同步测控优化训练高三数学第三章单元检测B卷

高三数学同步检测(十二)第三章单元检测(B)说明:本试卷分为第、卷两部分，请将第卷选择题的答案填入题后括号内，第卷可在各题后直接作答.共100分，考试时间90分钟.第卷(选择题共40分)一、选择题(本大题共10小题，每小题4分，共40分)1.已知y=sin2x+sinx+3,那么y是（ ）A.仅有最小值的奇函数B.既有最大值又有最小值的偶函数C.仅有最大值的偶函数D.非奇非偶函数分析 本题主要考查导函数的性质.解 y=(sin2x)+(sinx)=(cos2x)(2x)+cosx=cos2x+cosx.不妨设f(x)=cos2x+cosx，f(-x)=cos(-2x)+cos(-x)=cos2x+cosx=f(x),y为偶函数.又由于y=2cos2x-1+cosx=2cos2x+cosx-1,令t=cosx(-1t1),y=2t2+t-1=2(t+)2-.ymax=2,ymin=-.故选B.答案 B2.函数y=ax3-x在（-,+)上是减函数，则（ ）A.a= B.a=1 C.a=2 D.a1,则y0与条件不符.同样可判断a=1,a=2时也不符合题意.当a0时，y=3ax2-1恒小于0，则原函数在（-,+)上是减函数.故选D答案 D3.已知f(x)=x3的切线的斜率等于1,则这样的切线有( )A.1条 B.2条C.多于2条 D.不能确定分析 本题主要考查导数的几何意义的应用.切线的条数是由切点的个数确定的.解 f(x)=3x2,由f(x)=3x2=1,得x=.所以符合条件的切线有2条.答案 B4.已知曲线y1=x2,y2=x3,y3=2sinx,这三条曲线与x=1的交点分别为A、B、C,又设k1、k2、k3分别为经过A、B、C且分别与这三条曲线相切的直线的斜率,则( )A.k1k2k3 B.k3k2k1C.k1k3k2 D.k3k1k2分析 本题主要考查导数的几何意义及导数的运算法则.解 y1=2x,y2=3x2,y3=2cosx,y1|x=1=2,y2|x=1=3,y3|x=1=2cos1.k3k10.解得m6.实数m的取值范围是(-,-3)(6,+).答案 B8.若函数f(x)的定义域为(0,+),且f(x)0,f(x)0,那么函数y=xf(x)( )A.存在极大值 B.存在极小值C.是增函数 D.是减函数分析 本题考查导数的应用.解 y=xf(x),y=(x)f(x)+xf(x)=f(x)+xf(x).又x0,f(x)0,f(x)0,y=f(x)+xf(x)0,即函数y=xf(x)在(0,+)上是增函数.答案 C9.点P是曲线y=x2-lnx上任意一点,则点P到直线y=x-2的最小距离为( )A.1 B. C. D.3分析 本题考查导数的几何意义及点到直线的距离公式.解 y=x2-lnx,y=2x-.令2x-=1,得x=1或x=-(舍去).当x=1时,y=x2-lnx=1.此时点P(1,1)是到直线x-y-2=0距离最小的点.d=答案 B10.已知抛物线y2=2px(p0)与一个定点M(p,p),则抛物线上与M点的距离最小的点为（ ）A.(0,0) B.(,p)C.(,p) D.(,p)分析 本题考查利用函数的导数求解函数的最值.首先建立关于距离的目标函数关系式,然后合理地选取变量,通过求导数的方法求与最值有关的问题.本题也可以用解析几何中数形结合法求解.解 设抛物线上的任意点(x,y)到点M的距离为d,则有d2=(p-x)2+(p-y)2=(p-)2+(p-y)2.所以(d2)=2(p-)(-)+2(p-y)(-1)=-2p.令(d2)y=0,即-2p=0,解得y=.这是函数在定义域内的唯一极值点,所以必是最值点.代入抛物线方程得x=.所以点(,p)为所求的点.答案 D第卷(非选择题共60分)二、填空题(本大题共4小题，每小题4分，共16分.把答案填在题中横线上)11.曲线y=x3+3x2+6x-10的切线中,斜率最小的切线方程是 .分析 本题考查常见函数的导数及导数的几何意义.解 y=x3+3x2+6x-10,y=3x2+6x+6=3(x+1)2+3.(y)min=3.此时,x=-1,y=(-1)3+3(-1)2+6(-1)-10=-14.斜率最小的切线方程是y+14=3(x+1),即3x-y-11=0.答案 3x-y-11=012.函数y=sin2x的单调递减区间是 .分析 本题考查导数在三角问题上的应用解法一 y=2sinxcosx=sin2x.令y0,即sin2x0，2k-2x2k,kZ.k-xk,kZ.函数y=sin2x的单调递减区间是(k-,k),kZ.解法二 y=sin2x=-cos2x+,函数的减区间即cos2x的增区间，由2k-2x2k,kZ,得k-xk,kZ.函数y=sin2x的单调递减区间是（k-,k),kZ.答案 (k-,k),kZ13.点P在曲线y=x3-x+上移动,设过点P的切线的倾斜角为,则的取值范围是 .分析 本题主要考查导数的几何意义,以及直线的倾斜角与斜率之间的关系.解 y=3x2-1,即tan=3x2-1,tan-1,+).0,),).答案 0,),)14.若函数f(x)=loga(x3-ax)(0a1)在区间(-,0)内单调递增,则a的取值范围是 .分析 本题考查复合函数的导数及单调性.解 令u=x3-ax,u=3x2-a.0a1,若f(x)在(-,0)内单调递增,必须u0,即3x2-a3x2,a.综上, a1.答案 a0), 2分L=2-.令L=2-=0,得x=16或x=-16. 4分x0,x=16. 5分L在(0,+)上只有一个极值点,它必是最小值点.x=16,=32. 7分故当堆料场的宽为16 m，长为32 m时，可使砌墙所用的材料最省.8分注 本题也可利用均值不等式求解.17.(本小题满分8分)某工厂生产某种产品,已知该产品的月生产量x(t)与每吨产品的价格p(元/t)之间的关系式为p=24 200-,且生产x t的成本为R=50 000+200x(元).问该产品每月生产多少吨才能使利润达到最大?最大利润是多少?(利润=收入-成本)分析 本题主要考查利用导数求函数的最值.根据题意,列出函数关系式,求导求解.解 每月生产x吨时的利润为f(x)=(24 200-)x-(50 000+200x)=-+24 000x-50 000(x0). 4分由f(x)=-x2+24 000=0,解得x1=200,x2=-200(舍去). 6分f(x)在0,+)内只有一个点x1=200使f(x)=0,它就是最大值点,f(x)的最大值为f(200)=3 150 000(元).每月生产200 t才能使利润达到最大,最大利润是315万元. 8分18.(本小题满分10分)已知曲线C1：y=x2与C2:y=-(x-2)2,若直线l与C1、C2都相切,求l的方程.分析 本题主要考查导数几何意义的应用.要求具有某种性质的切线,只需求出对应的x0即可,一般要求出x0所需满足的方程或方程组,解之即可.解 设直线l与C1相切于点(x1,x12),y=x2,y=2x.=2x1. 2分l：y-x12=2x1(x-x1),即y=2x1x-x12. 3分设直线l与C2相切于点(x2,-(x2-2)2),y=-(x-2)2,y=-2(x-2).=-2(x2-2). 5分l：y+(x2-2)2=-2(x2-2)(x-x2),即y=-2(x2-2)x+x22-4. 6分比较l的两个方程,应有将x1=2-x2代入第二个方程,得-(2-x2)2=x22-4,解得x2=0或x2=2,于是x1=2或x1=0. 8分当x1=2,x2=0时,直线l经过两点(2,4)、(0,-4),直线l的方程为y=4x-4;当x1=0,x2=2时,直线l经过(0,0)、(2,0)两点.直线l的方程为y=0. 10分19.(本小题满分10分)已知A、B两地的距离是130 km.按交通法规规定,A、B两地之间的公路车速应限制在50100 km/h.假设汽油的价格是4元/升,以x km/h速度行驶时,汽车的耗油率为(3+) L/h,司机每小时的工资是14元.那么最经济的车速是多少?如果不考虑其他费用,这次行车的总费用在什么范围内?分析