广东梅州高三数学总复习质检文

广东省梅州市2019届高三数学总复习质检试题 文（含解析）一、选择题（本大题共12小题）1.已知集合，8，10，12，则集合中元素的个数为A. 2B. 3C. 4D. 5【答案】A【解析】【分析】正确理解集合A，根据集合的交集运算，即可求解。【详解】由题意，集合，8，10，12，集合中元素的个数为2故选：A【点睛】本题主要考查了交集的求法，考查交集定义等基础知识，考查运算求解能力，是基础题2.已知复数z满足，则A. B. C. 5D. 10【答案】B【解析】【分析】由题意得，所以，代入复数模公式即可求解。【详解】解：由，得，则，故选：B【点睛】本题考查复数代数形式的乘除运算，考查复数模的求法，属基础题3.下列函数为奇函数的是（ ）A. B. C. D. 【答案】D【解析】函数是非奇非偶函数；和是偶函数；是奇函数，故选D考点：函数的奇偶性4.顶点在原点，对称轴为x轴的抛物线的焦点在直线上，则此抛物线的方程为A. B. C. D. 【答案】C【解析】【分析】由题意知抛物线的焦点在x轴上也在直线上，所以焦点坐标，即可求，代入公式可得抛物线的方程【详解】解：由题意可知：抛物线的焦点在x轴上又抛物线的焦点在直线上，可令，得：抛物线的焦点的坐标为，即此抛物线的方程为故选：C【点睛】本题主要考查抛物线的基本性质，属基础题5.等差数列的前n项和为，且满足，则A. 1B. 2C. 3D. 4【答案】A【解析】试题分析：由等差数通项公式和前项和公式,又,可得，解得.故本题答案选A.考点：等差数列的通项公式和前和公式.6.某中学2018年的高考考生人数是2015年高考考生人数的倍，为了更好地对比该校考生的升学情况，统计了该校2015年和2018年的高考情况，得到如图柱状图：则下列结论正确的是A. 与2015年相比，2018年一本达线人数减少B. 与2015年相比，2018年二本达线人数增加了倍C. 2015年与2018年艺体达线人数相同D. 与2015年相比，2018年不上线的人数有所增加【答案】D【解析】【分析】设2015年该校参加高考的人数为，则2018年该校参加高考的人数为.观察柱状统计图，找出各数据，再利用各数量间的关系列式计算得到答案.【详解】设2015年该校参加高考的人数为，则2018年该校参加高考的人数为.对于选项A.2015年一本达线人数为.2018年一本达线人数为，可见一本达线人数增加了，故选项A错误；对于选项B，2015年二本达线人数为，2018年二本达线人数为，显然2018年二本达线人数不是增加了0.5倍，故选项B错误；对于选项C，2015年和2018年.艺体达线率没变，但是人数是不相同的，故选项C错误；对于选项D，2015年不上线人数为.2018年不上线人数为.不达线人数有所增加.故选D.【点睛】本题考查了柱状统计图以及用样本估计总体，观察柱状统计图，找出各数据，再利用各数量间的关系列式计算是解题的关键7.已知，若，则实数的值等于A. 3B. C. 或3D. 2【答案】C【解析】【分析】由题意得，根据，即可得出，由数量积的坐标运算即可求出的值【详解】解：，；解得或3故选：C【点睛】本题考查向量垂直的充要条件，向量减法、数乘和数量积的坐标运算，属基础题。8.如图，中，以AC所在直线为轴旋转一周，所得几何体的表面积等于A. B. C. D. 【答案】A【解析】【分析】由题意得旋转体为圆锥，底面半径为3，高为4，母线长为5，利用圆锥的表面积计算公式，即可求出表面积【详解】解：由题意可得旋转体为圆锥，底面半径为3，高为4，故它的母线长，侧面积为，而它的底面积为，故它的表面积为，故选：A【点睛】本题主要考查圆锥的表面积计算公式，属于基础题9.若变量满足约束条件则的最小值等于 （ ）A. B. C. D. 2【答案】A【解析】【分析】由约束条件作出可行域，由图得到最优解，求出最优解的坐标，数形结合得答案【详解】解：由变量x，y满足约束条件作出可行域如图，由图可知，最优解为A，联立，解得A（1，）z2xy的最小值为2（1）故选：A【点睛】本题考查了简单的线性规划，考查了数形结合的解题思想方法，是中档题10.如图，正方体中，异面直线与所成角的正弦值等于A. B. C. D. 1【答案】D【解析】【分析】由线面垂直的判定定理得：，又，所以面，由线面垂直的性质定理得：，即可求解【详解】解：连接，因为四边形为正方形，所以，又，所以面，所以，所以异面直线与所成角的正弦值等于1，故选：D【点睛】本题考查了线面垂直的判定定理及性质定理，属中档题11.九章算术给出求羡除体积的“术”是：“并三广，以深乘之，又以袤乘之，六而一”，其中的“广”指羡除的三条平行侧棱的长，“深”指一条侧棱到另两条侧棱所在平面的距离，“袤”指这两条侧棱所在平行线之间的距离，用现代语言描述：在羡除中，两条平行线与间的距离为h，直线到平面的距离为，则该羡除的体积为已知某羡除的三视图如图所示，则该羡除的体积为A. B. C. D. 【答案】B【解析】【分析】根据三视图求出羡除的体积中所需数据，代入得答案【详解】由三视图还原原几何体知，羡除中，底面ABCD是矩形，平面平面ABCD，AB，CD间的距离，如图，取AD中点G，连接EG，则平面ABCD，由侧视图知，直线EF到平面ABCD的距离为，该羡除的体积为故选：B【点睛】本题考查了几何体的三视图及体积的计算，在由三视图还原为空间几何体的实际形状时，要根据三视图的规则，空间几何体的可见轮廓线在三视图中为实线，不可见轮廓线在三视图中为虚线。求解以三视图为载体的空间几何体的表面积与体积的关键是由三视图确定直观图的形状以及直观图中线面的位置关系和数量关系，利用相应公式求解。12.设点P在曲线上，点Q在曲线上，点R在直线上，则的最小值为A. B. C. D. 【答案】D【解析】【分析】求出两曲线对应函数的导数，求得切线的斜率，由与直线的平行，可得切点，由点到直线的距离公式可得最小值，进而得到所求和的最小值.【详解】由题意，函数的导数为，设曲线与直线的平行线相切的切点为，可得，即，可得切点为，此时PR的最小值为，的导数为，设曲线与直线的平行线相切的切点为，可得，即，可得切点为，此时RQ的最小值为，则P，Q重合为，R为，取得最小值为故选：D【点睛】本题主要考查了导数的几何意义的应用，以及点到直线的距离公式的应用，其中解答中熟记利用导数的几何意义求解切线的方程，以及合理利用点到直线的距离公式，准确求解是解答的关键，着重考查了转化思想，以及运算与求解能力，属于中档试题。二、填空题（本大题共4小题）13.设函数，则_【答案】9【解析】【分析】由条件利用指数函数、对数函数的运算性质，可求得的值【详解】解：由函数，可得，故答案为：9【点睛】本题主要考查分段函数的应用，指数函数、对数函数的运算性质，求值，属于基础题14.已知数列的前n项和为，首项，且满足：，则_【答案】【解析】试题分析：，故，故答案为：.考点：数列递推式.15.已知双曲线C：一个焦点为，且F到双曲线C的渐近线的距离为1，则双曲线C的方程为_【答案】【解析】【分析】由题意知，双曲线的焦点在x轴上，且，设双曲线C：，求出其渐近线方程为，又由点F到渐近线的距离为1，解可得b的值，进而计算可得a的值，将a、b的值代入双曲线方程即可得答案【详解】解：根据题意，双曲线C的中心为原点，点是双曲线C的一个焦点，即双曲线的焦点在x轴上，且，双曲线C：，其渐近线方程为，即，又点F到渐近线的距离为1，则有，解可得，则，所以双曲线的方程为：；故答案为：【点睛】本题考查双曲线的几何性质，注意点到直线距离公式的应用，属基础题16.若将函数的图象向右平移个单位后所得图象关于y轴对称，则的最小正值为_【答案】【解析】试题分析：，向右移个单位得，由题意有， ，时，取得最小正值考点：三角函数图象的平移与对称性三、解答题（本大题共7小题）17.如图，在中，已知点D在边BC上，且，求BD长；求【答案】（1）；（2）.【解析】【分析】由已知利用诱导公式可求的值，利用余弦定理即可计算BD的长由可求的值，利用同角三角函数基本关系式可求，由正弦定理可求的值，根据诱导公式可求的值【详解】（1）由题意，因为，在中，由余弦定理得，即，得由，得，在中，由正弦定理，得：，【点睛】本题主要考查了三角函数的诱导公式，余弦定理，同角三角函数基本关系式，三角形内角和定理，两角和的正弦函数公式在解三角形中的应用，考查了计算能力和转化思想，属于中档题18.如图，已知矩形ABCD中，点E是AD的中点，将沿CE折起到的位置，使二面角是直二面角证明：；求点E到平面的距离【答案】（1）见证明；（2）【解析】【分析】由，点E是AD的中点，可得：，是等腰直角三角形，则。再利用面面垂直及线面垂直的性质定理即可证明结论由已知及得，平面, 可得。设点E到平面的距离为d，利用等体积法，代入数据即可求解【详解】证明：，点E是AD的中点，是等腰直角三角形，即又平面平面BEC，平面平面，平面BEC，平面， 平面，由已知及得，平面，平面，中，设点E到平面的距离为d则 ，得所以点E到平面的距离为【点睛】本题考查了等腰直角三角形、面面垂直及线面的判定与性质定理、三棱锥的体积计算公式、三角形面积计算公式，考查了空间想象能力推理能力与计算能力，属于中档题19.某大学生在开学季准备销售一种文具套盒进行试创业，在一个开学季内，每售出1盒该产品获利润50元；未售出的产品，每盒亏损30元根据历史资料，得到开学季市场需求量的频率分布直方图，如图所示，该同学为这个开学季购进了160盒该产品，以单位：盒，表示这个开学季内的市场需求量，单位：元表示这个开学季内经销该产品的利润根据直方图估计这个开学季内市场需求量x的平均数和众数；将y表示为x的函数；根据直方图估计利润不少于4800元的概率【答案】（1）153,150（2）y=,（3）0.9【解析】试题分析：（1）以各组的中间值为各组需求量的代表值，计算出各组的频率为概率，频率最大对应的需求量即为需求量的众数，各组代表需求量与对应的频率的和就是需求量的平均数；（2）由已知条件推导出当100x160时，y=50x-（160-x）30=80x-1800，当160x200时，y=16050=8000，由此能将Y表示为X的函数，（3）根据（2）中利润与需求量的关系式，令y大于等于4800，列出关于需求量的不等式，求出需求量x的取值范围，再根据题中的频率分布表计算出对应的概率.试题解析：（1）由频率直方图得到：需求量为110的频率=0.00520=0.1，需求量为130的频率=0.0120=0.2，需求量为150的频率=0.01520=0.3，需求量为170的频率=0.012520=0.25，需求量为190的频率=0.007520=0.15，这个开学季内市场需求量X的众数是150，这个开学季内市场需求量X的平均数： =1100.1+1300.2+1500.3+1700.25+1900.15=153 4分（2）每售出1盒该产品获利润50元，未售出的产品，每盒亏损30元，当100x160时，y=50x-（160-x）30=80x-1800，当160x200时，y=16050=8000，y=8分（3）利润不少于4800元，80x-48004800，解得x120，由（1）知利润不少于4800元的概率p=1-0.1=0.9 12分考点:离散型随机变量的期望与方差，频率分布直方图应用，众数、中位数、平均数，分段函数函数解析式，概率的估计20.已知椭圆C：的离心率为，短轴长为求椭圆C的标准方程；过椭圆C的左焦点F的直线l与椭圆C交于M，N两点，证明：原点O不在以MN为直径的圆上【答案】（1）（2）见证明【解析】【分析】由题意得，又，求解得到a，b，c的值，代入椭圆方程即可求解直线l过抛物线C的焦点，故设直线MN的方程为，联立直线方程与椭圆方程，化为关于y的一元二次方程，利用根与系数的关系，假设原点O在以MN为直径的圆上，则，即，即，代入计算可得，而上述关于m的方程显然没有实数解，故原点O不在以MN为直径的圆上【详解】解：由已知，得，又，椭圆C的标准方程为，证明：由得，易知直线MN不能平行于x轴，故设直线MN的方程为，设、，联立方程得，若原点O在以MN为直径的圆上，则，即，即，又，而上述关于m的方程显然没有实数解故原点O不在以MN为直径的圆上【点睛】本题主要考查直线、椭圆等基础知识，考查推理论证能力、运算求解能力，考查数形结合思想和化归与转化思想，属中档题21.设函数，其中e是自然对数的底数求证：函数存在极小值；若，使得不等式成立，求实数m的取值范围【答案】(1)见证明；(2)【解析】【分析】求导得，从而，进而函数在是增函数，由此利用导数性质能证明函数存在极小值（2），使得不等式成立，等价于，使得不等式成立，令，则，结合（1）结论及导数性质，即可求出实数m的取值范围【详解】证明：，函数在是增函数，且函数的图象在上不间断，使得，结合函数在是增函数，有：x函数存在极小值解：，使得不等式成立，等价于，使得不等式成立令，则，结合得：，其中，满足，即，在内单调递增，结合有，即实数m的取值范围为【点睛】本题考查函数存在最小值的证明，考查实数的取值范围的求法，属中档题，解题时要认真审题，注意导数性质的合理运用22.已知直线l的参数方程为（t为参数），以坐标原点为极点，x轴的非负半轴为极轴建立极坐标系，圆C的极坐标方程为，直线l与圆C交于A，B两点求圆C的直角坐标方程及弦AB的长；动点P在圆C上不与A，B重合，试求的面积的最大值【答案】(1) .(2) .【解析】分析：(1)先根据将圆的极坐标方程化为直角坐标方程，再将直线的参数方程代入圆 方程，利用韦达定理以及参数几何意义求弦的长；(2)先根据加减消元法得直线的普通方程，再根据点到直线距离公式得点到直线的距离最大值，最后根据三角形面积公式求最大值.详解：（1）由得所以，所以圆的直角坐