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参考答案及评分建议 第 1 页(共 7 页) 2015 届高三期中调研测试参考答案及评分建议 201411 一、填空题:本大题共 14 小题,每小题 5 分,共 70 分 1 设集合0Ax x=,1Bx x=,则AB =U 【答案】R或()-+ , 2 幂函数 3 2 ( )f xx - =的定义域为 【答案】0 x x 或()0+ , 3 将函数sinyx=的图象向右平移(0)j j个单位可得到函数cosyx=的图象,则j的最小值为 【答案】 3 2 4 命题“若0a ,则 2 0a ”的否命题是“ ” 【答案】若0a =,则 2 0a 5 若曲线lnyxx=在 0 xx=处的切线斜率为 2,则实数 0 x的值为 【答案】e 6 设 1 e, 2 e是平面内两个不共线的非零向量, 12 3 ()xx=-Raee, 12 2=+bee若/ab,则x的 值为 【答案】-6 7 在平面直角坐标系xOy中,已知角a终边经过点( 21)- ,则 () tan 4 a-的值为 【答案】3- 8函数 2 2 2 log 2 x y x = - 的最小值为 【答案】4 9 已知等比数列 n a的前n项和为3 () n n Sk k=- * N,则 2k a的值为 【答案】6 10设 a,b,c 是互不相等的正实数,且 c 最大,记 222 2 abc M ab +- =则“10M- ”是“a,b, c 可为钝角三角形的三边长”的 条件 (在“充分必要” , “充分不必要” , “必要不充分”中选填一种) UnRegistered 参考答案及评分建议 第 2 页(共 7 页) A B C O (第 12 题) 【答案】充分必要 11已知集合135B = - , ,f:21xx-是从A到B的函数,则集合A的个数是 【答案】7 12如图,点O为ABC的重心,且OAOB,6AB =, 则AC BC uuur uuu r 的值为 【答案】72 13设函数 321 ( )1 3 f xxbxcx=+(bcR,)存在极值点, 且在区间()1-,和()1+ ,上均为单调增函数,则(1)f的取值范围是 【答案】 ) 110 33 , 14设kb,均为非零常数,数列xn和yn满足: * () nn yk xb n=+N现给出如下三个条件: xn 和 yn 均为等比数列; xn 为等差数列, yn 为等比数列; xn 为等比数列, yn 为等差数列, 其中一定能推出数列 xn 为常数数列的是 (填上所有满足要求的条件的序号) 【答案】 二、解答题:本大题共 6 小题,共 90 分 15在平面直角坐标系xOy中,不共线的四点ABCD, , ,满足ABDC= uuu ruuur ,且(12)AC = uuur , , (34)DB = uuu r ,求: (1)向量AB uuu r ,AD uuur 的坐标; (2)四边形ABCD的面积 解: (1)因为ABDC= uuu ruuur ,且ABCD, , ,不共线, 所以四边形ABCD为平行四边形,记AC与BD的交点为O, 2 分 则(23) 2 ACDB ABAOOB + =+= uuuruuu r uuu ruuuruuu r , 4 分 ( 11) 2 ACDB ADAODO - =-= - uuuruuu r uuuruuuruuur ,; 6 分 UnRegistered 参考答案及评分建议 第 3 页(共 7 页) (2)由(1)知, 22 2313AB =+= uuu r , 22 ( 1)( 1)2AD =-+ -= uuur , 2( 1)3( 1) 5 cos 13226 AB AD BAD ABAD -+ - = - uuu r uuur uuu ruuur, 10 分 因为 22 sincos1BADBAD+=,且0BAD ,的解集 解:210 x x - ,由( )0f x 得, 349 2 a x a -+ , 此时 349 0 2 a a -+ , 考虑到0 x ,故 349 2 a x a -+ ,即 9 0 4 a-得, 349349 22 aa x aa +-+ , 此时 349 0 2 a a -+ , 考虑到0 x ,故 349349 22 aa x aa +-+ ; 12 分 综上得,当 9 4 a-时,原不等式组的解集为; 当 9 0 4 a-时,原不等式组的解集为( ) 349 2 a a -+ -, 14 分 18如图,圆 O 的半径为2,A,B 为圆 O 上的两个定点,且90AOB= o ,P 为优弧 AB 的中点设 C, D (C在D左侧) 为优弧 AB 上的两个不同的动点, 且 CD / AB 记PODa=, 四边形ABCD 的面积为 S (1)求 S 关于a的函数关系; (2)当a为何值时,S 取得最大值?并求出 S 的最大值 解: (1)设过圆心 O 作AB的垂线分别与AB,CD交于点 E,F, 易得2AB =,1OE =, 当 0 2 a时,如图 1, 易得22sinCDa=,2cosOFa=, UnRegistered 参考答案及评分建议 第 5 页(共 7 页) 所以 1( ) () 2 SABCDOEOF=+ ()() 1 22 2sin12cos 2 aa=+ ()2 sincosaa=+2sincos1aa+; 4 分 当 2 a=时, 11 ()(22 2) 112 22 SABCDEF=+=+ = +; 6 分 当 3 24 a时,如图 2, 易得()22sin 2 2sinCDaa=-=,()2cos 2cosOFaa=-= -, 所以 1( ) () 2 SABCDOEOF=+- () () 1 22 2sin12cos 2 aa=+ ()2 sincos2sincos1aaaa=+; 综上得,S =()2 sincos2sincos1aaaa=+, 3 0 4 a; 9 分 (2)令 () sincos2sin 4 taaa=+=+, 因为 3 0 4 a,所以 44 a+,从而 () 0sin1 4 a+,故 (0 2t , 12分 此时 () 2 2221 21 12 22 Sttttt=+- + =+=+-, (0 2t , 所以当2t =时, max 4S=,此时 4 a= 16 分 (注: “因为 2 2Stt=+, (0 2t ,的开口向上,对称轴方程为 2 2 t = -, 所以当2t =时, max 4S=,此时 4 a= ”同样给 4 分 ) 19若存在非零常数 p,对任意的正整数 n, 2 12nnn aa ap + =+,则称数列 n a是“T 数列” (1)若数列 n a的前 n 项和() 2 n Snn * =N,求证: n a是“T 数列” ; (2)设 n a是各项均不为 0 的“T 数列” 若0p ,求证:当 1 a, 2 a, 3 a成等差数列时, n a是等差数列 BA O P 图 2 D C E F UnRegistered 参考答案及评分建议 第 6 页(共 7 页) 解: (1)当1n =时, 11 1aS=; 当2n时, 22 1 (1)21 nnn aSSnnn - =-=-=-, 所以21 n an=-,n * N, 3 分 则 n a是“T数列”存在非零常数p, 2 (21)(21)(23)nnnp+=-+ 显然4p =满足题意,所以 n a是“T数列” ; 5 分 (2)假设 n a是等差数列,设 1 (1) n aand=+-, 则由 2 12nnn aa ap + =+得,() 2 111 (1)(1)andandandp+=+-+, 解得 2 0pd=,这与0p ,得() 2 11 2 nnn aaapn -+ =+, 两式相减得, 22 1211nnnnnn aaa aaa +-+ -=-(2)n, 因为 n a的各项均不为 0,整理上式可得 211 1 nnnn nn aaaa aa +-+ + + =(2)n, 故 11nn n aa a +- + ()2n是常数列, 因为 1 a, 2 a, 3 a成等差数列,所以 31 2 2 aa a + =, 从而 1131 2 2 nn n aaaa aa +- + =()2n, 即 11 2 nnn aaa +- +=()2n,亦即 n a是等差数列 16 分 20设定义在 R 上的函数 () 32 4 20 ( )(4 )(4) 04 log1 4 x x f xa xba xbm xnx axx - , , , (a,b,m,n 为常数,且0a )的图象不间断 (1)求 m,n 的值; (2)若 a,b 互为相反数,且( )f x是 R 上的单调函数,求 a 的取值范围; (3)若 a = 1,bR试讨论函数( )( )g xf xb=+的零点的个数,并说明理由 UnRegistered 参考答案及评分建议 第 7 页(共 7 页) 解: (1)依题意,(0)1f=,(4)0f=, 即 1 6416(4 )4(4)0 n ababmn = +-+= , , 解得 1 1. 4 n m = = , 3 分 (2)因为 ( ) 1 2 x y = 是减函数,且( )f x是 R 上的单调函数, 所以在() 4 log1yax=-中,应该有0 ln4 a y x =,故0 a =, () 11 (2)(2)84(4)2 411530 42 gfbbbbb=+=+-+ += -, 方程( )0g x =在(0,4)上有两解,方程( )0g x =在 R 上一共有两个解; 10 分 当1b -时,( ) 1 0 2 x b+= 有一解 0.5
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