江苏数学一轮第十章第59课圆的综合问题要点导学pdf

要点导学 各个击破 要点导学 各个击破 与圆有关的范围与最值问题 与圆有关的范围与最值问题 已知实数x,y满足x 2+y2-6x-8y+21=0. (1) 求 y x的取值范围; (2) 求x 2+y2+2x+4y的最大值与最小值. 解答解答由x 2+y2-6x-8y+21=0得圆的标准方程为(x-3)2+(y-4)2=4,所以方程 x 2+y2-6x-8y+21=0是以C(3,4)为圆心、2为半径的圆. (1) y x= -0 -0 y x 表示圆上任意一点M(x,y)与原点O(0,0)连线的斜率.作图可以发 现过原点作圆的切线,两条切线的斜率分别是 y x的最大值与最小值.设切线为 kx-y=0,则 2 |3 -4| 1 k k =2,解得k= 122 21 5 ,所以 y x 12-2 21 122 21 , 55 . (2) 因为x 2+y2+2x+4y=(x+1)2+(y+2)2-5,所以x2+y2+2x+4y表示圆上任意一点 M(x,y)与定点A(-1,-2)的距离的平方与5的差,AC=2 13,作图发现 M 2 max A =(AC+2) 2=56+8 13,M 2 min A =(AC-2) 2=56-8 13,所以x2+y2+2x+4y的最大值是 51+8 13,最小值是51-813. 精要点评精要点评(1) 对于 - - y b x a型问题常可以转化为圆上任意一点P与定点Q连线的斜 率. (2) 对于x 2+y2-2mx-2ny型问题,可以转化为圆上任意一点M与定点N(m,n)间的距 离的最大、最小值问题.在具体解题时注意数形结合思想的运用. 如果实数x,y满足(x+2) 2+y2=3. (1) 求 y x的最大值; (2) 求2x-y的最小值. 解答解答(1) 问题可转化为求圆(x+2) 2+y2=3上任意一点到原点连线的斜率k= y x的 最大值, 由图形性质可知,由原点向圆(x+2) 2+y2=3作切线,其中切线斜率的最大值即 为 y x的最大值.设切线方程为y=kx,即kx-y=0,由 2 |-2 -0| 1 k k = 3,解得k=3或k=-3, 所以 y x的最大值为 3. (2) 因为x,y满足(x+2) 2+y2=3, 所以可设 -23, 3, xcos ysin 所以2x-y=-4+2 3cos -3sin =-4+15sin(+), 所以2x-y的最小值为-4- 15. 直线与圆的位置关系 直线与圆的位置关系 (2014 江苏模拟)若圆M经过不同的三点A(0,1),B(2,0),P(m,0),且斜率为1 的直线与圆M相切于点P,求圆M的方程. 解答解答由A(0,1),B(2,0)在圆上,可得圆M的弦AB的中垂线方程为4x-2y-3=0,BP 也是圆M的弦,所以圆心在直线x= 2 2 m 上.设圆心M 2 , 2 m n , 因为圆心M在直线4x-2y-3=0上, 所以2m-2n+1=0. 又因为斜率为1的直线与圆M相切于点P, 所以kMP=-1. 即 2 - 2 n m m =-1,整理得m-2n-2=0. 由可得m=-3,n=- 5 2, 所以M 15 -,- 22 ,半径MA= 149 44 = 5 2 2 . 故圆M的方程为x 2+y2+x+5y-6=0. (2014佛山模拟)如图,已知半径为1的圆O1与x轴交于A,B两点,OM为圆O1的 切线,切点为M,且M在第一象限,圆心O1的坐标为(2,0),二次函数y=-x 2+bx+c的图象经 过A,B两点. (变式) (1) 求二次函数的解析式; (2) 求切线OM的函数解析式. 解答解答(1) 由题意知,圆O1的方程为(x-2) 2+y2=1,令y=0,解得x=1或x=3, 故点A的坐标为(1,0),点B的坐标为(3,0). 由于二次函数y=-x 2+bx+c经过A,B两点, 则有 2 2 -110, -330, bc bc 解得 4, -3. b c 故二次函数的解析式为y=-x 2+4x-3. (2) 设直线OM所对应的函数解析式为y=kx,由于点M在第一象限,所以k0.由于 直线OM与圆O1相切,则 22 |2-0| (-1) k k =1,解得k= 3 3 ,故切线OM的函数解析式为y= 3 3 x. 圆的综合问题 圆的综合问题 (2014安徽示范高中模拟)已知点E(-2,0),F(2,0),曲线C上的动点M满足 ME MF =-3,定点A(2,1),由曲线C外一点P(a,b)向曲线C引切线PQ,切点为Q,且满 足PQ=PA. (1) 求线段PA的最小值; (2) 若以点P为圆心所作的圆P与曲线C有公共点,试求半径取最小值时圆P的标 准方程. 解答解答(1) 设点M(x,y), 则ME =(-2-x,-y),MF =(2-x,-y), 因为ME MF =-3, 所以(-2-x,-y)(2-x,-y)=x 2+y2-4=-3, 即x 2+y2=1, 所以曲线C的方程为x 2+y2=1. 因为PQ=PA,所以PO 2-1=PA2, 即a 2+b2-1=(a-2)2+(b-1)2,化简得b=-2a+3. PA= 22 ( -2)( -1)ab = 22 -444-84aaaa = 2 64 5- 55 a 2 5 5 , 所以线段PA的最小值为 2 5 5 . (2) 设圆P的半径为R,因为圆P与圆C有公共点,圆C的半径为1, 所以|R-1|CPR+1,即RCP-1且RCP+1, 而CP= 22 ab = 22 (-23)aa = 2 69 5- 55 a ,故当a= 6 5时,OPmin= 3 5 5 . 此时b=-2a+3= 3 5,Rmin= 3 5 5 -1. 故半径取最小值时圆P的标准方程为 2 6 - 5 x + 2 3 - 5 y = 2 3 5 -1 5 . (2014扬泰南宿二调)在平面直角坐标系xOy中,已知圆C:x 2+y2=r2和直线 l:x=a(其中r和a均为常数,且0 r a),M为直线l上一动点,A1,A2分别为圆C与x轴的 两个交点,直线MA1,MA2与圆C的另一个交点分别为P,Q. (1) 若r=2,点M的坐标为(4,2),求直线PQ的方程; (2) 证明:直线PQ过定点,并求该定点的坐标. 解答解答(1) 当r=2,M(4,2),则A1(-2,0),A2(2,0). 直线MA1的方程为x-3y+2=0,联立方程组 22 4, -320, xy xy 解得P 8 6 , 5 5 . 直线MA2的方程为x-y-2=0,联立方程组 22 4, - -20, xy x y 解得Q(0,-2). 由两点式,得直线PQ的方程为2x-y-2=0. (2) 由题设得A1(-r,0),A2(r,0).设M(a,t), 直线MA1的方程为y= t ar (x+r), 直线MA2的方程为y= - t a r(x-r). 由 222, (), xyr t yxr ar 解得P 22 2222 () -2 () , ()() r arrttr ar artart . 由 222, ( - ), - xyr t yx r a r 解得Q 22 2222 - ( - )2 ( - ) ,- ( - )( - ) rtr a rtr a r a rta rt . 于是直线PQ的斜率kPQ= 222 2 - - at a tr , 直线PQ的方程为 y- 22 2 () () tr ar art = 222 2 - - at a tr 22 22 () - - () r arrt x art . 上式中令y=0,得x= 2 r a ,是一个与t无关的常数. 故直线PQ过定点 2 ,0 r a . 已知方程x 2+y2-2x-4y+m=0. (1) 若此方程表示圆,求m的取值范围; (2) 若(1)中的圆与直线x+2y-4=0相交于M,N两点,且OMON(O为坐标原点),求 m; (3) 在(2)的条件下,求以MN为直径的圆的方程. 思维引导思维引导OMON(O为坐标原点)等价于以MN为直径的圆的经过原点. 规范答题规范答题(1) 因为(x-1) 2+(y-2)2=5-m是圆, 所以m5.(3分) (2) 设M(x1,y1),N(x2,y2),则x1=4-2y1,x2=4-2y2, 则x1x2=16-8(y1+y2)+4y1y2. 因为OMON,所以x1x2+y1y2=0, 所以16-8(y1+y2)+5y1y2=0. 由 22 4-2 , -2 -40, xy xyxym 得5y 2-16y+m+8=0, 所以y1+y2= 16 5 ,y1y2= 8 5 m , 代入,得m= 8 5. (8分) (3) 以 MN 为 直 径 的 圆 的 方 程 为 (x-x1)(x-x2)+(y-y1)(y-y2)=0, 即 x 2+y2-(x 1+x2)x-(y1+y2)y=0, 所以所求圆的方程为x 2+y2- 8 5x- 16 5 y=0. (14分) 1. 圆心在x-y-4=0上,并且经过圆C1:x 2+y2-4x-3=0和圆C 2:x 2+y2-4y-3=0的交点的圆的 方程为 . 答案答案x 2+y2-6x+2y-3=0 2. 对 于 任 意 实 数 k, 直 线 (3k+2)x-ky-2=0 与 圆 x 2+y2-2x-2y-2=0 的 位 置 关 系 是 . 答案答案相切或相交 解析解析根据直线恒过(1,3),且(1,3)在圆上可知直线与圆相交或相切. 3. 已 知 直 线 2x+y- 5 =0 与 圆 x 2+y2=2 相 交 于 A,B 两 点 ,O 为 原 点 , 那 么 OA OB = . 答案答案0 解析解析因为圆心(0,0)到直线2x+y- 5 =0的距离为1,所以直线被圆截得的弦长 AB=2 2-1=2.因为OA2+OB2=AB2,所以AOD=90,所以OA OB =0. 4. 若直线3x+y+a=0过圆x 2+y2+2x-4y=0的圆心,则实数a的值为 . 答案答案1 解析解析圆的方程可化为(x+1) 2+(y-2)2=5,因为直线经过圆的圆心(-1,2),所以3 (-1)+2+a=0,解得a=1. 5. (2014 惠州模拟)已知直线l1与直线l2:3x+4y-6=0平行,且与圆C:x 2+y2+2y=0相切, 那么直线