河南洛宁第一高级中学高三上学期期试数学理

书书书 洛阳市 学年高中三年级期中考试 数学试卷（ 理科） 参考答案 一、 选择题 二、 填空题 槡 三、 解答题 解： （）由条件知犪狀 ， 犪狀犪狀 犪狀犪狀 可得 犪狀 犪狀 ， 数列 犪狀为公差为的等差数列， 分 犪狀 犪 （狀）狀， 故犪 狀 狀 分 （ ）犫狀犛狀犛狀 狀 狀 狀， 犫狀 犛狀 犛狀 狀 狀 狀 狀 ， 犫狀 犫狀 狀 狀 狀 （ 狀） （狀） ， 所以 犫狀为递增数列 分 犫为最小的项，犫 分 解： （）由题意知： 犜 ， 犽 犜 烅 烄 烆 ， 犽 烅 烄 烆 ， 犽 烅 烄 烆 又， 犽犣， 所以 分 狓 为对称轴， 犽 ， 所以 犽 ， 又因为（ ， ） ， 分 高三数学理科答案 第页 （ 共页） （ ） （ ）狔 （狓 ） ， 狓， 狓 分 列表 狓 狓 狔 分 描点连线 分 解： （）由 犃槡 犅 犅得： 犃 犅槡 犅 （ 犅） ， 分 又犃， 犅为锐角， 所以犃 ， 犅 所以犃 犅，犃犅 ， 得犆 分 （ ）设犃 犆 犇， 延长犆 犇到犈， 使犆 犇犇 犈， 则犃 犈 犅 犆为平行四边形， 在 犃 犆 犈中，犃 犆犫，犃 犈犅 犆犪，犆 犈，犆 犃 犈 ，犃 犈 犆 ， 由正弦定理得 犫 （ ） 犪 ， 所以犪 ，犫 （ ） ， 分 高三数学理科答案 第页 （ 共页） （ ） 犃 犅 犆的面积 犛 犪 犫 犃 犅 犆 （ ） （ ） 槡 槡 槡 （ ） 槡， 分 当 时，犃 犅 犆的面积取最大值， 最大值为槡 分 （ 也可以用余弦定理及基本不等式） 解：（） 犳 （ 狓）（狓 ） 犲 狓 当狓 时， 犳 （ 狓） ； 当狓 时， 犳 （ 狓） 所以犳（ 狓）在（ ，）上单调递减，在（， ）上单调递增 狓为极小值点，犳极小（狓） 犲 ， 犳（狓）无极大值 分 （ ）令犵（狓）犽犳（狓）（ 狓 狓）犽 狓犲 狓 狓 狓只需犵（狓） ， 犵 （ 狓）犽（狓）犲 狓 狓（狓） （犽 犲 狓 ）分 若犽 ，狓 时， 犵 （ 狓） ， 犵（狓） 在（，） 上单调递减，犵（狓）犵（），犵（狓） 不恒成立 分 若犽 ， 犵 （ 狓）， 得狓 犽，狓， 犽， 即犽犲时， 狓 时， 犵 （ 狓），犵（狓） 在（，） 上单调递增， 狓 时， 犵（狓）犵（），犵（狓） 不恒成立分 犽， 即犽犲时， 狓狓时， 犵 （ 狓），狓狓时， 犵 （ 狓）， 犵（狓） 在（，狓） 上单调递减，在（狓，） 上单调递增，犵（狓） 为犵（狓） 的最小值， 犵（狓）犽 狓犲 狓 狓 狓 犽 狓犲 犽 狓 狓 狓 狓 狓 狓 所以狓 ， 故犽 综上所述， 犽值的集合为 分 解： （）在犃 犅 犆中，犇为犃 犅中点，犗为犈 犉中点， 由犃 犆犅 犆槡，犃 犅， 犈 犉为中位线， 得犆 犗犗 犇，犆 犗犈 犉， 分 犗 犇犃 犅，犃 犇，犃 犗槡， 在四棱锥犘犃 犅 犉 犈中， 又犃 犘槡 ， 所以犃 犘犃 犗 犗 犘 ， 又犗 犃犈 犉犗， 所以犗 犘面犃 犅 犈 犉，分 高三数学理科答案 第页 （ 共页） （ ） 即犗 犃犗 犘， 犗 犘面犘 犈 犉， 所以面犘 犈 犉面犃 犅 犉 犈 分 （ ）由（）知犗 犇，犗 犉，犗 犘两两垂直， 如图建立空间坐标系，犃（，） ， 犅（，） ，犈（， ， ） ，犘（，） ， 犈 犃（， ， ） ， 犘 犃（，） ， 分 设犿 （狓，狔，狕）为面犃 犈 犘的一个法向量， 则 犈 犃犿 ， 犘 犃犿 ， 所以 狓 狔， 狓狔狕 烅 烄 烆 ， 取狓， 狔，狕， 犿 （，） 分 设狀 （狓 ， 狔 ， 狕 ） 为平面犃 犅 犘的一个法向量， 同理可得， 狀 （，） ， 分 由于犿 狀 ， 所以二面角犅犃 犘犈为 分 解： （）函数犳（狓） 狓犽 狓 有两个零点， 即函数犵（ 狓）狓 狓的图像与直线狔犽 有两个交点分 犵 （ 狓） 狓 犵 （ 狓） 狓狓 犲 ； 犵 （ 狓） 狓狓 犲 所以犵（ 狓） 在（， 犲） 上单调递减，在（ 犲 ，） 上 单调递增， 狓 犲 为极小值点， 犵（ 犲） 犲 ， 又狓时， 犵（狓） ； 狓 ，犵（狓） ，犵（）， 犵（狓）的大致图像如图， 由图像可知： 犲 犽 分 （ ）不妨设狓狓， 由（）知 狓 犲 狓 ， 令犺（ 狓）犵（狓）犵（ 犲 狓）狓 狓（ 犲 狓） （ 犲 狓） ， 分 犺（狓） 狓 （ 犲 狓） （犲 狓） 当狓 犲 时， 犺（狓），犺（狓）在（， 犲）上递减， 犺（ 犲） ， 所以犺（ 狓）， 即