广西钦州高三数学综合能力测试三模文

广西钦州市2019届高三数学4月综合能力测试（三模）试题 文（含解析）一、选择题：本大题共12个小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.已知集合，若，则的取值范围是（ ）A. B. C. D. 【答案】D【解析】【分析】根据集合的交集为空集得到结果.【详解】集合，若，则a2.故答案为：D.【点睛】这个题目考查了已知集合的交集的结果求参的问题，比较基础。2.等差数列中，则（ ）A. 11B. 13C. 15D. 17【答案】C【解析】【分析】根据等差数列的概念得到公差，再由等差数列的通项公式得到结果.【详解】等差数列an中，a2=7，a6=23，a6=a2+4d23=7+4dd=4, 根据等差数列的通项公式得到a4=a2+2d=15. 故答案为：C.【点睛】这个题目考查了等差数列的概念以及通项公式的应用属于基础题.3.已知函数fx=2x,x0，若fa=2，则实数a=（ ）A. 1B. 4C. 1或4D. 14或1【答案】D【解析】【分析】当a0时，f（a）=2a=2，当a0时，f（a）=log2a=2，由此能求出实数a的值【详解】当a0时，由fa=2得log2a=2，解得a=4，符合题意综上可得a=-1或a=4，故选：D【点睛】当给出函数值求自变量的值时，先假设所求的值在分段函数定义区间的各段上，然后求出相应自变量的值，切记要代入检验，看所求的自变量的值是否满足相应段自变量的取值范围4.如图，是三世纪汉代赵爽在注解周髀算经时给出的弦图.它也被2002年在北京召开的国际数学家大会选定为会徽.正方形ABCD内有四个全等的直角三角形.在正方形内随机取一点，则此点取自中间小正方形（阴影部分）的概率是（ ）A. 14B. 125C. 34D. 2425【答案】B【解析】【分析】根据题干可设小方格的边长为1，进而得到三角形的边长和正方形的边长，再根据几何概型的面积公式得到结果.【详解】根据条件可设小方格的边长为1，则三角形的边长为3和4，由勾股定理得到正方形的边长为5，最中间的小正方形的边长为1，面积为1，故根据几何概型中的面积型的公式得到概率为S小正方形S大正方形=125. 故答案为：B.【点睛】本题考查了几何概型概率的求法；在利用几何概型的概率公式来求其概率时，几何“测度”可以是长度、面积、体积、角度等，其中对于几何度量为长度，面积、体积时的等可能性主要体现在点落在区域上任置都是等可能的，而对于角度而言，则是过角的顶点的一条射线落在的区域（事实也是角）任一位置是等可能的5.下列函数中不是偶函数的是（ ）A. f(x)=|lnx|B. f(x)=sin(x+2)C. f(x)=x2+e|x|D. f(x)=tan|x|【答案】A【解析】【分析】结合函数的定义域以及函数的奇偶性的定义得到结果.【详解】对于A函数的定义域为0，+不是关于原点对称的，故非奇非偶；对于Bfx=sinx+2=cosx,定义域为R，是偶函数；对于Cfx=x-2+ex= fx,且定义域为,00,+关于原点对称，故是偶函数；对于D，f(x)=tan|x|是偶函数，定义域关于原点对称，满足fx=fx故是偶函数.故答案为：A.【点睛】这个题目考查了函数的奇偶性的应用，判断函数奇偶性，先判断函数的定义域是否关于原点对称，再看是否满足fx=fx或fx=fx.6.“k4”是“0k4”的（ ）A. 充分而不必要条件B. 必要而不充分条件C. 充要条件D. 既不充分也不必要条件【答案】B【解析】【分析】根据两个不等式的包含关系，得到结果.【详解】“0k4”包含于“k4”这一范围，反之“k4”则不一定有“0k4”，根据小范围推大范围得到“k4”是“0k3.【详解】设原物质的质量为单位1，一年后剩余质量为原来的14，两年后变为原来的142，依此类推，得到n年后质量是原来的14n，只需要14n1100n3 故结果为4.故答案为：B.【点睛】本题主要考查函数模型的选择与应用、增长率的概念、指数函数等基础知识，考查数学建模能力，属于基础题9.在学校举行一次年级排球赛比赛中，李明、张华、王强三位同学分别对比赛结果的前三名进行预测：李明预测：甲队第一，乙队第三张华预测：甲队第三，丙队第一王强预测：丙队第二、乙队第三其中只有一个人的预测是正确的，则得到的前三名按顺序为：A. 丙、甲、乙B. 甲、丙、乙C. 丙、乙、甲D. 乙、甲、丙【答案】C【解析】【分析】根据题意写出三个人预测的成绩，由题意得到正确的是张华预测的是正确的.【详解】李明预测：甲队第一，乙队第三则前三名的顺序为：甲，丙，乙，王强预测：丙队第二、乙队第三则前三名的顺序为：甲，丙，乙，张华预测：甲队第三，丙队第一则前三名的顺序为：丙，乙，甲，根据题意得到张华预测的是准确的，故正确顺序为丙，乙，甲.故答案为：C.【点睛】这个题目考查的是逻辑推理，属于简单题目.这类题目关键是抓住题干提供的信息，通过其中两个推理，得到错误的一个推理，进而得到正确结果.10.在ABC中，角A,B,C的对边分别是a,b,c，若a=2,C=4,tanB=43，则ABC的面积等于（ ）A. 87B. 37C. 47D. 27【答案】A【解析】【分析】根据三角形三个角的关系得到sinA=sinB+C=7102结合正弦定理得到边asinA=csinCc=107再由面积公式得到结果.【详解】根据题干条件tanB=43可得到sinB=45,cosB=35，又因为C=4 sinC=cosC=22，进而得到sinA=sinB+C=7102，a=2，由正弦定理得到asinA=csinCc=107根据面积公式得到S=12acsinB=12210745=87. 故答案为：A.【点睛】本题主要考查正弦定理以及三角形面积公式，在解与三角形有关的问题时，正弦定理、余弦定理是两个主要依据. 解三角形时，有时可用正弦定理，有时也可用余弦定理，应注意用哪一个定理更方便、简捷一般来说 ,当条件中同时出现ab 及b2 、a2 时，往往用余弦定理，而题设中如果边和正弦、余弦函数交叉出现时，往往运用正弦定理将边化为正弦函数再结合和、差、倍角的正余弦公式进行解答.11.在直三棱柱ABCA1B1C1中，AB=AC=AA1=1，ABAC，点E为棱AA1的中点，则点C1到平面B1EC的距离等于（ ）A. 12B. 22C. 63D. 1【答案】C【解析】【分析】根据三棱锥等体积法得到：三棱锥VC1-B1CE=VE-B1CC113SB1CEd=13SB1CC1h由几何图形的特点分别求出相应的底面积和高，代入上式得到距离.【详解】连接C1E，设点C1到平面B1EC的距离为d,根据三棱锥等体积法得到：三棱锥VC1-B1CE=VE-B1CC113SB1CEd=13SB1CC1h AB=AC=1，在由ABAC，得到BC=2，三角形B1CC1面积为B1CC1=1212，点A1到B1C1的距离即棱锥E-B1CC1的高为h=12B1C1=22；三角形B1EC，B1E=CE=52，B1C=3,则三角形的高为CE2-B1C22=22,面积为12322，根据等体积公式代入得到VC1-B1CE=VE-B1CC113SB1CEd=13SB1CC1h，d=63. 故答案为：C.【点睛】本题涉及到点面距离的求法，点面距可以通过寻找面面垂直，再直接过点做交线的垂线即可;当点面距离不好求时，还可以等体积转化.12.已知直线l:y=3x与函数f(x)=x3x,x1,axa,x1.的图像交于三点，其横坐标分别是x1，x2，x3.若x1+x2+x33B. 0a4C. 36【答案】D【解析】【分析】根据条件得到分段函数的图像，找到三个交点的横坐标，原题等价于x3-20,x32,即axa3x=0x=aa326aa30,f330.根据图像得到函数的三个交点，横坐标一个等于0，一个小于0，一个大于0，令x3x=3xx=0或2或2（舍去正值）故x1+x2+x3=x3-2，x3是两直线的交点，x3-20,x32,即axa3x=0x=aa326aa36.故答案为：D.【点睛】本题考查函数的零点，导数的综合应用在研究函数零点时，有一种方法是把函数的零点转化为方程的解，再把方程的解转化为函数图象的交点，特别是利用分离参数法转化为动直线与函数图象交点问题，这样就可利用导数研究新函数的单调性与极值，从而得出函数的变化趋势，得出结论二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，满分20分，把答案填在答题卡相对应位置上.13.已知为虚数单位，复数Z1=2i，Z2=1+i，那么Z1Z2=_【答案】3+i【解析】【分析】根据复数的乘法运算得到结果.【详解】复数Z1=2-i，Z2=1+i，Z1Z2=2-i1+i=3+i,故答案为：3+i.【点睛】这个题目考查了复数的乘法运算，属于基础题.14.函数f(x)=sinxcosx(0x0)的焦点为F，其准线与双曲线N:x2a2y2=1交于A,B两点，若FAB是等边三角形，则双曲线N的离心率的取值范围是_【答案】72,+【解析】【分析】设点Bx,y联立准线和抛物线得到点xB=a1+p2,yB=p,根据等边三角形的性质得到3a2=4p21+p2=41p2+10,4，进而得到e2=1+a2a2=1a2+174,+.【详解】设点BxB,yB，抛物线M:x2=4py(p0)的焦点为F0,p,焦点到准线的距离为2p, 将准线方程y=p代入双曲线得到xB=a1+p2,yB=p, 根据等边三角形的性质的到xB2p=tan300=333a2=4p21+p2=41p2+10,4a20,43双曲线的离心率为e2=1+a2a2=1a2+174,+ 故得到离心率为72,+.故答案为：72,+.【点睛】双曲线的离心率问题，主要是有两类试题：一类是求解离心率的值，一类是求解离心率的范围基本的解题思路是建立椭圆和双曲线中a,b,c的关系式，求值问题就是建立关于a,b,c的等式，求取值范围问题就是建立关于a,b,c的不等式三、解答题 :共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.第1721题为必考题，每个试题考生都必须作答，第22,23题为选考题，考生根据要求作答.17.如图所示，在平面四边形ABCD中，BC=CD=2，BCD的面积是2.（1）求BCD的大小；（2）若ABD=2ACB=60，求线段AD的长.【答案】1 90 2 AD=6【解析】【分析】(1)由面积公式得到SBCD=12 BCCDsinBCD=2进而求解；2先根据已知条件得到CAB=45，再由正弦定理得到AB=2sin30sin45=2，最终在BAD中由余弦定理求得结果.【详解】1在BCD中，BC=CD=2,SBCD=12 BCCDsinBCD=2，解得sinBCD=1BCD=90.2由BC=CD=2，BCD=90，得到CBD=45,BD=22.ABD=2ACB=60，CBD=45,CAB=45在ABC中，由正弦定理有：BCsinBAC=ABsinACB，即AB=2sin30sin45=2.在BAD中由余弦定理有：AD2=222+22-2222cos60=6AD=6【点睛】本题主要考查正弦定理及余弦定理的应用以及三角形面积公式，在解与三角形有关的问题时，正弦定理、余弦定理是两个主要依据. 解三角形时，有时可用正弦定理，有时也可用余弦定理，应注意用哪一个定理更方便、简捷一般来说 ,当条件中同时出现ab 及b2 、a2 时，往往用余弦定理，而题设中如果边和正弦、余弦函数交叉出现时，往往运用正弦定理将边化为正弦函数再结合和、差、倍角的正余弦公式进行解答.18.如图1，在边长为3的菱形ABCD中，已知AF=EC=1，且EFBC.将梯形ABEF沿直线EF折起，使BE平面CDFE，如图2，P,M分别是BD,AD上的点.（1）求证：图2中，平面ADF平面ABEF；（2）若平面PAE平面CMF，求三棱锥MCDF的体积.【答案】(1)见解析（2）429【解析】【分析】(1)根据图形中的线面关系得到DFEF，AFEF，所以EF平面ADF，进而得到面面垂直；（2）根据面面平行的性质得到，平面PAE与平面CDFE相交，交线为EQ，平面PAE平面ADQ=AQ，AQ/MF,进而得到MDAD=FDQD=23，代入体积公式即可得到结果.【详解】1证明：由题意可知BE/AF，因为BE平面CDFE，所以AF平面CDFE，所以AFEF，由图1条件可知，DFEF又因为AFDF=F，所以EF平面ADF.因为EF平面ABEF，所以平面ADF平面ABEF.(2) 因为平面PAE与平面CDFE有公共点E，所以若平面PAE与平面CDFE相交，设交线为EQ.若平面PAE/平面CMF，因为平面CDFE平面CMF=CF则EQ/CF，设EQDF=Q.又因为FQ/CE，所以FQ=CE.同理，由平面PAE/平面CMF.因为平面PAE平面ADQ=AQ，平面CMF平面ADQ=MF,所以AQ/MF,所以MDAD=FDQD=23设三棱锥M-CDF底面上的高为h，所以hAF=MDAD=23，所以h=231=23.由EF=22,所以三棱锥M-CDF的体积为VM=CDF=132312222=429.【点睛】本题考查平面和平面垂直的判定和面面平行的性质在证明面面垂直时，其常用方法是在其中一个平面内找两条相交直线和另一平面内的某一条直线垂直.19.为研究男、女生的身高差异，现随机从高二某班选出男生、女生各10人，并测量他们的身高，测量结果如下（单位：厘米）：男：164 178 174 185 170 158 163 165 161 170女：165 168 156 170 163 162 158 153 169 1721根据测量结果完成身高的茎叶图（单位：厘米），并分别求出男、女生身高的平均值.2请根据测量结果得到20名学生身高的中位数中位数h（单位：厘米），将男、女身高不低于h和低于h的人数填入下表中，并判断是否有90%的把握认为男、女身高有差异？参照公式：k2=nad-bc2a+bc+da+cb+d3若男生身高低于165厘米为偏矮，不低于165厘米且低于175厘米为正常，不低于175厘米为偏高，假设可以用测量结果的频率代替概率，试求从高三的男生中任意选出2人，恰有1人身高属于正常的概率.【答案】（1）见解析（2）见解析（3）0.48【解析】【分析】（1）根据题干条件得到完整的茎叶图，由平均值的公式得到平均数；（2）根据卡方公式得到卡方值，进而做出判断；（3）身高属于正常的男生概率为0.4，满足题意的概率为：20.41-0.4.【详解】1茎叶图为：平均值是将所有数据加到一起，除以数据的个数得到的结果，根据这一公式将数据代入公式，得到：平均身高：男168.8 女：163.62 根据中位数的概念得到h=165.k2=20990.202b0)经过点C(0,1)，且离心率为22.（1）求椭圆N的方程；（2）直线l:y=kx13与椭圆N的交点为A,B两点，线段AB的中点为M，是否存在常数，使AMC=ABC恒成立，并说明理由.【答案】（1）x22+y2=1 2 见解析【解析】【分析】(1)根据椭圆经过点C0,1，且离心率为22，所以b=1,ca=22，又因为a2-c2=b2可得到参数值；（2）联立直线和椭圆方程，CACB=1+k2x1x2-43kx1+x2+169由韦达定理得到CACB，故得到AMC=2ABC.【详解】（1）因为椭圆N:x2a2+y2b2=1ab0经过点C0,1，且离心率为22，所以b=1,ca=22,又因为a2-c2=b2,可解得c=1,a=2，焦距为2c=2,所求椭圆的方程为x22+y2=1.2 存在常数=2,使AMC=ABC恒成立.证明如下：由y=kx-13x22+y2=1得9+18k2x2-12kx-16=0,0,设Ax1,y1,Bx2,y2则x1+x2=12k9+18k2,x1x2=-169+18k2又因为CA=x1,y1-1,CB=x2,y2-1,所以CACB=x1x2+y1-1y2-1=x1x2+kx1-43kx2-43=1+k2x1x2-43kx1+x2+169=1+k2-169+18k2-43k12k9+18k2 +169=0，所以CACB因为线段AB的中点为M，所以，所以MC=MB，所以AMC=2ABC.存在函数=2,使AMC=2ABC恒成立.【点睛】本题主要考查直线与圆锥曲线位置关系，所使用方法为韦达定理法：因直线的方程是一次的，圆锥曲线的方程是二次的，故直线与圆锥曲线的问题常转化为方程组关系问题，最终转化为一元二次方程问题，故用韦达定理及判别式是解决圆锥曲线问题的重点方法之一，尤其是弦中点问题，弦长问题，可用韦达定理直接解决，但应注意不要忽视判别式的作用21.已知函数f(x)=12ax2x+xlnx，aR.（1）若a=1e，讨论函数f(x)在其定义域上的单调性；（2）若f(x)在其定义域上恰有两个零点，求a的取值范围.【答案】（1）单调递减（2）2e2a0.【解析】【分析】（1）将a=1e代入函数表达式，对函数求导，得到导函数的正负，进而得到单调性；（2）原题等价于函数hx=12ax1+lnx恰有两个零点，分a0和a0两种情况讨论函数的单调性，进而得到函数的变化趋势，得到函数的零点情况.【详解】1由于fx的定义域为0,+，且fx=ax+lnx,设gx=fx，当a=1e时，gx=1x1efx=gxge=1e1e=0.所以fx在其定义域上单调递减2若fx恰有两个零点，由于fx的定义域为0,+，则函数hx=12ax1+lnx恰有两个零点.当a0时hx在0,+上单调递增，不符合题意.当a0，得2ae2,可得2e2a0.此时h1=a21e2时，函数单调递减所以te2=e2+1e2+1e2时，t函数单调递减所以tee2+lne2+e21e3ee20，即h2ee2e0所以fx在其定义域上恰有两个零点时，故2e2a0.【点睛】这个题目考查了导数在研究函数的单调性和零点问题中的应用；对于函数的零点问题，它和方程的根的问题，和两个函数的交点问题是同一个问题，可以互相转化；在转化为两个函数交点时，如果是一个常函数一个含自变量的函数，注意变形时让含有自变量的函数式子尽量简