河南南阳第一中学高二数学下学期开学考试理PDF

高二理数试卷 第 1 页，总 8 页 南阳一中南阳一中 2017 春期高二开学考试春期高二开学考试 数学试题（理）数学试题（理） 一、选择题：本大题共 10 小题，每小题 4 分，共 40 分. 1用反证法证明命题“若0abc ，0abc，则, ,a b c三个实数中最多有一个小于零” 的反设内容为（ ） A, ,a b c三个实数中最多有一个不大于零 B, ,a b c三个实数中最多有两个小于零 C, ,a b c三个实数中至少有两个小于零 D, ,a b c三个实数中至少有一个不大于零 2函数)(xf的图像如图所示，下列数值排序正确的是（ ） A.)2() 3() 3()2(0ffff B.)2()2() 3() 3(0ffff C.)2() 3()2() 3(0ffff D.) 3()2()2() 3(0ffff 3在曲线 2 yx上的切线的倾斜角是 4 的点为（ ） A(0,0) B.(2,4) C. 11 ( ,) 4 16 D. 1 1 ( , ) 2 4 4如图第 n 个图形是由正边形“扩展”而来,（，）,则第 n 个图形中 共有（）个顶点。 A （n+1） （n+2）B （n+2） （n+3）C 2 nDn 高二理数试卷 第 2 页，总 8 页 5过抛物线 y24x 的焦点作直线交抛物线于 A（x1，y1） ，B（x2，y2）两点，如果 x1x2 6，那么|AB|等于（ ） A8 B10 C6 D4 6如图所示，椭圆中心在坐标原点，F 为左焦点，当 FB AB时，其离心率为 51 2 ，此 类椭圆被称为“黄金椭圆”，类比“黄金椭圆”，可推算出“黄金双曲线”的离心率 e 等于( ) A. 51 2 B. 51 2 C. 51D. 51 7已知双曲线 22 22 1 xy ab （a0,b0）的两条渐近线均和圆 C：x2+y2-6x+5=0 相切，且双曲 线的右焦点为圆 C 的圆心，则该双曲线的方程为( ) A 22 1 54 xy B 22 1 45 xy C 22 1 xy 36 D 22 1 xy 63 8在ABC中，cba,为CBA,的对边，且1)cos(cos2cosCABB，则 （ ） Acba,成等差数列 Bbca,成等差数列 Cbca,成等比数列 Dcba,成等比数列 9 已知椭圆)20( 1cossin 22 yx的焦点在 y 轴上， 则的取值范围是 （ ） A 3 4 （， ） B. 13 44 （， ） C. 1 2 （， ） D. 13 24 （， ） 10抛物线 C1：y= 1 2p x2(p0)的焦点与双曲线 C2： 2 2 1 3 x y的右焦点的连线交 C1于第 一象限的点 M.若 C1在点 M 处的切线平行于 C2的一条渐近线，则 p=（ ） A. 3 16 B. 3 8 C. 2 3 3 D. 4 3 3 二、填空题：本大题共 4 小题，每小题 4 分，共 16 分. 11.已知函数的导函数为，若，则 . f x fx 2 1lnf xfxx 1f 高二理数试卷 第 3 页，总 8 页 12.现有一个关于平面图形的命题：如图，同一个平面内有 两个边长都是a的正方形，其中一个的某顶点在另一个的中心， 则这两个正方形重叠部分的面积恒为 2 4 a 类比到空间，有两个 棱长均为a的正方体，其中一个的某顶点在另一个的中心，则 这两个正方体重叠部分的体积恒为 13.已知数列2n 1 a n的前 n 项和 Sn96n，则数列an的 通项公式是_ 14.曲线 C 是平面内与两个定点 1( 1,0) F 和 2(1,0) F的距离的积等于常数 2( 1)a a 的点 的轨迹.给出下列三个结论： 曲线 C 过坐标原点； 曲线 C 关于坐标原点对称； 若点 P 在曲线 C 上，则 12 FPF的面积不大于 2 1 2 a. 其中所有正确的结论的序号是 . 三、解答题：本大题共 4 小题，共 44 分.解答应写出必要的文字说明或推理、验算过程. 15.（本小题满分 10 分）已知函数 2 6 ( ) ax f x xb 的图像在点 M（-1，( 1)f ）处的切线 方程为250 xy，求函数( )yf x解析式。 16 （本小题满分 10 分）用数学归纳法证明等式： nnnnn2 1 . 2 1 1 1 2 1 12 1 . 4 1 3 1 2 1 1 高二理数试卷 第 4 页，总 8 页 17.（本题满分 12 分）在圆上任取一动点 P，过 P 作轴的垂线 PD，D 为垂 足，MDPD3动点 M 的轨迹为曲线 C. （1）求 C 的方程及其离心率； （2） 若直线 交曲线 C 交于 A,B 两点， 且坐标原点到直线 的距离为， 求面 积的最大值. 18.（本小题满分 12 分）已知椭圆 C：（）的焦距为 4，其短轴的 两个端点与长轴的一个端点构成正三角形 （1）求椭圆 C 的标准方程； （2） 设 F 为椭圆 C 的左焦点， T 为直线上任意一点， 过 F 作 TF 的垂线交椭圆 C 于点 P，Q 证明：OT 平分线段 PQ（其中 O 为坐标原点） ； 当最小时，求点 T 的坐标. 22 3xyx ll 3 2 AOB 22 22 1 xy ab 0ab 3x | | TF PQ 高二理数试卷 第 5 页，总 8 页 南阳一中南阳一中 2017 年春期高二年春期高二开学考试开学考试 数学（理）数学（理） （参考答案）（参考答案） 1.C 2.B 解：设 x=2,x=3 时曲线上的点为 A、B,点 A 处的切线为 AT 点 B 处的切线为 BQ， (3)(2)ffQ AB k ff 23 )2() 3( y (3), BQ fkQ,)2( AT kf 如图所示，切线 BQ 的倾斜角小于 直线 AB 的倾斜角小于切线 AT 的倾斜角 BQ k AB k AT k 3.D 4.B 解 : 设 第 n 个 图 中 有 n a个 顶 点 ， 则333 1 a，444 2 a， ).3)(2()2)(2(2nnnnnan 5.A 6.A 解析：根据“黄金椭圆”的性质是 FB AB，可以得到“黄金双曲线”也满足这个性 质，设“黄金双曲线”方程为x 2 a2 y2 b21，则 B(0，b)，F(c,0)，A(a,0)， 在“黄金双曲线”中，FB AB，FB AB0，又 FB(c，b)，AB(a，b)， b2ac，而 b2c2a2，c2a2ac，在等号两边同除以 a2得 e 51 2 ， 7.A 8.D 9.D 10.D 经过第一象限的双曲线 的渐近线为 3 3 yx.抛物线的焦点为 (0,) 2 p F,双曲线的右焦点为 2(2,0) F. 1 yx p ，所以在 2 0 0 (,) 2 x M x p 处的切线斜率为 3 3 ， 即 0 13 3 x p ，所 以 0 3 3 xp，即三点(0,) 2 p F， 2(2,0) F， 3 (,) 36 p Mp共线，所以 0 622 023 3 ppp p ，即 4 3 3 p . 二、填空题 高二理数试卷 第 6 页，总 8 页 11. -1 12. 8 3 a 13. 2, 2 3 1, 3 2 n n a n n 14.设 P(x,y)为曲线 C 上任意一点，则由 2 12 | |PFPFa，得 C: 22222 (1)(1)xyxya ，把（0，0）代入方程可得 2 1a，与1a 矛盾，故 不正确； 当 M(x,y)在曲线 C 上时，点 M 关于原点的对称点(,)Mxy，也满足方程，故曲线 C 关于 原点对称，故正确； 12 22 12121 111 |sinsin 222 F PF SPFPFFPFaFPFa ，故 正确. 【答案】 15、解：由函数( )yf x的图像在点 M（-1，( 1)f ）处的切线方程为250 xy 知1 2 ( 1)5f =0，即( 1)2f ，由切点为 M 点得 1 ( 1) 2 f 2 22 ()2 (6) ( ) () a xbx ax fx xb ， 2 6 2 1 (1)2(6)1 (1)2 a b aba b 解得2,3ab或6,1ab（由10b 舍去1b ）所以， 2 26 ( ) 3 x f x x 16、 （1）当 n=1 时，左= 2 1 2 1 1=右，等式成立 （2）假设当 n=k 时等式成立，即 kkkkk2 1 2 1 1 1 2 1 12 1 4 1 3 1 2 1 1 则) 22 1 12 1 ( 2 1 12 1 4 1 3 1 2 1 1 kkkk ) 22 1 12 1 ( 2 1 2 1 1 1 kkkkk 高二理数试卷 第 7 页，总 8 页 22 1 12 1 2 1 2 1 kkkk 当 n=k+1 时，等式也成立 综合（1） （2） ，等式对所有正整数都成立。 17.（）设，由得 .2分 因为 ，所以，即 其离心率 .4分 （）当 AB 垂直 x 轴时，.当 AB 不垂直 x 轴时，设直线 AB 的方程为 由题意得 ，即 .6 分 联立 得 设，由求根公式得： .8 分 所以 当时，； 当时，.10 分 当且仅当即时，取等号，此时满足. 综上所述，此时的最大值为 .12 分 高二理数试卷 第 8 页，总 8 页 18.（1）依条件，所以椭圆 C 的标准方程为 （2）设，又设中点为， 因为，所以直线的方程为：， ， 所以， 于是， 所以因为， 所以，三点共线， 即 OT 平分线段 PQ（其中 O 为坐标原点） ， 所以，令（） ， 则（当且仅当时取“” ） ， 所以当最小时，即或，此时点 T 的坐标为或. 2 2 222 2 6 3 2 4 c a ab b abc 22 1 62 xy ( 3,)Tm 11 ( ,)P x y 22 (,)Q xyPQ 00 (,)N xy ( 2,0)F PQ2xmy 22 22 2 (3)420 1 62 xmy mymy xy 222 12 2 12 2 168(3)24(1)0 4 3 2 3 mmm m yy m y y m 12 0 2 2 23 yym y m 2 00 22