江苏数学一轮第十章第55课两条直线的平行与垂直要点导学pdf

要点导学 各个击破 要点导学 各个击破 两直线的平行与垂直关系 两直线的平行与垂直关系 (2014广东六校联考)如果直线(2a+5)x+(a-2)y+4=0与直线 (2-a)x+(a+3)y-1=0互相垂直,那么a= . 答案答案2或-2 解析解析由于直线(2a+5)x+(a-2)y+4=0与直线(2-a)x+(a+3)y-1=0互相垂直,则 有(2a+5)(2-a)+(a-2)(a+3)=0,解得a=2. (2014佳木斯模拟)若直线l1:(3+a)x+4y=5-3a和直线l2:2x+(5+a)y=8平行, 则a= . 答案答案-7 解析解析根据题意有 3 2 a = 4 5a 5-3 8 a ,解得a=-7. 利用直线之间的关系求直线方程 利用直线之间的关系求直线方程 已知两点M(0,2),N(-2,0),直线l:kx-y-2k+2=0(k为常数).若点M,N到直线l 的距离相等,求直线l的方程. 解答解答因为点M,N到直线l的距离相等, 所以lMN或l过MN的中点. 因为M(0,2),N(-2,0), 所以kMN=1,MN的中点坐标为C(-1,1). 又直线l:kx-y-2k+2=0过点D(2,2), 当lMN时,k=kMN=1,经检验符合题意; 当l过MN的中点时,-k-1-2k+2=0,解得k= 1 3. 综上,直线l的方程为x-y=0或x-3y+4=0. 【题组强化重点突破】 【题组强化重点突破】 1. 与直线3x+4y-6=0平行且距离为4的直线的方程是 . 答案答案3x+4y+14=0或3x+4y-26=0 解析解析根据平行直线系,可设直线的方程为3x+4y+m=0,由平行距离公式 22 |-6- | 34 m =4, 解得m=14或-26.故所求直线的方程为3x+4y+14=0或3x+4y-26=0. 2. 已知点P(3,2)与点Q(1,4)关于直线l对称,那么直线l的方程 为 . 答案答案x-y+1=0 解析解析因为kPQ= 4-2 1-3=-1,所以kl=1,PQ的中点为 3 1 24 , 22 ,即(2,3),直线l的方程 为y-3=x-2,即x-y+1=0. 3. 从点(2,3)射出的光线沿与直线x-2y=0平行的直线射到y轴上,经y轴反射的光线 所在的直线方程为 . 答案答案x+2y-4=0 解析解析由题意得,射出的光线方程为y-3= 1 2(x-2), 即x-2y+4=0,与y轴交点为(0,2). 又(2,3)关于y轴的对称点为(-2,3), 所以反射光线所在直线过点(0,2),(-2,3), 故所求直线方程为y-2= 3-2 -2 x,即x+2y-4=0. 4. (2014南安模拟)过点(-1,2)且与原点的距离最大的直线方程是 . 答案答案x-2y+5=0 解析解析设A(-1,2),则OA的斜率等于-2,故所求直线的斜率等于 1 2,由点斜式求得直 线的方程为y-2= 1 2(x+1),化简得x-2y+5=0. 5. (1) 已知直线l1:ax+by=0,l2:(a-1)x+y+2b=0.若直线l1,l2同时平行于直线 x+2y+3=0,那么a= ,b= . (2) 若直线(m-1)x+(2m+3)y+2=0与(m+2)x+(1-m)y-3=0互相垂直,则实数 m= . 答案答案(1) 3 2 3 (2) 1 解析解析(1) 由两直线平行的充要条件,得 2 -0, 2( -1)-10, 43, a b a b 解得a= 3 2,b=3,经检验符合题 意. (2) 由两直线垂直的充要条件,得(m-1)(m+2)+(2m+3)(1-m)=0,所以m=1. 关于直线(或点)的对称问题 关于直线(或点)的对称问题 已知点A的坐标为(-4,4),直线l的方程为3x+y-2=0. (1) 求点A关于直线l的对称点A的坐标; (2) 求直线l关于点A的对称直线l的方程. 思维引导思维引导(1) 点A与A关于直线l对称,主要运用两点,一个是AAl,另一个 是AA的中点坐标满足直线l的方程3x+y-2=0;(2) 关于点A对称的两直线l与l互相 平行,由此可以求出直线l关于点A的对称直线l的方程. 解答解答(1) 设点A的坐标为(x,y). 因为点A与A关于直线l对称,所以AAl,且AA的中点在l上,而直线l的斜率是 -3,所以kAA= 1 3,即 -4 4 y x = 1 3. 因为直线l的方程为3x+y-2=0,AA的中点坐标是 -44 , 22 xy ,所以 3 -4 2 x + 4 2 y -2=0. 由和,解得x=2,y=6,所以点A的坐标为(2,6). (2) 因为关于点A对称的两直线l与l互相平行,于是可设l的方程为3x+y+c=0. 在直线l上任取一点M(0,2),其关于点A对称的点为M(x,y),于是M点在l上,且 MM的中点为点A, 由此得 0 2 x =-4, 2 2 y =4,即x=-8,y=6,故有M(-8,6). 因为点M在l上,所以3(-8)+6+c=0,所以c=18. 故直线l的方程为3x+y+18=0. (2014江苏模拟)已知直线a:3x+4y+1=0关于直线l对称的直线b的方程为 12x-5y=0,求直线l的方程. 解答解答设点P(x,y)为直线l上的任意一点,点P到直线a,b的距离相等,即 |341| 5 xy = |12 -5 | 13 xy ,整理得21x-77y-13=0或99x+27y+13=0,即为直线l的方程. 在直线l:3x-y-1=0上求一点P,使得: (1) 点P到点A(4,1)和B(3,4)的距离之和最小; (2) 点P到点A(4,1)和B(0,4)的距离之差最大. 思维引导思维引导(1) A,B两点在直线l的同侧,直线l上点P到A,B两点的距离之和等价 于点P到A,B两点的距离之和(点B与点B关于直线l对称);这样就将原来的问题转化 为简单问题“在直线l:3x-y-1=0上求一点P,使得点P到点A(4,1)和点B的距离之和最 小”了,所求点即为直线l与AB的交点. (2) A,B两点在直线l的异侧,直线l上点P到A,B两点的距离之差等价于点P到 A,B两点的距离之差(点B与点B关于直线l对称);这样就将原来的问题转化为简单 问题“在直线l:3x-y-1=0上求一点P,使得点P到点A(4,1)和点B的距离之差最大”了, 所求点即为直线l与AB的交点. 规范答题规范答题(1) 如图(1),设点B关于直线l的对称点为B,则PA+PB=PA+PBAB, 即PA+PB的最小值等于AB.此时直线AB与直线l的交点即为点P.(2分) 设点B(m,n), 则 34 3-10, 22 -41 -, -33 mn n m 解得 3 , 5 24 . 5 m n 即点B的坐标为 3 24 , 55 . (6分) 由两点式可求得直线AB的方程为19x+17y-93=0. 则易得直线AB与l的交点坐标为 11 26 , 77 ,即为所求的点P的坐标. (7分) 图(1) 图(2) (范题赏析) (2) 如图(2),设点B关于直线l的对称点为B, 则PA-PB=PA-PBAB,即PA-PB的最大值等于AB.此时直线AB与直线l的交点 即为点P.(9分) 设点B(m,n),则 4 3-10, 22 -41 -, 3 mn n m 解得 3, 3. m n 即点B的坐标为(3,3). 所以直线AB 的方程为2x+y-9=0.(12分) 所以直线AB与直线l的交点为(2,5),即点P的坐标为(2,5).(14分) 精要点评精要点评本题无法直接去做,需通过求点B的对称点B,将PB转化为PB,从而 实现问题的解决.这里运用了重要的数学思想方法化归思想! 1. 若点A(1,3)在直线l上的射影为(-5,1),则直线l的方程是 . 答案答案3x+y+14=0 解析解析因为点A(1,3)在直线l上的射影为P(-5,1),所以kPA= 1 3,所以kl=-3,所以直线l 的方程是3x+y+14=0. 2. 设aR R,则“a=1”是“直线l1:ax+2y=0与直线l2 :x+(a+1)y+4=0平行”的 条 件. 答案答案充分不必要 解析解析由2 a = 1 1a ,解得a=1或a=-2.所以当a=1时,两直线平行成立,因此是充分条件; 当两直线平行时,a=1 或a=-2,不是必要条件. 3. 若过点P(1,2)作一直线l,使点M(2,3)和点N(4,-1)到直线l的距离相等,则直线l 的方程是 . 答案答案2x+y-4=0或x+2y-5=0 解析解析当直线l经过MN的中点时,其方程是x+2y-5=0;当直线平行于直线l时,直线l 的方程是2x+y-4=0. 4. 若直线x+2y-3=0与直线ax+4y+b=0关于点A(1,0)对称,则b= . 答案答案2 5. 在等腰直角三角形ABC中,AB=AC=4,点P是边AB上异于A,B的一点,光线从点P出发, 经BC,CA反射后又回到点P(如图所示),若光线QR经过ABC的重心,则AP= . (第5题) 答案答案 4 3 解析 解析不妨设AP=m(0m4),建立坐标系,设AB所在的直线为x轴,AC所在的直线为 y 轴 , 则 A(0,0),B(4,0),C(0,4),Q(xQ,yQ),R(0,yR),P(m,0), 可 知 ABC 的 重 心 为 G 4