浙江嘉兴第一中学高三数学上学期期中

第 1 页 共 6 页 2 2019 学年第一学期期中考试高三数学参考答案 019 学年第一学期期中考试高三数学参考答案 选择题部分（共 40 分） 选择题部分（共 40 分） 一、选择题：本大题共 10 小题，每小题 4 分，共 40 分。在每小题给出的四个选项中，只 有一项是符合题目要求的。 一、选择题：本大题共 10 小题，每小题 4 分，共 40 分。在每小题给出的四个选项中，只 有一项是符合题目要求的。 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 答案 C B C D B C B B B C 非选择题部分（共 110 分） 非选择题部分（共 110 分） 二、填空题：本小题共 7 小题，多空题每题 6 分，单空题每题 4 分，共 36 分。 二、填空题：本小题共 7 小题，多空题每题 6 分，单空题每题 4 分，共 36 分。 11.36 8 12. 3315 3 , 22 13.15,64 14. 1 3 2 2 15.3 22 3+ 16. 2 17. 2 3 p 三、解答题：本大题共 5 小题，共 74 分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。 三、解答题：本大题共 5 小题，共 74 分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。 18.(本题满分 14 分) （）由定义 13 cos,sin 22 aa= 1 分 2 55 cos,sin 55 bb= -= 2 分 2 34 cos22cos1,sin 22sincos 55 bbbbb=- = - 4 分 cos(2)cos2cossin 2sinbababa-=+ 3 14334 3 5 25210 - =-= 7 分 （）由 13 cos,sin 22 aa= 可知 2, 3 kkZ p ap=+ ( )2 sin()2 sin(2)2 sin() 33 f xxxkx pp pappp=+=+=+ 9 分 最小正周期 22 2T pp wp = 11 分 求单调递减区间： 3 22, 232 kxkkZ pp pppp+ 第 2 页 共 6 页 ( )f x 单调递减区间为 17 2 ,2, 66 kkkZ + 14 分 19.(本题满分 15 分) （）证明 四边形 ABCD 是正方形，四边形 BDEF 为矩形， BFBD， 又ACBF，AC，BD 为平面 ABCD 内两条相交直线， BF平面 ABCD. 6 分 （）解 假设二面角 CBGD 的大小可以为 60， 由（）知 BF平面 ABCD，以 A 为原点，分别以 AB，AD 为 x 轴，y 轴建立空间直角坐 标系，如图所示，不妨设 ABAD2，BFh(h0)， 则 A(0，0，0)，B(2，0，0)，D(0，2，0)，C(2，2，0)，EF 的中点 G(1，1，h)， BG (1，1，h)，BC (0，2，0). 设平面 BCG 的法向量为 n(x，y，z)， 9 分 则 BG n0， BC n0，即 xyhz0， 2y0， 取 n(h，0，1). 由于 ACBF，ACBD， AC平面 BDG，平面 BDG 的法向量为AC (2，2，0). 12 分 由题意得 cos 60 nAC |n|AC | 2h h2144， 解得 h1，此时BF BC 1 2. 当BF BC 1 2时，二面角 CBGD 的大小为 60. 15 分 20.(本题满分 15 分) （） n a是等比数列，设其公比为q 第 3 页 共 6 页 又 3 461313 ()8()aaq aaaa+=+=+ 32 1 (8)(1)0qqa-+= 2 1 100qa，+ 3 802qq，-= 又 1 1a= 1 2n n a - = 2 分 2 11 () nnn nnbSS + += 即 2 11 () () nnnn nnSSSS + +-= 即 2 1 11111 1 nn SSnnnn + -=- + 111 1111111 1 1 11 nnn SnSnSnS +- -=-=-=- = +- 1 n n S n = + 5 分 当2n时， 1 2 11 1 nnn nn bSS nnnn - - =-=-= + 6 分 又经检验， 1 2 11 211 b = + ，也符合该式 2 1 n b nn = + 7 分 （） 1 1 = (1)2 n n nn n c na b - = + 8 分 0121 123 = 2222 n n n T - + 1231 1231 = 222222 n nn Tnn - - + -可得 01211 11111 =2 22222222 n nnnn Tnn - +-=- 012121 11111 =4 2222222 n nnnn nn T - +-=- 11 分 211 1 4(1)4 222 nn nnn nn Tcll - +=-+- N为QD中点 由韦达定理， 03 2 2 N yy y m + = - 4 分 1 24 MN yym m -=+ 当1m 时取到等号 MN yy-的最小值为4 6 分 （）当 1 l不经过点Q时, 2ABQM=等价于QAQB，即1 QAQB kk= - 8 分 设 1: 25lxmym=+,A 11 ( ,)x y,B 22 (,)xy 由（）联立方程可得韦达定理， 12 4yym+=， 12 820y ym= - 10 分 又 1010 22 011010 4 = 44 QA yyyy k yyxxyy - = -+ - ，同理 20 4 QB k yy = + 12 分 1020 16 1 ()() QAQB kk yyyy = - + 第 5 页 共 6 页 2 120120 ()160y yyyyy+= 代入整理得 2 00 4 (2)40m yy-+-= 要使该式恒成立，则 0 2 0 20 40 y y -= -= ，解得 0 2y=， 0 1x= 14 分 又经检验，当 1 l经过点Q时，2ABQM=仍然成立 存在 0 2y=使得2ABQM=恒成立，即证毕 15 分 22.（本题满分 15 分） （) 当1a = -时, 2 ( )lnf xxxbx=+- 2 121 ( )2 xbx fxxb xx -+ =+-=(0)x 1 分 1 x, 2 x为( )f x的两个不同极值点 1 x, 2 x为方程 2 210 xbx-+ =的两不等正根 2 11 21bxx=+， 2 22 21bxx=+ 且由韦达定理 12 1 2 x x = 2 分 22 12111222 ()()(ln)(ln)f xf xxxbxxxbx+=+-+- 22 1212 ln2x xxx=- 4 分 1212 ln22ln23x xx x-= -，证毕 6 分 （）要证明 1212 ()3f xxxx+- 即 2 12121212 ln()()()3xxa xxb xxxx+-+-+- 下面分别证明 1212 ln()1xxxx+-和 2 1212 ()()2a xxb xx-+-+ 即证ln10tt- + 第 6 页 共 6 页 令函数( )ln1g ttt=- +，则 11 ( )1 t g t tt - =- = ( )g t在(0,1)单调递增，在(1,)单调递减 ( )(1)0g tg，证毕 9 分 ii)再证明 2 1212 ()()2a