河南高三数学尖子生诊断性检测理PDF

第 1 页 共 4 页 第 2 页 共 4 页 理科数学试卷理科数学试卷 本试卷共本试卷共 150 分，考试时间分，考试时间 120 分钟。分钟。 一、选择题：本大题共一、选择题：本大题共 12 小题，每小题小题，每小题 5 分，共分，共 60 分在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的分在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的 1 已知集合U =1,1,3,5,7,9,A=1,5,B =1,5,7，则CU(AB) = A3,9 B1,5,7C1,1,3,9D1,1,3,7,9 2已知空间三条直线l,m,n，若l与m垂直，l与n垂直，则 Am与n异面Bm与n相交 Cm与n平行Dm与n平行、相交、异面均有可能 3复数z满足z 1 = z +3，则z A恒等于 1 B最大值为 1，无最小值 C最小值为 1，无最大值 D无最大值，也无最小值 4某几何体的三视图如图所示（单位：cm），则该几何体的表面积（单位：cm2）是 A16 B32 C44 D64 5已知x+ y 0，则“2|x|+ x2 2|y|+ y2”是“x 0”的 A 充分不必要条件 B 必要不充分条件 C 充分必要条件 D 既不充分也不必要条件 6函数lncos(2 ) yx 2 x =的图像可能是 A B C D 7已知两个不相等的非零向量b , a，满足1=a，且a与ab的夹角为 60，则b的取值范围是 A 2 3 0，B 1 , 2 3 C +, 2 3 D()+，1 8已知随机变量的分布列为： x y P y x 则下列说法正确的是 A存在 x，y()1 , 0， 1 ( ) 2 EB对任意 x，y()1 , 0， 1 ( ) 4 E C对任意 x，y()1 , 0，( )( )DE D存在 x，y()1 , 0， 1 ( ) 4 D 9设函数( )dcxbxaxxf+= 23 (), , ,0a b c daR 且，若( )( )( )14433220=fff，则 ( )( )51ff+的取值范围是 A()10， B()21，C()3 , 2D()4 , 3 10已知 21,F F分别为双曲线()001 2 2 2 2 =,ba b y a x 的左、右焦点，若在双曲线右支上存在点 P，使得点 2 F到直线 1 PF的距离为a，则该双曲线的离心率的取值范围是 A 2 5 1， B +， 2 5 C()51，D()+，5 11 如图， 在菱形 ABCD 中，60ABC=， E， F 分别是边 AB， CD 的中点， 现将ABC 沿着对角线 AC 翻折，则直线EF与平面 ACD 所成角的正切值最大值为 A2B 3 21 C 3 3 D 2 2 （第 11 题图） 第 3 页 共 4 页 第 4 页 共 4 页 12已知数列 n a满足1 1= a，1 1 ln 1 += + n nn a aa，记 nn aaaS+= 21 ， t表示不超过t的 最大整数，则 2019 S的值为 A2019 B2018 C4038 D4037 二、填空题：本大题共二、填空题：本大题共 4 小题，每小题小题，每小题 5 分，共分，共 20 分分 13在2 , 2上随机地取一个实数k，则事件“直线kxy =与圆()95 2 2 =+yx相交”发生的概率 为 14如图，在ABC中，ACAB ，32=BC，= 60A，ABC的面积 等于32，则角平分线AD的长等于 15已知数列 n a满足naa nn 215 1 =+ + ，其前n项和为 n S，若 n S 8 S恒 成立，则 1 a的取值范围为 16已知 P 为椭圆 C： 22 +1 43 xy =上一个动点， 1 F、 2 F是椭圆 C 的左、右焦点，O 为坐标原点，O 到椭圆 C 在 P 点处的切线距离为 d，若 12 24 7 PFPF=，则d = 三、解答题：共三、解答题：共 70 分解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤第分解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤第 1721 题为必考题，每个试题考生都必须作 答第 题为必考题，每个试题考生都必须作 答第 22、23 题为选考题，考生根据要求作答题为选考题，考生根据要求作答 （一）必考题：（一）必考题：60 分分 17（12 分）已知函数xxxfcos3sin)(= （1）求函数( )f x的单调递增区间； （2） 在ABC中， 角, ,A B C所对的边分别是a,b,c， 若( )3f B =，3b= ， 求ABC 面积的最大值 18 （12 分）如图，已知四棱锥 PABCD 中，底面 ABCD 是直角梯形，AD/BC，BC=2AD， ADCD，PD平面 ABCD，E 为 PB 的中点 （1）求证：AE/平面 PDC； （2）若 BC=CD=PD，求直线 AC 与平面 PBC 所成角的余弦值 19(12 分) 已知甲盒内有大小相同的 2 个红球和 3 个黑球，乙盒内有大小相同的 3 个红球和 3 个黑球，现从甲，乙 两个盒内各任取 2 个球 （1）求取出的 4 个球中恰有 1 个红球的概率； （2）设为取出的 4 个球中红球的个数，求的分布列和数学期望 20(12 分)如图，斜率为k的直线l与抛物线 2 4yx=交于A、B两点，直线PM垂 直平分弦AB，且分别交AB、x轴于M、P，已知()4,0P （1）求M点的横坐标； （2）求PAB面积的最大值 21（12 分）已知函数 x axx xf = ln )(，Ra （1）若函数)(xf有且只有两个零点，求实数a的取值范围； （2）设函数)(xf的两个零点为 21,x x，且 21 xx ，求证exx2 21 + （二）选考题：共（二）选考题：共 10 分请考生在第分请考生在第 22,23 题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题计分作答时请写清 题号 题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题计分作答时请写清 题号 22选修选修 44：坐标系与参数方程：坐标系与参数方程（10 分）分） 在平面直角坐标系xOy中，曲线 C 的参数方程为 4cos 2sin x y = = （为参数），在以坐标原点 O 为极点，x 轴的 正半轴为极轴的极坐标系中，点 P 的极坐标为4, 3 ，直线l的极坐标方程为2 sin9 6 = （1）求直线 l 的直角坐标方程与曲线 C 的普通方程； （2）若 Q 是曲线 C 上的动点，M 为线段 PQ 的中点，直线l上有两点 A,B，始终满足AB 4= ，求MAB面积 的最大值与最小值 23选修选修 45：不等式选讲：不等式选讲（10 分分） 已知cba,为正实数，且满足3=+cba证明： （1）3+acbcab；（2）3 222 + a c c b b a （第 14 题图） l 第1页 共 7 页 理科数学答案理科数学答案 一一 选择题：本大题共选择题：本大题共 12 小题，每小题小题，每小题 5 分，共分，共 60 分在每小题给出的四个选项中，只 有一项是符合题目要求的 分在每小题给出的四个选项中，只 有一项是符合题目要求的 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 A D C B A D D C A B D D 二二 填空题：本大题共填空题：本大题共 4 小题，每小题小题，每小题 5 分，共分，共 20 分分 13 3 8 14 4 3 3 15 (,7 16 14 2 三、 解答题： 共三、 解答题： 共 70 分 解答应写出文字说明、 证明过程或演算步骤 第分 解答应写出文字说明、 证明过程或演算步骤 第 1721 题为必考题， 每个试题考生都必须作答第 题为必考题， 每个试题考生都必须作答第 22、23 题为选考题，考生根据要求作答题为选考题，考生根据要求作答 （一）必考题：（一）必考题：60 分分 17解：( )sin3cos2sin() 3 f xxxx = 2 分 （1）令22 232 kxk +（kZ）得 5 22 66 kxk + （kZ） 故函数( )f x的单调递增区间为 5 2,2 66 kk + （kZ） 5 分 （2）由( )3f B = ，得 3 sin() 32 B =， 3 2 3 +=kB 或 , 3 2 2 3 +=kB 2 22, 3 BkBkkZ =+=+或， 第2页 共 7 页 3 2 =BB是三角形的内角， 7 分 Baccabcos2 222 += 9 22 =+acca 92+acac ，即 3ac 9 分 13 3 sin 24 ABC SacB = 11 分 当且仅当3ac= 时，ABC面积的最大值是 3 3 4 12 分 18 （1）取 PC 的中点 F，连接 DF，EF， E 是 PB 的中点， EF/BC，且 BC=2EF， 又 AD/BC，BC=2AD AD/EF 且 AD=EF， 2 分 四边形 ADFE 是平行四边形， AE/DF，又 DF平面 PDC,AEPCD平面 ， 4 分 AE/平面 PDC 5 分 （2）若 PD=DC，则PDC 是等腰三角形， DFPC， 又 AE/DF， AEPC PD平面 ABCD，BC平面 ABCD PDBC， 又 BCCD,CDPDD= BC平面 PDC， 7 分 DF平面 PDC BCDF BCAE 又 AEPC ,PCBCC= AE平面 PBC， 9 分 连接 EC，AC，则ACE 就是直线 AC 与平面 PBC 所成的角 10 分 设 PD=CD=BC=2， E B A P C D F 第3页 共 7 页 在 RtPCB 中，求得 PC=2 2 ，PB=2 3 ，EC=3， 在 RtADC 中，求得 AC=5, 在 RtAEC 中， 315 5 c s 5 o EC ECA AC = 12 分 19 （1）设事件 i A 为“甲盒中取出i个红球” ，事件 j B为“乙盒中取出j个红球” 则()() 22 2333 22 56 , iijj ij C CC C P AP B CC = 设事件C为“4 个球中恰有 1 个红球” ( )()() 02111102 23332333 0110 2222 5656 39633 C 10 1510 1510 C CC CC CC C PP A BP AB CCCC =+=+=+= 3 分 （2）可取的值为0,1,2,34， ()() 0202 2333 00 22 56 C CC C3 0B= CC50 PP A=5 分 ()( ) 3 1C 10 PP= ()()()() 022011112002 233323332333 021120 222222 565656 11 2+ 25 C CC CC CC CC CC C PP A BP ABP A B CCCCCC =+=+= 7 分 ()()() 11202011 23332333 1221 2222 5656 9 3+ 50 C CC CC CC C PP ABP A B CCCC =9 分 ()() 2020 2333 22 22 56 C CC C1 4B= CC50 PP A=10 分 的分布列为： 01 23 4 P 3 50 3 10 11 25 9 5050 1 3311919 0123+4 50102550505 E= + + + =12分 第4页 共 7 页 20 （1）设 112200 ( ,), (,),(,)A x yB x yM x y ，则 1212 00 , 22 xxyy xy + =，1 分 12 12120 42yy k xxyyy = + ， 3 分 而 0 0 4 MP y k x = ， 4 分 由1 MP k k= 得 0 42x = ，即 0 2x = 5 分 （2）设直线 0 :()2AB xm yy=+ 即 0 :2AB xmymy=+ ， 与抛物线 2 4yx= 联立得 2 0 4480ymymy+= ， 22 0 164(48)0,2mmym= 则 12120 4 ,48yym y ymy+=， 7 分 所以 222 120 |1|1161632ABmyymmmy=+=+ ， 而P 到直线AB的距离为 0 2 |+2| 1 my d m = + ， 所以 2 00 1 | 2|2|2 2 PAB Sd ABmymmy =+9 分 又由于 0 1 2 y m k =， 所以 2222 2(22) 24(1) 2 PAB Smmmm =+=+（ 2 2m ） ， 10 分 令 2 2mt=，则0t 且 22 2mt=， 所以 23 4(3)124 PAB Stttt = ， 令 3 ( )124 (0)g ttt t= ， 则 2 ( )12 1212(1)(1)g tttt=+， 当01t ，( )0g t ，当1t 时，( )0g t， 故 3 ( )124(1)8g tttg=，即 PAB 面积的最大值为 8 12 分 第5页 共 7 页 21 （1）解： 2 1 ln )0, x fxxe x =（ 当)00,( )0)fxxef xe（时，在（ ， 上单调递增 ， 当)0,( ),)fxxef xe+（时，在（上单调递减 1 )( )f xf ea e = 极大值 （3 分， 1 )0f xa e （ 有且只有两个零点，00( )0 xxf x又且时， 0( )0 xaf x+=时，若时，不符合题意，0lim( )0 x af xa + = 若时,不符合， 0lim( )0 x af xa + = 若时,满足， 综上，若使( )f x有且只有两个零点， 1 0a e 4 分 （2）证法一： ln ln )0ln,ln x x f xaxaxxa e x =（， 12 ln,ln x xxxea =是的两根 tt ettgettgxtxt =)1 ()( ,)(,ln,ln 2211 设 ， 上单调递减上单调递增，在，在（), 1 1-)(+tg ， 6 分 ,10,),()( 212121 tttttgtg=则必有设 ），（构造函数10),1 ()1 ()(G+=ttgtgt ， , 01-()1 ( )1 ( )(G 2 1 =+= + ） t t e e t tgtgt , 0)0()(,) 1 , 0()(G=GtGtt上单调递增在 9 分 )()()2( 211 tgtgtg= ， 上单调递减，在又), 1 ()(), 1 (,2 21 +ttgtt 2,-2 2121 +tttt , 12 lnln2xx+，即 2 12 xxe； 12 12 2 xx xxe + ，即 12 2xxe+12 分 证法二： 不妨设 12 1xex， 第6页 共 7 页 )()( 21 xfxf= ， 12 12 lnlnxx xx =，即 22 11 ln ln xx xx =， 6 分 设 21( 1)xtx t= ， 11 11 lnlnln lnln txtx t xx + =， 1 ln ln 1 t x t = ， 1 ln 1 ln lnlnln)ln(ln 112 = +=+= t tt t t txttxx ， t t t xxln 1 1 lnln 21 + =+ ， 12 12 2 xx xx + ，要证 12 2xxe+，只需证 2 12 xxe， 即证 12 1 lnlnln2 1 t xxt t + += ，即证 2(1) ln0 1 t t t + 9 分 设 2(1) ( )ln,(1) 1 t g ttt t = + ， 2 22 14(1) ( )0 (1)(1) t g t ttt t = + ，( )g t在(1,)+单调递增 0) 1 (=g ， 0) 1 ()(=gtg ， 12 lnln2xx+， 12 12 2 xx xxe + ，即 12 2xxe+12 分 证法三： 不妨设 12 1xex， 12 ( )()f xf x=， 12 12 lnlnxx xx =， 6 分 要证 12 2xxe+，只需证 12211 211 2lnlnln xxxxx e xxx + = ， 7 分 变形，得： 21 21 21 2() lnln xx xx xx + ，即 2 21 2 1 1 2(1) ln 1 x xx x x x + 设 2 1 2(1) ln(1) 1 xt ttt xt = + ，设 2(1) ( )ln,(1) 1 t g ttt t = + ，10 分 2 22 14(1) ( )0 (1)(1) t g t ttt t = + ，( )1g t+在（ ，）上单调递增， ( )(1)0g tg=， 121 1 2ln xxx e x + = 成立， 12 2xxe+12 分 第7页 共 7 页 （二）选考题：共（二）选考题：共 10 分请考生在第分请考生在第 22，23 题中任选一题作答，如果多做，则按所做的 第一题计分作答时请写清题号 题中任选一题作答，如果多做，则按所做的 第一题计分作答时请写清题号 2