浙江杭州高二下学期期末考试数学

2018 学年第二学期杭州市高二年级教学质量检测 数学试题参考答案及评分标准 一选择题（本大题共一选择题（本大题共 15 小题，每小题小题，每小题 4 分，共分，共 60 分分。每小题列出的四个选项中只有一个是符。每小题列出的四个选项中只有一个是符 合题目要求的，不选、多选、错选均不得分合题目要求的，不选、多选、错选均不得分） 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 答案 A A C D B C D D 题号 9 10 11 12 13 14 15 答案 B C B C D C A 二填空题二填空题（本大题共（本大题共 4 小题，小题，每空每空 4 分分，共共 16 分）分） 165 17 0, 3 18an2n1 19 , 3 2 三解答题三解答题（本大题共本大题共 5 小题，共小题，共 74 分，要求写出详细的推证和运算过程分，要求写出详细的推证和运算过程） 20 （本小题满分 10 分） 解： （）f (x) 1 cos2sin2 3 22 xx 1333 sin2cos2 +sin 2+ 22232 xxx ， 所以 T 7 分 （）因为 f (x) 3 sin 2+ 32 x ， 因为 5 , 36 x ，所以 4 2, 333 x ， 所以 3 sin 21 23 x ， 所以 f (x)的值域为 3 0+1 2 ， 7 分 21 （）证明：连接 AB1，交 A1B 于 N，所以 N 为 AB1的中点， 又因为 D 为 AC 的中点，所以 DN /B1C， 因为 DN 在面 BA1D 内，B1C 不在面 BA1D 内， 所以 B1C/面 BA1D 6 分 （）以 AB，AC，AA1为 x，y，z 轴建立空间直角坐标系（不妨设 AC1） 所以 B(3，0，0)，D(0， 1 2 ，0)，A1(0，0，3)，C1(0，1，3)， 设面 BA1D 的法向量为 n(x，y，z)， 则 1 0 0 BD BA n n ，解得 n(1，23，1)， 因为 1 BC(3，1，3)，记直线 BC1与平面 BA1D 所成角为 ， 所以 sin|cos| 1 1 | | BC BC n n 6 7 9 分 22 （本小题满分 15 分） 解： （）由题意，得 1 2 215 1a aa a 解得 1 1 2 a d ， 所以 an2n1，Snn2 8 分 （）因为 bn 1 4 (1n n ） 1 11 () 41nn ， 所以 Tn 4(1) n n 7 分 23 （本小题满分 15 分） 解： （）设 M(x1，y1)，N(x2，y2)， 所以 | MN |x1x226， 所以 xQ 12 2 xx 2； 6 分 （）设直线 l：xtym，由 2 4 xtym yx ， 得 y24ty4m0， 所以 y1y24t，y1y24m， 所以 | MN | 22 1212 1+()tyyy y 22 11616ttm5， 所以 m 2 25 16(1)t t2， 所以 x1x2t(y1y2)2m4t22m 2 25 8(1)t 2t23， 所以 xQ 12 2 xx 3 2 ，此时 t 1 2 ，m1， 所以 l：2xy20 或 2xy20 9 分 24 （本小题满分 11 分） 解： （）当 a1 时，f (x)x2|x1|k 2 2 1,(1) 1,(1) xxkx xxkx ， 所以 f (x)的单调增区间为 1 , 2 5 分 （） 因为 f (x)x2|xa|k 2 2 1 ,() 1 ,() xxakxa xxakxa ， 且 1 0, 6 a ， 可知 f (x)在 1 , 2 上单调递减，在 1 , 2 a 上单调递增，在 1 , 2 a 上单调递减，在 1 + 2 ，上单调递增。 若 0f a ， 则 f (x)在 1 , 2 a 和 1 , 2 a 上无零点， 由 f (x)的单调性及零点的存在性定理可知， f x至多有两个零点。 故 0f a ，即 2 0aak对任意 1 0, 6 a 恒成立，可知0k 。 当 0f a 时，若 1 0 2 f 或 1 0 2 f 成立，则由 f (x)的单调性及零点的存在性定理可知 f x至多有两个零点，故 1 0 2 1 0 2 f f ，即 1 10 4 1 10 4 a k a k 成立，注意到 11 11 44 a ka k ，故 1 10 4 a k，即 1 1 4 k a 对任意 1 0, 6 a 成立，可知 1 2 k ， 综上可知， 1 0 2 k。 10 分 因为 x2|xa|ka0，所以 |xa|kax2， 设 y3|xa|ka，其顶点 A(a，ka)在 ykx， 1 0, 6 x （即线段OB）上运动， 若 k0，显然存在 V 字图与抛物线 yx2只有两个交点的情况，不符合题意，故 k0，如图 画出草图 显然当点 A 自点 O 向点 B 运动时，两个图象总有 M，N 两个交点，故只需要 V 字形图象右 支 yxaka 与抛物线 yx