江苏数学一轮第二章第14课函数模型及其应用要点导学pdf

要点导学 各个击破 要点导学 各个击破 一、二次函数的应用问题 一、二次函数的应用问题 某租赁公司拥有汽车100辆,当每辆车的月租金为3000元时,可全部租出,当 每辆车的月租金每增加50元时,未租出的车将会增加一辆.租出的车每辆每月需要维 护费150元,未租出的车每辆每月需要维护费50元. (1) 当每辆车的月租金定为3600元时,能租出多少辆? (2) 当每辆车的月租金定为多少元时,租赁公司的月收益最大?最大月收益是多 少? 思维引导思维引导解应用题一般要根据题意建立函数关系式,再利用配方、基本不等 式、导数或函数的单调性等研究函数的最值,从而解决实际问题. 解答解答(1) 能租出100- 3600-3000 50 =88(辆). (2) 设月租金为3000+50 x(0x100,xN N * *), 月收益y=(3000+50 x)(100-x)-150(100-x)-50 x=-50 x 2+2100 x+285 000, 当x=21,即月租金为4050元时,最大月收益为307050元. 指(对)数函数的应用问题 指(对)数函数的应用问题 某种细菌每隔两小时分裂一次(每一个细菌分裂成两个,分裂所需时间忽略 不计),研究开始时有两个细菌,在研究过程中不断进行分裂,细菌总数y是研究时间t 的函数,记作y=f(t). (1) 写出函数y=f(t)的定义域和值域; (2) 写出研究进行到n h(n0,nZ Z)时,细菌的总数(用关于n的式子表示); (3) 经过几个小时,细菌总数为1 024? 解答解答(1) y=f(t)的定义域为0,+),值域为y|y=2 n,nN N* *. (2) 当n为偶数时,y= n 1 2 2 ;当n为奇数时,y= n-1 1 2 2 . 所以y= n 1 2 n-1 1 2 2,n, 2,n. 为偶数 为奇数 (3) 若n为偶数,则有 n 1 2 2 =1 024,即 n 2+1=log21 024=10,所以n=18. 若n为奇数,则有 n-1 1 2 2 =1 024,即 n-1 2 +1=log21 024=10,所以n=19. 故经过18 h,细菌总数为1024. 分段函数的应用问题 分段函数的应用问题 (2014 常州模拟)几名大学毕业生合作开3D打印店,生产并销售某种3D产品. 已知该店每月生产的产品当月都能销售完,每件产品的生产成本为34元.该店的月总 成本由两部分组成:第一部分是月销售产品的生产成本,第二部分是其他固定支出20 000元.假设该产品的月销售量t(x)(单位:件)与销售价格x(单位:元/件)(xN N * *)之 间满足如下关系:当34x60时,t(x)=-a(x+5) 2+10 050;当60x76 时,t(x)=-100 x+7 600.设该店月利润为M(单位:元,月利润=月销售总额-月总成本), 求M关于销售价格x的函数关系式. 思维引导思维引导采用“分段函数,分段处理”的办理,分别表示出当34x60时,t(x) 和当60x76时,t(x),求出M关于销售价格x的函数关系式. 解答解答当x=60时,t(60)=1 600,代入t(x)=-a(x+5) 2+10 050,解得a=2.当34x 60时,M(x)=-2(x+5) 2+10050(x-34)-20000=-2x3+48x2+10680 x=36000;当60x 76时,M(x)=(-100 x+7600)(x-34)-20000=-100 x 2+1100 x-278400. 即M(x)= 32* 2* -2x48x10680 x-360000,34x60,xN , -100 x1100 x-278400,60 x76,xN . 其他函数的应用问题 其他函数的应用问题 已知某物体的温度(单位:)随时间t(单位:min)的变化规律为 =m2 t+ 1-t 2 (t0,并且m0). (1) 如果m=2,经过多少时间,物体的温度为5? (2) 若物体的温度总不低于2,求m的取值范围. 思维引导思维引导(1) 将=5代入=m2 t+21-t(t0,且m0),通过解方程即可求出 t;(2) 将问题转化为恒成立问题,从而求出m的取值范围. 解答解答(1) 若m=2,则=22 t+21-t=2 t t 1 2 2 , 当=5时,2 t+ t 1 2 = 5 2,令2t=x1,则x+ 1 x= 5 2, 即2x 2-5x+2=0,解得x=2或x= 1 2(舍去),此时t=1. 所以经过1min,物体的温度为5. (2) 物体的温度总不低于2,即2恒成立, 即m2 t+ t 2 2 2恒成立,则有m2 t2t 11 - 22 恒成立. 令 t 1 2 =x,则00,t0. 又因为点M(s,t)在线段CD:x+2y=20(0x20)上, 所以s+2t=20(0s20), 所以SMGK= 1 2MGMK= 1 200200 -s-t 2ts = 140000 st-400 2st . (4分) 由20=s+2t2 2st ,得0st50,当且仅当s=10,t=5时等号成立. (6分) 令st=u,则f(u)=SMGK= 140000 u-400 2u ,u(0,50.又f(u)= 2 140000 1- 2u 0, 故f(u)在(0,50上单调递减, (注意:若f(u)在(0,50上单调递减未证明扣1分) 所以f(u)min=f(50)=225,此时s=10,t=5. 所以MGK面积的最小值为225 m 2.(10分) (2) 由题意得f(u)320,由 140000 u-400 2u 320,解得u40或u1 000(舍 去),由(1)知st40, (14分) 即(20-2t)t40,解得t5+ 5或t5-5. 所以t的取值范围是(0,5- 55+5,10. (16分) 1. 在如图所示的锐角三角形空地中,欲建一个面积不小于300m 2的内接矩形花园(阴 影部分),则其长x(单位:m)的取值范围是 . (第1题) 答案答案10,30 解析解析易知矩形的宽为h=40-x,则由题意有x(40-x)300,解得x10,30. 2. 某产品的总成本y(单位:万元)与产量x(单位:台)之间的函数关系是 y=3000+20 x-0.1x 2(0x240,xN N* *), 若每台产品的售价为25万元,则生产者不亏本 时(销售收入不小于总成本)的最低产量是 台. 答案答案150 解析解析设利润为f(x),则f(x)=25x-(3 000+20 x-0.1x 2)=0.1x2+5x-3 0000,解得x 150或x-200(舍去). 3. 某不法商人将彩电按原价提高40%,然后在广告中写上“大酬宾,八折优惠”,结果是 每台彩电比原价多赚了270元,那么每台彩电原价是 元. 答案答案2250 解析解析设彩电原价为x元,则(x+40%x)80%-x=270,解得x=2250. 4. 一位设计师在边长为3的正方形ABCD中设计图案,他分别以A,B,C,D为圆心,以 b 3 0b 2 为半径画圆,由正方形内的圆弧与正方形边上线段(圆弧端点在正方形 边上的连线)构成了丰富多彩的图形,则这些图形中实线部分总长度的最小值 为 . (第4题) 答案答案3 解析解析由题意可知,实线部分的总长度l=4(3-2