江苏数学一轮第八章第48课基本不等式及其应用二要点导学pdf

要点导学 各个击破 要点导学 各个击破 基本不等式在方程与函数中的应用 基本不等式在方程与函数中的应用 (2014成都模拟)已知二次函数f(x)=ax 2-4x+c(xR R)的值域为0,+),那 么 1 c+ 9 a的最小值为 . 答案答案3 解析解析由题意得a0,且=16-4ac=0ac=4,所以 1 c+ 9 a2 1 9 c a =3. (2014湖北模拟)已知不等式xyax 2+2y2对于任意的x1,2,y2,3恒 成立,那么实数a的取值范围是 . 答案答案-1,+) 解析解析由题意知a 2 2 -2xyy x = y x-2 2 y x ,对x1,2,y2,3恒成立,令t= y x, 则at-2t 2,易知t1,3,所以t-2t2-15,-1,故a-1. 基本不等式在数列、三角函数等问题中的应用 基本不等式在数列、三角函数等问题中的应用 已知正项等比数列an满足a7=a6+2a5,若存在两项am,an,使得 mn a a =4a1,则 1 m+ 4 n的最小值为 . 思维引导思维引导首先根据条件找出m,n的关系式,再利用基本不等式求出 1 m+ 4 n的最 小值. 答案答案 3 2 解析解析设正项等比数列an的公比为q,由a7=a6+2a5,得q 2-q-2=0,解得q=2. 由 mn a a =4a1,得2 m+n-2=24,即m+n=6. 故 1 m+ 4 n= 1 6(m+n) 14 mn = 5 6+ 1 6（ 4m n + n m） 5 6+ 4 6= 3 2,当且仅当n=2m时等 号成立. 精要点评精要点评将m+n=6表示为 1 6(m+n)=1,利用“1”的变换是解决问题的关键. (2014江苏卷)若ABC的内角满足sinA+ 2sinB=2sinC,则cosC的最小值 是 . 答案答案 6- 2 4 解 析 解 析 由 已 知 sinA+ 2 sinB=2sinC 及 正 弦 定 理 可 得 a+ 2 b=2c,cosC= 222 - 2 ab c ab = 2 22 2 - 2 2 ab ab ab = 22 32-2 2 8 abab ab 2 6-2 2 8 abab ab = 6- 2 4 ,当且仅当3a 2=2b2即 a b= 6 3 时等号成立. 基本不等式在解析几何中的应用 基本不等式在解析几何中的应用 (2014扬州中学模拟)如图,已知椭圆C: 2 4 x +y 2=1的上、下顶点分别为A,B, 点P在椭圆上,且异于点A,B,直线AP,BP与直线l:y=-2分别交于点M,N. (例3) (1) 设直线AP,BP的斜率分别为k1,k2,求证:k1k2为定值; (2) 求线段MN的长的最小值. 解答解答(1) 因为A(0,1),B(0,-1),令P(x0,y0),则由题设可知x00, 所以直线AP的斜率k1= 0 0 -1y x ,PB的斜率k2= 0 0 1y x . 又点P在椭圆上,所以 2 0 4 x + 2 0 y =1(x00), 从而有k1k2= 0 0 -1y x 0 0 1y x = 2 0 2 0 -1y x =- 1 4,为定值. (2) 由题设可以得到直线AP的方程为y-1=k1(x-0), 直线BP的方程为y-(-1)=k2(x-0), 由 1 -1, -2 yk x y 1 3 -, -2, x k y 由 2 1, -2 yk x y 2 1 -, -2, x k y 所以直线AP与直线l的交点N 1 3 -,-2 k , 直线BP与直线l的交点M 2 1 -,-2 k . 又k1k2=- 1 4, 所以MN= 12 31 - kk = 1 1 3 4k k = 1 3 | |k +4|k1| 2 1 1 3 4| | | | k k =4 3, 当且仅当 1 3 | |k =4|k1|,即k1= 3 2 时取等号,故线段MN长的最小值是4 3. 基本不等式在实际问题中的应用 基本不等式在实际问题中的应用 (2014湖北卷)某项研究表明,在考虑行车安全的情况下,某路段车流量 F(单位时间内测量点的车辆数,单位:辆/小时)与车流速度v(假设车辆以相同速度v 行驶,单位:米/秒)、平均车长l(单位:m)的值有关,其公式为 F= 2 76000 1820 v vvl . (1) 如果不限定车型,l=6.05,那么最大车流量为 辆/小时; (2) 如果限定车型,l=5,那么最大车流量比(1)中的最大车流量增加 辆 /小时. 答案答案(1) 1900 (2) 100 解析解析(1) 当l=6.05时,则F= 2 76000 18121 v vv = 76000 121 18v v 76000 121 2?18v v =1 900, 当且仅当v= 121 v ,即v=11(米/秒)时取等号. (2) 当l=5时,则F= 2 76000 18100 v vv = 76000 100 18v v 76000 100 2?18v v =2 000,当且仅当 v= 100 v ,即v=10(米/秒)时取等号,此时最大车流量比(1)中的最大车流量增加100辆/ 小时. 精要点评精要点评准确构建数学模型是解题的关键.本题根据所得函数的特征要结合 基本不等式解决. (2014如皋中学模拟)扬州某地区要建造一条防洪堤,其横断面为等腰梯形, 腰与底边成角为60(如图),考虑到防洪堤坚固性及石块用料等因素,设计其横断面 要求面积为9 3 m2,且高度不低于3m.记防洪堤横断面的腰长为x(m),外周长(梯 形的上底BC与两腰长的和)为y(m). (变式) (1) 求y关于x的函数关系式,并指出其定义域; (2) 要使防洪堤横断面的外周长不超过10.5m,则其腰长x应在什么范围内? (3) 当防洪堤的腰长x为多少米时,堤的上面与两侧面的水泥用料最省(即断面 的外周长最小)?求此时外周长的值. 解答解答(1) 由题意得9 3= 1 2(AD+BC)h, 其中AD=BC+22 x =BC+x,h= 3 2 x, 所以9 3= 1 2(2BC+x) 3 2 x,得BC= 18 x -2 x . 由 3 3, 2 18 -0, 2 hx x BC x 得2x0). (7分) (2) 由均值不等式得 y=x+ 100 x +1.52 100 x x +1.5=21.5(万元). (11分) 当且仅当x= 100 x ,即x=10时取等号. (13分) 答:该企业10年后需要重新更换新设备.(14分) 1. 函数y=x+ 8 x的值域是 . 答案答案(-,-4 24 2,+) 解析解析当x0时,x+ 8 x4 2(当且仅当x=2 2时取等号);当x0,而 (-x)+- 8 x4 2(当且仅当x=-2 2时取等号),所以x+ 8 x-4 2.则函数y的值 域为y|y-4 2或y4 2. 2. 若x(0,),则y=sin x+ 4 sinx的最小值是 . 答案答案5 解析解析注意利用基本不等式解决问题时取“=”的条件.函数y在x=2 时取到最小值. 3. (2014邛崃月考)若a0,b0,且函数f(x)=4x 3-ax2-2bx+2在x=1处有极值,则ab的 最大值为 . 答案答案9 解析解析f(x)=12x 2-2ax-2b,因为函数f(x)=4x3-ax2-2bx+2在x=1处有极值,所以 f(1)=0,即12-2a-2b=0,a+b=6,所以ab 2 2 ab = 2 6 2 =9,当且仅当a=b时取等号. 4. 在如图所示的锐角三角形空地中,欲建一个面积不小于300 m 2的内接矩形花园(阴 影部分),则其边长x(单位:m)的取值范围是 . (第4题)