江苏数学一轮第二章第15课函数的综合应用要点导学pdf

要点导学 各个击破 要点导学 各个击破 函数的性质问题 函数的性质问题 (2014江西模拟)已知函数f(x)= x 2 1 -,ax0, 2 -x2x,0 x4 的值域是-8,1,求实 数a的取值范围. 解答解答当0x4时,f(x)-8,1; 当ax0时,f(x) a 1 -,-1 2 ,所以 a 1 -,-1 2 -8,1,即-8- a 1 2 0f(|x-1|)f(2),又因为f(x) 在0,+)上单调递减,所以|x-1|2,解得-1x0,cR R.当且仅当x=-2时,函数f(x)取 得最小值-2. (1) 求函数f(x)的表达式; (2) 若方程f(x)=x+a(aR R)至少有两个不相等的实数根,求a的取值范围. 解答解答(1) 因为当且仅当x=-2时,函数f(x)取得最小值-2,二次函数y=x 2+bx+c 的对称轴x=- b 20), 方程:x 2+4x+2=x+a(x0). 分别研究方程和方程的根的情况(如图所示): () 方程有且仅有一个实数根a2,方程没有实数根a2. () 方程有且仅有两个不相等的实数根,即方程x 2+3x+2-a=0有两个不相等的 非正实数根, 所以 9-4(2-a)0, 2-a0, 解得- 1 4a2; (例2) 方程有且仅有一个实数根,即方程x 2+3x+2-a=0有且仅有一个非正实数根,所 以2-a2或a=- 1 4. 综上可知,当方程f(x)=x+a(aR R)有三个不相等的实数根时,- 1 4a2; 当方程f(x)=x+a(aR R)有且仅有两个不相等的实数根时,a=- 1 4或a=2. 故实数a的取值范围是 1 -,2 4 . 函数的综合问题 函数的综合问题 已知函数f(x)= x 1 3 ,函数g(x)=log3x. (1) 若g(mx 2+2x+m)的值域为R R,求实数m的取值范围. (2) 当x-1,1时,求函数y=f(x) 2-2af(x)+3的最小值h(a). (3) 是否存在实数m,n(mn),使得函数y=2x+log3f(x 2)的定义域为m,n,值域为 4m,4n?若存在,求出m,n的值;若不存在,则说明理由. 思维引导思维引导(1) 值域为R R,即真数可以取到大于0的一切值,结合图象可以求 解;(2) 令t= x 1 3 ,然后转化为关于t的二次函数,注意t的取值,然后求最值;(3) 利 用单调性建立关于m,n的方程,然后进行求解. 解答解答(1) 因为g(x)=log3x, 所以y=g(mx 2+2x+m)=log 3(mx 2+2x+m). 令u=mx 2+2x+m,则y=log 3u. 当m=0时,u=2x,y=log32x的值域为R R; 当m0时,因为y=log3u的值域为R R, 所以 2 m0, 4-4m0, 解得01,x(t,a)时,函数f(x)的值域是(1,+),求a与t的值. 规范解答规范解答(1) 因为函数f(x)=loga 1-mx x-1(a0,且a1)的图象关于原点对称,所 以f(-x)+f(x)=0, 即loga 1mx -x-1 +loga 1-mx x-1=loga (1-mx)(1mx) (-x-1)(x-1) =0,所以 (1-mx)(1mx) (-x-1)(x-1) =1,得m=1或 m=-1. (2分) 当m=1时, 1-mx x-1 =-10,解得x1. 所以符合条件的m的值为-1. (4分) (2) 由(1)得f(x)=loga x1 x-1 ,任取1x1x2, f(x2)-f(x1)=loga 2 2 x1 x -1 -loga 1 1 x1 x -1 =loga 21 21 (x1)(x -1) (x -1)(x1) . (6分) 因为1x1x2, 所以(x2+1)(x1-1)-(x2-1)(x1+1)=2(x1-x2)0, 所以0 21 21 (x1)(x -1) (x -1)(x1) 1. (8分) 所以当00,此时f(x)为单调增函数; 当a1时,loga 21 21 (x1)(x -1) (x -1)(x1) 0,即f(x2)-f(x1)1时,f(x)在(1,+)上为单调减函数.同理,f(x)在(-,-1) 上也为单调减函数. 当(t,a)(-,-1)时,f(a)f(x)f(t)0,与已知矛盾,舍去.(12分) 当(t,a)(1,+)时,因为函数f(x)的值域为(1,+), 所以f(a)=1且 t1 t-1 =0,解得t=-1,a=1+ 2. (14分) 1. 下列函数中,既是奇函数又是增函数的为 .(填序号) y=x+1; y=-x 2; y= 1 x; y=x|x|. 答案答案 2. 若x为实数,x表示不超过x的最大整数,则下面关于定义域在R R上的函数 f(x)=x-x的说法正确的是 . (填序号) 奇函数; 偶函数; 单调增函数; 周期函数. 答案答案 3. (2014四川卷)设f(x)是定义在R R上的周期为2的函数,当x-1,1) 时,f(x)= 2 -4x2,-1x0, x,0 x1, 则f 3 2 = . 答案答案1 解析解析f 3 2 =f 1 - 2 =-4 1 4+2=1. 4. (2014厦门模拟)设f(x)是周期为4的奇函数,当0x2时,f