江苏海安高级中学高三第二次模拟考试数学

江苏省海安高级中学江苏省海安高级中学 2020 届第届第二二次学测次学测参考答案参考答案 数学数学 一、一、填空题：本大题共 14 小题，每小题 5 分，共计 70 分 1. 答案： 1 2. 答案：2iz 3. 答案： 2 0210 xxx ， 4. 答案： 5 6 5. 答案：充分不必要 6答案：2 7. 答案：0+， 8. 答案：1 9. 答案： 5 2 10. 答案：2 11. 答案： 3 log 2 12. 答案：2 1ln2 13. 答案： 14. 答案： 1 4 2 ， 二、解答题：本大题共 6 小题，共 90 分. 15 （本小题满分 14 分） 解： （1）因为 2 22550 xkxk，所以250 xxk 当 5 2 k即 5 2 k时， 5 2 Bk ，； 2 分 当 5 = 2 k即 5 = 2 k时，B ； 4 分 当 5 2 k即 5 2 k时， 5 2 Bk ， 6 分 （2）由 2 20 xx得12x ， 8 分 当 5 2 k即 5 2 k时，M 中仅有的整数为3， 所以43k，即3 4k ，； 10 分 当 5 2 k即 5 2 k时，M 中仅有的整数为2， 所以23k 时，即3 2k ，； 12 分 综上，满足题意的 k 的范围为3 23 4 ， 14 分 16 （本小题满分 14 分） 解： （1）因为 2 ， 1 cos 3 ， 所以 2 22 21 sin1cos1 33 ， 2 分 又 0 2 ，故 3 22 ， 从而 2 24 27 cos1sin1 99 ， 4 分 所以sinsin ()sin()coscos()sin 71 93 4 22 21 933 6 分 （2）由（1）得， 1 sin 3 ， 0 2 ，故 2 22 21 cos1sin1 33 ， 所以 2sin tan cos4 8 分 因为 222 22 222 cossin1tan 222 coscossin 22 cossin1tan 222 ，且 1 cos 3 ， 所以 2 2 1tan 12 3 1tan 2 ，解得 2 tan2 2 ， 因为 2 ，所以 242 ，从而tan0 2 ， 所以tan2 2 12 分 故 2 tantan2 5 224 tan+ 212 1 1tantan 2 2 14 分 17 （本小题满分 14 分） 解： （1）因为0 n a， nnn aSa 2 2 ， 当1n时， 11 2 1 2aSa，解得1 1 a； 2 分 当2n时，有 11 2 1 2 nnn aSa， 由-得， 111 2 1 2 )()(2 nnnnnnnn aaaaSSaa（2n）. 而0 n a，所以1 1 nn aa（2n） ， 4 分 即数列 n a是公差为 1 的等差数列，故nan. 6 分 又因为 2 1nn bb ，且0 n b，取自然对数得 nn bbln2ln 1 ， 又因为 1 lnlne1b ，所以 1 ln 2 ln n n b b ， 所以ln n b是 1 为首项，以 2 为公比的等比数列， 所以 1 ln2n n b ， 即 2 1 e n n b . 8 分 （2）由（1）知， 1 ln2n nnn cabn ， 10 分 所以 1221 )2()2() 1()2(3)2(211 nn n nnT， nn n nnT)2()2() 1()2(3)2(2)2(12 1321 ， 减去得： nn n nT22221 12 ， 所以121 n n Tn. 14 分 18 （本小题满分 16 分） 解： （1）ENM=MNB，EMA=2 故 NBlcos，MBMElsin，AMMEcos2lsincos2 因为 AM+MB6，所以 lsincos2+lsin6， 2 分 从而 l 6 sin (cos2+1) 3 sincos2 4 分 又 BN12，BM6，所以 12 4，所以 l 3 sincos2 ( 12 4 )6 分 （2）记 f ()sincos2， 12 4， 则 f 2 ()sin2cos4记 xcos2，f 2 ()(1x) x2， 1 2+ 3 24 x ， 记 g(x)(1x) x2，则 g (x)2x3x2，令 g (x)0，x2 3 1 2+ 3 24 ， 所以 g(x)在 1 2 2 3 ，上单调递增，在 2 2+ 3 34 ，上单调递减， 8 分 故当 xcos22 3时 l 取最小值，此时 sin 3 3 ，l 的最小值为 9 3 2 10 分 （3）EMN 的面积 S1 2l 2sincos9 2 1 sincos3 ( 12 4 )， 从而 S281 4 1 sin2cos6设 tcos 2( 12 4 )， 1 2 t 2+ 3 4 ， 12 分 记 f(t)(1t) t3，f (t)3t24t3令 f (t)0， t3 4 f(t)在 1 3 2 4 ，上单调递增，在 3 2+ 3 44 ，上单调递减， 故当 t3 4cos 2，即 6时，面积 S 取最小值为 8 3 15 分 答：略 16 分 19 （本小题满分 16 分） 解： （1）由 2 f xaxbxa得 2 fxaxbxa， 代入 0fxf x得， 22 0axbxaaxbxa， 2 分 得到关于 x 的方程 2 0axa（0a ） ，由于aR且0a ，所以1x ， 所以函数 2 f xaxbxa（0a ）必有局部对称点 4 分 （2）方程2220 xx c 在区间 1 1，上有解，于是222 xx c ， 设2xt （11x ） ， 1 2 2 t ，所以 1 2ct t ， 6 分 令 1 s tt t ， 1 2 2 t ，则 22 111 1 tt s t tt ， 当 1 1 2 t，时， 0s t ，故函数 s t在区间 1 1 2 ，上单调递减， 同理函数 s t在区间1 2，上单调递增，所以 15 2 2 t t ， 所以 5 1 4 c 10 分 （3） 12 423 xx hxmm ， 由于 0hxh x，所以 1212 423423 xxxx mmmm 于是 2 44222230 xxxx mm （*）在 R 上有解，12 分 令22 xx t （2t） ，则 2 442 xx t ， 所以方程（*）变为 22 2280tmtm在区间2 )， 内有解， 需满足条件： 22 2 4840 24 8 2 2 mm mm 即 2 22 2 132 2 m m ， 得132 2m 16 分 20 （本小题满分 16 分） 解： （1）令 ln1g xxx，所以 11 1 x gx xx 当0 1x，时， 0gx， g x在0 1，上单调递增； 当1x ，时， 0gx， g x在1 ，上单调递减； 所以 max 10g xg，所以 g x的零点为1x 2 分 （2）因为 22 2 11 1 ln1 ln1 a xx x a xx x ， ，所以 21 12 21 lnln 1 xx ax x xx ， 4 分 要证 121 ax xx，即证 21 12121 21 lnln 1 xx x xx xx xx ， 即证 21 12 ln1 xx xx ，令 2 1 1 x t x ， 1 ln1t t ， 6 分 由（1）知ln1xx，当且仅当1x 取等，所以 11 ln1 tt ， 即 1 ln1t t ，所以原不等式成立 8 分 （3）不等式(x21)lnxk(x1)2对一切正实数 x 恒成立 因为 (x21)lnxk(x1)2(x21)lnxk(x1) x1 10 分 设 h(x)lnxk(x1) x1 ，h(x)1 x 2k (x1)2 x22(1k)x1 x(x1)2 记 2 2 11xxk x， 2 4 1442kk k ， 当0，即 0k2 时，h(x)0 恒成立，故 h(x)单调递增 于是当 0x1 时，h(x)h(1)0，又 x210，故( (x21)lnxk(x1)2， 当 x1 时，h(x)h(1)0，又 x210，故 (x21)lnxk(x1)2， 又当 x1 时，(x21)lnxk(x1)2 因此当 0k2 时，(x21)lnxk(x1)2对一切正实数 x 恒成立 12 分 当0，即 k2 时，设 x22(1k)x10 的两个不等实根分别为 x3，x4(x3x4) 又 (1)42k0，于是 x31k1x4 故当 x(1，k1)时， h(x)0，从而 h(x)在(1，k1)在单调递减； 当 x(1，k1)时，h(x)h(1)0，此时 x210，于是(x21) h(x)0， 即(x21)lnxk(x1)2，舍去； 15 分 综上， k 的取值范围是02k 16 分 数学数学 21本大题共两小题，每小题本大题共两小题，每小题 10 分，共计分，共计 20 分分 B选修选修 42：矩阵与变换：矩阵与变换 解：设特征向量为 k 1 对应的特征值为 ， 则 a k 0 1 k 1 k 1 ，即 akkk， 1. 因为 k0，所以 a2 5 分 因为 A 1 3 1 1 1 ，所以 A 1 1 3 1 ，即 2 k 0 1 1 1 3 1 ， 所以 2k3，解得 k1 综上，a2，k1 10 分 C （选修 （选修 44：坐标系与参数方程）：坐标系与参数方程） 解：将曲线C的极坐标方程化为直角坐标方程为 22 40 xyy， 即 22 (2)4xy，它表示以(0,2)为圆心，2 为半径的圆， 4 分 直线方程l的普通方程为31yx， 6 分 圆 C 的圆心到直线 l 的距离 2 1 d， 8 分 故直线l被曲线C截得的线段长度为15) 2 1 (22 22 10 分 【必做题】第【必做题】第 22 题、第题、第 23 题，每题题，每题 10 分，共计分，共计 20 分分 22 （本小题满分 10 分） 证明：连接 AC，BD 交于点 O，以 OA 为 x 轴正方向，以 OB 为 y 轴正方向，OP 为 z 轴建 立空间直角坐标系 因为 PAAB 2，则 A(1，0，0)，B(0，1，0)，D(0，1，0)，P(0，0，1) （1）由 BN 1 3 BD ，得 N(0，1 3，0)，由 PM 1 3 PA ，得 M(1 3，0， 2 3)， 所以 MN (1 3， 1 3， 2 3)， AD (1，1，0) 因为 MN AD0所以 MNAD 4 分 （2）因为 M 在 PA 上，可设 PM PA，得 M(，0，1) 所以 BM (，1，1)， BD(0，2，0) 设平面 MBD 的法向量 n(x，y，z)， 由 n BD 0， n BM 0，得 2y0， xy(1)z0， 其中一组解为 x1，y0，z，所以可取 n(1，0，) 8 分 因为平面 ABD 的法向量为 OP (0，0，1)， 所以 cos 4| n OP |n| OP |，即 2 2 (1)22，解得 1 2， 从而 M(1 2，0， 1 2)，N(0， 1 3，0)， 所以 MN(1 20) 2(01 3) 2(1 20) 2 22 6 10 分 23 （本小题满分 10 分） 解： （1）的取值为-3，-1，1，3，又因为 1 2 pq； 1 分 故 3 11 3 28 P ， 3 11 3 28 P， 2 2 3 113 1 228 PC ， 2 2 3 113 1 228 PC， 3 分 所以的分布列为：