2A=sin2B. 又因为A,B(0,),所以2A,2B(0,2), 所以2A=2B或2A+2B=, 所以A=B或A+B=2 , 所以ABC为等腰三角形或直角三角形. 正弦定理及面积公式的综合应用 正弦定理及面积公式的综合应用 (2014重庆卷改编)在ABC中,内角A,B,C所对的边分别为a,b,c,满足 a+b+c=8,sinAcos 22 B +sinBcos 22 A =2sinC,且ABC的面积S= 9 2 sinC,求a和b的值. 思维引导思维引导利用降幂公式化简sinAcos 22 B +sinBcos 22 A =2sinC,再利用正弦定理 将角的关系转化为边的关系,最后结合三角形面积公式,即可通过解方程组得出a和b 的值. 解答解答由sinAcos 22 B +sinBcos 22 A =2sinC, 得sinA 1 2 cosB +sinB 1 2 cosA =2sinC, 化简得sinA+sinAcosB+sinB+sinBcosA=4sinC. 因为sinAcosB+cosAsinB=sin(A+B)=sinC, 所以sinA+sinB=3sinC,由正弦定理可知a+b=3c. 又a+b+c=8,所以a+b=6. 由于S= 1 2 absinC= 9 2 sinC,所以ab=9, 结合解得a=b=3. 精要点评精要点评(1) 解决此类问题,要根据已知条件,灵活运用正弦定理或余弦定理 及其推论,求边角或将边角互化,同时还要注意整体思想、方程思想在解题过程中的 运用.(2) 注意降幂公式和升幂公式在化简过程中的灵活运用. (2014德州模拟)已知a,b,c分别为ABC的三个内角A,B,C的对边,向量 m m=(sinA,1),n n=(cosA, 3 ),且m mn n. (1) 求角A的大小; (2) 若a=2,b=2 2 ,求ABC的面积. 思维引导思维引导(1)由m mn n,得 3 sinA=cosA,即tanA= 3 3 .又A(0,),得到 A=6 .(2)首先由正弦定理可得sinB= 2 bsinA = 2 2 ,通过讨论ab,得到AB,从而B=4 或 3 4 .从而进一步确定ABC的面积. 解答解答(1) 因为m mn n,所以 3 sinA-cosA=0, 即tanA= 3 3 . 因为A(0,),所以A=6 . (2) 由正弦定理可得sinB= bsinA a = 2 2 , 因为asinB是准确判断并取舍解的情况的工具.(3) 利用正弦定理将边化为 角或者将角化为边处理,这是正弦定理的一种重要作用,正弦定理在此承担了边与角 之间互化的桥梁作用. 在ABC中,角A,B,C所对的边分别为a,b,c,且满足ccos B+bcos C=4acos A. (1) 求cos A的值; (2) 若ABC的面积是 15,求AB AC 的值. 规范答题规范答题(1) 利用正弦定理 a sinA=n b si B= c sinC , 得sin Ccos B+sin Bcos C=4sin Acos A, sin(B+C)=4sin Acos A, 即sin A=4cos Asin A, 所以cos A= 1 4 .(7分) (2) 由(1)得sin A= 15 4 , 由题意得SABC= 1 2 bcsin A= 15, 所以bc=8, 所以AB AC =bccos A=2.(14分) 1. 在ABC中,已知b=4,c=8,B=30,那么a= . 答案答案4 3 解析解析由正弦定理得sin C= csinB b = 830? 4 sin =1,所以C=90,A=60.又由正弦定理 得a= bsinA sinB = 460? 30? sin sin =4 3 . 2. 在锐角三角形ABC中,角A,B所对的边分别为a,b.若2asinB= 3 b,则A= . 答案答案3 解析 解析由2asin B= 3 b及正弦定理得sin A= asinB b = 3 2 ,因为ABC是锐角三角形, 所以A 0, 2 ,所以A=3 . 3. 已知 sinA a = cosB b = cosC c ,那么ABC的形状是 . 答案答案等腰直角三角形 解析解析由正弦定理及 sinA a = cosB b = cosC c 得tan B=tan C=1,注意到角A,B,C是ABC的 内角,所以B=C=4 ,从而A=2 ,ABC是等腰直角三角形. 4. (2014福建卷)在ABC中,A=60,AC=4,BC=2 3 ,则ABC的面积为 . 答案答案2 3