江苏东台中学高三第一学期期末数学考试

2009届江苏省东台中学高三第一学期期末数学考试试题卷一、填空题：1.设集合，则满足条件的集合P的个数是_个2.若，则= 3已知O为直角坐标系原点，P、Q的坐标满足不等式组，则的最小值为_4.设A，B是轴上的两点，点P的横坐标为2，且，若直线PA的方程为，则直线PB的方程是_5.已知函数在处的导数为1，则=_6.若两个函数的图象经过若干次平依后能够重合，则称这两个函数为“同形”函数，给出下列三个函数： ，则_为“同形”函数7.椭圆与直线交于A、B两点，过原点与线段AB中点的直线的斜率为=_8.一次研究性课堂上，老师给出函数，三位同学甲、乙、丙在研究此函数时分别给出命题： 甲：函数f (x)的值域为（1，1）； 乙：若x1x2，则一定有f (x1)f (x2)； 丙：若规定对任意恒成立. 你认为上述三个命题中正确的个数有_个9.过定点（1,2）的直线在正半轴上的截距分别为,则4的最小值为 10.若直线与函数且的图象有两个公共点，则的取值范围是 11.“已知数列为等差数列，它的前项和为，若存在正整数，使得，则。”，类比前面结论，若正项数列为等比数列， 12. RtABC中,斜边AB=1,E为AB的中点,CDAB,则的最大值为_.13.设A=，B=，记AB=max，若A=，B=，且AB=，则的取值范围为 。14.设A为锐角三角形的内角，是大于0的正常数，函数的最小值是9，则=_ _二、解答题15.已知，（1）当时，求证：在上是减函数；（2）如果对不等式恒成立，求实数的取值范围16.在ABC中，分别为角A、B、C的对边，=3, ABC的面积为6，D为ABC内任一点，点D到三边距离之和为d。求角A的正弦值； 求边b、c； 求d的取值范围17.已知：正方体，E为棱的中点() 求证：；() 求证：平面；（）求三棱锥的体积18.已知直线所经过的定点恰好是椭圆的一个焦点,且椭圆上的点到点的最大距离为8. （1）求椭圆的标准方程； （2）已知圆,直线.试证明当点在椭圆上运动时,直线与圆恒相交；并求直线被圆所截得的弦长的取值范围. 19.某市环保部门通过研究多年来该地区的大气污染状况后，建立了一个预测该市一天中的大气污染指标f(t)与时间t（单位：小时）之间的关系的函数模型：，其中，代表大气中某类随时间t变化的典型污染物质的含量；参数a代表某个已测定的环境气象指标，且。 求g(t)的值域； 求M（a）的表达式；若该市政府要求每天的大气环境综合指数不得超过2.0，试问：若按给定的函数模型预测，该市目前的大气环境综合指数是否会超标？请说明理由。20.已知函数 （1）当时，求的最小值； （2）若直线对任意的都不是曲线的切线，求的取值范围 （3）设，求的最大值的解析式。参考答案：1. 4 2. 3. 3. 4. 5. 6. 7. 8. 3 9.32 10. 11. 它的前项乘积为，若，则 12. 13. 1，1+ 14. 415解：（1）当时，在上是减函数.（2）不等式恒成立，即不等式恒成立，不等式恒成立. 当时， 不恒成立；当时，不等式恒成立，即，.当时，不等式不恒成立. 综上，的取值范围是.16解：(1) (2)，20 由及20与=3解得b=4，c=5或b=5,c= 4 (3)设D到三边的距离分别为x、y、z，则 又x、y满足画出不等式表示的平面区域得： 17. ()证明：连结，则/， 1分是正方形，面，又，面 4分面， 5分（）证明：作的中点F，连结是的中点，四边形是平行四边形， 7分是的中点，又，四边形是平行四边形，/，平面面 9分又平面，面 10分（）12分 15分18.解: （1）由,得, 则由,解得F（3,0） 设椭圆的方程为,则,解得 所以椭圆的方程为 （2）因为点在椭圆上运动,所以, 从而圆心到直线的距离. 所以直线与圆恒相交 又直线被圆截得的弦长为 由于,所以,则,即直线被圆截得的弦长的取值范围是 19. 解：g(t) 的值域为0，5分 10分当时，+=2;当时，.所以若按给定的函数模型预测，该市目前的大气环境综合指数不会超标。15分20.解：（1） 当时，时， 的极小值