江苏如皋高三数学上学期教学质量调研三 文

高三数学（文科） 第 1 页 共 6 页 20192020 学年度高三年级第一学期教学质量调研（三） 数学（文科）试题参考答案数学（文科）试题参考答案 一、填空题：一、填空题： 1. 0 x x (或(0)，)； 2. 1； 3. 27； 4. 1 4 ； 5. 20； 6. (2)，； 7. 31； 8. 9 3 4 ； 9. 8 25 ； 10. 22 (2)(2)2xy；11. ( 21)，；12. 4 2 4 3 ；13. 25 16 ；14. 5 2 2 ， 二、解答题：二、解答题： 15.解：(1)因为 2 ( )13cos22sin ()3cos2cos(2 ) 42 f xxxxx sin23cos22sin(2) 3 xxx， -2 分 所以，( )f x的最小正周期 2 2 T . -4 分 由 3 2 22 232 kxkkZ，得 7 1212 kxkkZ，. 所以，( )f x的单调递减区间为 7 () 1212 kkkZ，. -6 分 (2)由题意知，函数( )yf x在区间 4 ，上的图象与直线ym有两个不同的交点 由(1)知，函数( )f x在 7 412 ，上单调递减，在 7 12 ，上单调递增， 所以 min 7 ( )()2 12 f xf ，又 ( )1 4 f，()3f， -10 分 所以，当21m 时，函数( )yf x在区间 4 ，上的图象与直线ym有两个不同的 交点，即方程( )0f xm在区间 4 ，上有两个不同的实数解 所以，实数m的取值范围为( 2 1 ， -14 分 16.(1)证明：因为底面ABCD是矩形，所以/ABCD， 又因为ABPCD平面，CDPCD平面，所以/ABPCD平面，-3 分 又因为ABEF， ，四点共面，且ABEFPCDEF平面平面， 所以/ABEF. -6 分 (2)证明：在矩形ABCD中，CDAD，又PACD，PAADA，PAADPAD，平面， 所以，CD 平面PAD，而AF 平面PAD，所以AFCD.-8 分 由(1)可知，/AB EF，又因为/ABCD，所以/CDEF， 而点E是棱PC中点，所以点F是棱PD中点， -10 分 高三数学（文科） 第 2 页 共 6 页 又PAD中PAAD，所以AFPD， 因为PDCDD，PDCDPCD，平面， 所以，AF 平面PCD -14 分 17. 解： (1)设椭圆C的焦距为2c， 则 222 cab， 由离心率 1 2 c e a 得： 2 2 2 3 1 4 b e a ， 又椭圆C过点 3 (1) 2 ，所以 22 19 1 4ab ， 由、解得： 22 43ab，所以，椭圆C的方程为 22 1 43 xy . -6 分 (2)由(1)知，右焦点F坐标(1 0)，椭圆C的右准线l方程为4x ，点P坐标(4 0)，. 当直线AB的斜率不存在时， 直线OM与线段AB交点D即为右焦点F， 此时点D为 线段AB的中点. -8 分 又由MFAB知，直线AB的斜率不为0，故设直线AB的方程为1xmy， 从而，直线MF的方程为(1)ym x ，令4x 得，M点坐标为(43 )m， 故直线OM的方程为 3 4 m yx . -10 分 联立方程组 22 1 1 43 xmy xy ， ，消去y得： 22 (34)690mymy， 设 1122 ()()A xyB xy，则 2 1 2 2 361 34 mm y m ， ， 即 12 2 6 34 m yy m ， 12 2 9 34 yy m ， 从而，线段AB的中点 22 43 () 3434 m N mm ，. 又线段AB的中点N的坐标满足方程 3 4 m yx ， 所以，直线OM与线段AB交点D为N点，即点D为线段AB的中点. 综上可知，点D为线段AB的中点. -14 分 18.解：(1)设OPx，OQy，(单位：千米) 在OPQ中，由余弦定理得： 222 2cosPQOPOQOP OQPOQ， 因为6PQ ， 2 3 POQ，OPx，OQy， 所以， 222 2 62cos23 3 xyxyxyxyxy， 故12xy ，当且仅当2 3xy时取得等号， -4 分 此时， 123 sin3 3 234 OPQ Sxyxy (平方千米). -6 分 所以，当PQ，两点距离O点都为2 3千米时，OPQ的面积最大，最大面积 为3 3(平方千米). -8 分 高三数学（文科） 第 3 页 共 6 页 (2)由(1)知，要求四边形MPOQ面积的最大值，只需求MPQ面积的最大值. 方法一：在MPQ中，106MPMQPQ，所以点M的轨迹是以PQ，为焦点，长 轴长10的椭圆(夹在两海岸线OAOB，区域内的曲线)， -10 分 以PQ所在直线为x轴，PQ的垂直平分线为y轴建立平面直角坐标系， 设点M所在的椭圆方程为 22 22 1(0) xy ab ab ，焦距为2c， 由5a ，3c 得： 222 16bac， 所以点M所在的椭圆方程为 22 1 2516 xy . -12 分 设 00 (,)M xy，则 000 11 63 22 MPQ SPQ yyy ，因为 0 4y ， 所以 0 312 MPQ Sy (平方千米)，当且仅当5MPMQ(千米)时取得等号.-14 分 所以，四边形MPOQ面积的最大值为123 3(平方千米). -16 分 方法二：在MPQ中，设MPm，MQn(单位：千米)，PMQ，则10mn， 由余弦定理得： 222 2cosPQMPMQMP MQ， 即 22222 62cos()2(1cos )102(1cos )mnmnmnmnmn， 故 2 32 ()25 1cos2 mn mn ，从而 7 cos 25 ， 当且仅当5mn时取得等号. -12 分 所以，MPQ的面积 116sin1cos2 sin16161 21cos1cos1cos Smn ， 令 7 cos 25 t ，则 2 161 1 S t ， 因为 2 161 1 S t 关于t单调递减，所以当 7 cos 25 时，MPQ的面积取得最 大值，最大值为 22 1 65312 2 (平方千米)， -14 分 所以，四边形MPOQ面积的最大值为123 3(平方千米). -16 分 19.解：(1)因为数列 n a的前n项和 n S满足 * 23(1)() nn SanN， 所以当2n 时， 11 23(1) nn Sa ， 两式相减得： 1 233 nnn aaa ，即 1 3 nn aa (2)n ， -2 分 又1n 时， 11 23(1)Sa，解得： 1 30a ， 所以数列 n a是以3为首项，3为公比的等比数列，从而3n n a . -4 分 (2)由(1)知： 11 1 3111 () (1)(1)(31)(31)2 3131 n n n nnnn nn a b aa ，-6 分 所以， 12 12231 1111111 ()()() 2313131313131 nn nn Tbbb 11 1 1111 () 2 23142(31) nn ， -8 分 高三数学（文科） 第 4 页 共 6 页 因为对任意的 * nN， 1 1 0 2(31) n ， 所以， * 1 () 4 n TnN. -10 分 (3)由(1)知： 3 232 n n n n n a c a ， 假设存在互不相等的正整数mst， ，满足条件， 则有 2 2 , (1)(1) (1). smt mts ccc 由 3 32 n n n c 与 2 (1)(1) (1) smt ccc得 2 333 (1)(1) (1) 323232 smt smt ， 即 2 32 32 334 3 m tmtss 因为2mts ，所以332 3 mts -14 分 因为332 32 3 mtm ts ，当且仅当mt时等号成立， 这与mst， ，互不相等矛盾 所以不存在互不相等的正整数mst， ，满足条件 -16 分 或：由332 3 mts 及2mts 得： 2 332 3 m t mt ，即 2 22 (33 )0 mt ， 所以，mt，这与mt矛盾， 所以不存在互不相等的正整数mst， ，满足条件 20.解：(1) 当2a 时， 3 3 3 3 21 , 2 ( )232 3 25,. 2 xxx f xxx xxx 当 3 2 x 时， 2 ( )32fxx，由( )0fx得： 66 33 xx 或，又 3 2 x ， 所以， 663 332 xx 或，即( )yf x在 6 () 3 ，和 6 3 () 32 ，上单调递增； 又 3 2 x 时， 2 ( )320fxx恒成立，故( )yf x在 3 ) 2 ，上单调递增； 综上可知，函数( )yf x的单调递增区间为 6 () 3 ，和 6 () 3 ，.-4 分 (2) 3 3 3 3 1, ( )32 3 5,. xaxx a f xxax xaxx a 当 3 x a 时， 2 ( )3fxxa，因为0a ，所以( )0fx恒成立，即函数( )yf x在 3 ) a ， 上单调递增； 高三数学（文科） 第 5 页 共 6 页 当 3 x a 时， 2 ( )3fxxa，因为0a ，由( )0fx得 3 a x ， 若 3 3 a a ，即03a时，函数( )yf x在() 3 a ，上单调递增，在() 33 aa ，单调 递减，在() 3 a ， 上单调递增. -6 分 因为函数( )yf x只有一个零点，且 2 ()10 333 aaa f ， 所以只要 2 ()10 333 aaa f ，解得 3 3 2 0 2 a. -8 分 若 3 3 a a ，即3a 时，函数( )yf x在() 3 a ，上单调递增，在 3 () 3 a a ，单调递减， 在 3 () a ， 上单调递增. 因为 2 ()10 333 aaa f ， 3 327 ( )20f aa ，所以函数( )yf x有两个零点，不合题 意. 综上可知，实数a的取值范围是 3 3 2 (0) 2 ，. -10 分 (3)当 3 x a 时，设切点为 3 000 (5)xxax，因为切线的斜率 2 00 ()3kfxxa，所以 3 200 0 0 5 3 2 xax xa x ，化简得 32 00 26520 xxa. 令 32 ( )2652g xxxa， 则 2 ( )6126 (2)g xxxx x， 因为01a，所以 3 3 a ，从而函数( )g x在 3 () a ，上单调递增， 又 3 354(1) ( )520 a ga aa ，此时函数( )g x在 3 ) a ，没有零点，即没有符合题意的 切线. -12 分 当 3 x a 时，同理可得： 32 00 26210 xxa .令 32 ( )2621h xxxa， 则 2 ( )6126 (2)h xxxx x， 因为 3 3 a ，所以函数( )h x在(0) ，单调递增，在(02)，单调递减，在 3 (2) a ，单调递增， 因为(0)21ha，(2)27ha， 3 354(1) ( )21 a ha aa ， 又由01a知，(2)270ha， 所以，当 1 0 2 a时，(0)210ha ， 3 354(1) ( )210 a ha aa ，故函数( )h x只有1个 零点，即符合题意的切线只有1条； 当 1 2 a 时，(0)210ha ， 3 354(1) ( )210 a ha aa ，故