江苏数学一轮第十一章第62课抛物线要点导学pdf

要点导学 各个击破 要点导学 各个击破 求抛物线的方程 求抛物线的方程 已知点P 2 2 6 , 33 在抛物线y2=2px上,求该抛物线的方程. 思维引导思维引导将点P的坐标 2 2 6 , 33 代入抛物线方程y2=2px即可. 解答解答因为点P 2 2 6 , 33 在抛物线y2=2px上,所以 8 3=2p 2 3,p=2,所以抛物线 的方程为y 2=4x. 若抛物线y 2=2px(p0)的焦点在直线x-2y-2=0上,则该抛物线的准线方程 为 . 答案答案x=-2 解析解析抛物线的焦点坐标为 ,0 2 p ,代入直线x-2y-2=0,得2 p -2=0,即p=4,所以 抛物线的准线方程为x=-2 p =-2. 直线与抛物线的问题 直线与抛物线的问题 过点M(2,0)的直线l与抛物线C:y 2=4x相交于A,B两点,过点A,B分别作y轴的 垂线交直线l:y=-2x-2于点A,B. (1) 若四边形ABBA是等腰梯形,求直线l的方程; (2) 若A,O,B三点共线,求证:AB与y轴平行. 思维引导思维引导(1) 若四边形ABBA是等腰梯形,直线l的斜率与直线l:y=-2x-2斜 率互为相反数;(2) 通过计算A,B的坐标来证明AB与y轴平行. 解答解答(1) 因为四边形ABBA为等腰梯形, 所以kAB=2, 故直线l的方程为y=2x-4. (2) 设直线AB的方程为x=ty+2,A(x1,y1),B(x2,y2), 则A 1 1 2 -, 2 y y ,B 2 2 2 -, 2 y y , 由 2 2, 4 , xty yx 得y 2-4ty-8=0, 故y1+y2=4t,y1y2=-8. 因为A,O,B三点共线,所以 2 2 2 y ty = 1 1 -2 2 y y , 即2y1+y2=8t+4,又y1+y2=4t,得y2=-4,又y1y2=-8,所以y1=2, 所以A(1,2),B(1,-4), 故直线AB与y轴平行. 【题组强化重点突破】 【题组强化重点突破】 1. (2014辽宁卷)已知点A(-2,3)在抛物线C:y 2=2px的准线上,过点A的直线与抛物 线C在第一象限相切于点B,记抛物线C的焦点为F,则直线BF的斜率为 . 答案答案 4 3 解析 解析由于点A(-2,3)在抛物线C:y 2=2px的准线上,所以- 2 p =-2,p=4,所以y 2=8x.设 直 线 AB 的 方 程 为 x=k(y-3)-2, 与 y 2=8x 联 立 , 得 y2-8ky+24k+16=0 , 由 =64k 2-96k-64=0,得k=2(负值舍去).将k=2代入,得y=8,x=8,故B(8,8),所以 kBF= 8-0 8-2= 4 3. 2. (2014莆田一中模拟)过抛物线y 2=4x的焦点F的直线交抛物线于A,B两点,点O是 坐标原点,若AF=5,则AOB的面积为 . 答案答案 5 2 解析 解析由已知可得p=2.如图,过点A作AA1l,l为准线,垂足为A1,则由抛物线的定义 得AA1=AF,所以xA+2 p =5,xA=4,代入y 2=4x,得y A=4(-4舍去),所以A(4,4).又F(1,0),所 以直线AB的方程为 -0 4-0 y = -1 4-1 x ,即x= 3 4y+1,代入y2=4x,得y2=3y+4,所以yB=-1.所以S AOB= 1 2OF(|yA|+|yB|)= 1 21(4+1)= 5 2. (第2题) 3. (2014河南模拟)过抛物线y 2=4x的焦点F且倾斜角为60的直线l与抛物线在第 一、四象限分别交于A,B两点,则 AF BF = . (第3题) 答案答案3 解析解析如图,过点A,B作准线的垂线,垂足分别为A1,B1,过点B作BCAA1于点C,由垂直 及抛物线的定义可知CAB=60,所以AB=2AC,所以AF+BF=2(AF-BF),所以 AF BF =3. 抛物线与其他曲线的综合 抛物线与其他曲线的综合 已知双曲线 2 2 x a - 2 2 y b =1(a0,b0)的两条渐近线与抛物线y 2=2px(p0)的准 线分别交于A,B两点,O为坐标原点.若双曲线的离心率为2,AOB的面积为 3 ,则 p= . 答案答案2 (例3) 解析解析由e= c a=2,得c=2a,b= 3a,所以双曲线的渐近线为y=3x.又抛物线的 准线方程为x=-2 p ,联立双曲线的渐近线和抛物线的准线方程得点A 3 -, 22 pp ,B （- 2 p ,- 3 2 p ）.在AOB中,AB= 3 p,O到AB的距离为 2 p ,S AOB= 3 ,所以 1 2 3p2 p = 3,解得p=2. 若过点P(1,2)的直线l与抛物线y 2=4x相交于A,B两点,求AB的中点M所在曲线 的方程. 解答解答设A(x1,y1),B(x2,y2)(x1x2),AB中点为M(x,y),则x1+x2=2x,y1+y2=2y.又 2 1 y =4x1, 2 2 y =4x2,所以(y1-y2)(y1+y2)=4(x1-x2).所以kAB= 12 12 - - y y x x = 2 y .又kAB= -2 -1 y x ,x1,于 是由 2 y = -2 -1 y x ,得2x-y 2+2y-2=0. 当x=1时,M为(1,0),满足上式. 故点M所在曲线的方程为2x-y 2+2y-2=0. 已知抛物线C:y 2=4x的顶点为O,过点(-1,0)且斜率为k的直线与抛物线C交于A,B 两点,当实数k变化时: (1) 求证:OA OB 是一个与k无关的常数; (2) 若OM = AO +OB ,求|OM |的最小值. 思维引导思维引导建立直线的方程,将y 2=4x代入直线方程后得到关于y的方程,设 A(x1,y1),B(x2,y2),建立y1与y2的关系,再建立x1与x2的关系,进而求得x1x2+y1y2. 规范答题规范答题(1) 由题意可设直线AB的方程为y=k(x+1), 由 2 (1), 4 , yk x yx 得ky 2-4y+4k=0. 设点A(x1,y1),B(x2,y2), 则y1+y2= 4 k,y1y2=4,x1x2= 2 1 4 y 2 2 4 y =1, 所以OA OB =x1x2+y1y2=5,它为常数. (6分) (2) 设M(x,y),由OM =OA +OB =(x1+x2,y1+y2), 得 2 OM =(x1+x2) 2+(y 1+y2) 2= 2 22 12 4 yy +(y1+y2) 2= 1 16(y1+y2)2-2y1y22+(y1+y2)2= 4 16 k +4, 由于=16-16k 20,得-1k1,且k0, 所以|OM |min=2 5. (14分) 1. (2014福建六校联考)过抛物线y 2=4x的焦点作直线l交抛物线于A,B两点,若线段 AB中点的横坐标为3,则AB= . 答案答案8 解析解析设A(x1,y1),B(x2,y2),因为AB的中点的横坐标为3,即 12 2 xx =3,所以x1+x2=6. 又因为AB=x1+x2+p,p=2,所以AB=2+6=8. 2. 已知P为抛物线C:y 2=4x上一点,若点P到抛物线C准线的距离与到顶点的距离相等, 则点P到x轴的距离为 . 答案答案 2 解析 解析由题意得点P到焦点的距离与到顶点的距离相等,所以xP=4 p = 1 2,所以 |yP|= 2. 3. (2014济南期末)已知定点Q(2,-1),F为抛物线y 2=4x的焦点,动点P为抛物线上任 意一点,当PQ+PF取最小值时点P的坐标为 . 答案答案 1 ,-1 4 解析 解析设点P在准线上的射影为点D,则根据抛物线的定义可知PF=PD,要使PQ+PF取 得最小值,则需D,P,Q三点共线,将Q(2,-1)的纵坐标代入y 2=4x,得x= 1 4,故点P的坐标 为 1 ,-1 4 . 4. (2014湖南卷)如图,正方形ABCD和正方形DEFG的边长分别为a,b(a0)经过C,F两点,则 b a= . (第4题) 答案答案 2+1