湖南东部六校高三数学联考

第 1 页，共 8 页 湖南省东部六校 2016 届高三联考 文科数学试题及答案文科数学试题及答案 总分：150 分 时量：120 分钟 2015 年 12 月 8 日 由由 株洲市二中文科数学组 命题命题 一一.选择题选择题:本大题共本大题共 12 小题小题,每小题每小题 5 分分,共共 60 分分.在每小题给出的四个选项中在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题只有一项是符合题 目要求目要求. 1已知集合，则 MN=（ C ） 2, 1,0,1M 1 |24, 2 x NxxZ A BCD 2, 1,0,1,2M 1,0,1,2M 1,0,1M 0,1M 2已知 i 是虚数单位，设复数 z1=1+i，z2=1+2i，则在复平面内对应的点在（ D ） 1 2 z z A 第一象限B 第二象限C 第三象限D 第四象限 3. 函数 ( B )lgyx A是偶函数，在区间 上单调递增 B是偶函数，在区间上单调递减(,0)(,0) C是奇函数，在区间 上单调递增 D是奇函数，在区间上单调递减(0,)(0,) 4设向量，若，则 B)sin, 2(),1,(cosba ba ) 4 tan( A B C-1 D0 3 1 3 1 5将函数的图象上各点的横坐标压缩为原来的倍（纵坐标不变） ，所得函数在sin() 6 yx 1 2 下面哪个区间单调递增 （ A ） A B B D(,) 3 6 (,) 2 2 (,) 3 3 2 (,) 63 6 已知 n S是公差不为 0 的等差数列 n a的前n项和，且 421 ,SSS成等比数列， 则 1 32 a aa 等于( C ) A 4 B 6 C8 D10 第 2 页，共 8 页 7已知椭圆的中心在原点，离心率，且它的一个焦点与抛物线的焦点重合，则此椭 1 2 e 2 4yx 圆方程为 （ A ） AB CD 22 1 43 xy 22 1 86 xy 2 2 1 2 x y 2 2 1 4 x y 8某三棱锥的三视图如图所示，该三棱锥的四个面的面积中，最大的面积是（ C ） A 4 3 B 8 3 C 4 7 D8 9实数 x，y 满足（a1） ，且的最大值是最小值的 4 倍，则 a 的值是( B ) 2 xa yx xy 2zxy A B C D 2 11 1 4 1 2 11 2 10执行如图所示的程序框图，若输入 的值为 8，则输出的值为（ B ）nS A4 B8 C10 D12 11已知QP,是圆心在坐标原点O的单位圆上的两点，分别位于第一象限和第四象限，且P点 的纵坐标为 5 4 ，Q点的横坐标为 13 5 ，则POQcos( D )来源: Zxxk.Com A B C D 33 65 63 65 63 65 33 65 12.已知函数，若函数恰有 6 个零点，则 2 31,0 ( ) |41| ,0 xx f x xxx 2 ( )( )( )g xfxaxf x 的取值范围是 （ C ） a A B C D (0,3)(1,3)(2,3)(0,2) （第 8 题图） （第 10 题图） 第 3 页，共 8 页 二、填空题（本大题共二、填空题（本大题共 4 个小题，每小题个小题，每小题 5 分，共分，共 20 分分.把答案填在答题卡中对应题号后横线上）把答案填在答题卡中对应题号后横线上） 13如图是某学校一名篮球运动员在 10 场比赛中所得分数的茎叶图,则该运动员在这 10 场比赛 中得分的中位数为_15_。 14若曲线 2 yxaxb在点(0, )b处的切线方程是10 xy ，则 a=_。1 15已知双曲线的左、右焦点分 别为、，抛物线的 22 1 22 :1(0,0) xy Cab ab 1 F 2 F 2 C 顶点在原点，它的准线过双曲线的焦点，若双曲线与抛物线的交点满足， 1 C 1 C 2 CP 212 PFFF 则双曲线的离心率为 _。 1 C21 16、在中，分别为角的对边，且满足ABC, ,a b c, ,A B C 2 7 4coscos2() 22 A BC 若，则的面积的最大值是_。2a ABC3 三、解答题（共三、解答题（共 6 小题，总计小题，总计 70 分）分） 17 （本小题满分 12 分）2014 年“双节”期间，高速公路车辆较多某调查公司在一服务区从七 座以下小型汽车中按进服务区的先后每间隔 50 辆就抽取一辆的抽样方法抽取 40 名驾驶员进行询 问调查，将他们在某段高速公路的车速（km/h）分成六段： 后得到如图的频率分布直方图60,65 , 65,70 , 70,75 , 75,80 , 80,85 , 85,90 （1）求这 40 辆小型车辆车速的众数和中位数的估计值 （2）若从车速在的车辆中任抽取 2 辆，求车速在的车辆恰有一辆的概率60,7065,70 0 5 8 9 1 2 4 6 6 9 2 1 4 第 4 页，共 8 页 解：（1）众数的估计值为最高的矩形的中点，即众数的估计值等于 775-3 分 设图中虚线所对应的车速为，则中位数的估计值为：x ，解得0.01 50.02 50.04 50.06750.5x 77.5x 即中位数的估计值为 775-6 分 （2）从图中可知，车速在的车辆数为：（辆） ，60,65 1 0.01 5 402m 车速在的车辆数为：（辆）-8 分65,70 2 0.02 5 404m 设车速在的车辆设为，车速在的车辆设为，则所有基本事件有：60,65, a b65,70, , ,c d e f （a，b） ， （a，c） ， （a，d） ， （a，e） ， （a，f） ， （b，c） ， （b，d） ， （b，e） ， （b，f） ， （c，d） ， （c，e） ， （c，f） ， （d，e） ， （d，f） ， （e，f） ，共 15 种 其中车速在的车辆恰有一辆的事件有：65,70 共 8 种,a ca da ea fb cb db eb f 所以，车速在的车辆恰有一辆的概率为 -12 分 65,70 8 15 P 18、 （本小题满分 12 分）已知等比数列an满足 ，且 是的等差中 132 23aaa 3 2a 24 ,aa 项 求数列an的通项公式； 若，Snb1b2bn，求使 Sn2n+1470 成立的 n 的最小值 2 1 log nn n ba a 解 (1)设等比数列an的公比为 q，依题意，有 即： 132 243 23 2(2) aaa aaa 2 11 32 11 (2)3(1) ()24 (2) aqa q a qqa q 由（1）得q23q20，解得q1 或q2. 4 分 当 q1 时，不合题意，舍去； 当 q2 时，代入（2）得 a12，所以 an22n-12n. 故所求数列的通项公式6 分 n a Nna n n 2 (2)8 分n a ab n n n n nn 2 2 1 log2 1 log 22 所以 Sn212222332nn 第 5 页，共 8 页 (222232n)(123n) 2n+12nn2. 10 分 212n 12 n1n 2 1 2 1 2 因为 Sn2n+1479 或 n10. 因为nN N*，故使Sn2n+1470 成立的正整数n的最小值为 10. 12 分 19 （本小题满分 12 分）如图 ，在直角梯形ABCD中，CDAB/，ADAB ，且 1 2 1 CDADAB现以AD为一边向梯形外作矩形ADEF，然后沿边AD将矩形 ADEF翻折，使平面ADEF与平面ABCD垂直 （1）求证：BDEBC平面； （2）若点D到平面的距离为 ，求三棱锥 F-BDE 的体积。 BEC 6 3 解：（1）证明： 在矩形 ADEF 中，EDAD 因为面 面, 所以 面, 所以 又在直角梯形 ABCD 中，AB=AD=1，CD=2，所以 BC=，45 ,BDC 2 在中， = = 2, = 2， 所以： BD2+BC2=CD2 所以：-6 分 ,所以： 面 (2) 由（1）得： 面 面 作 于 H，则 面 所以： 6 3 DH 在 中，BDEBD DEBE DH 即：,解得-9 分 2 6 2(2) 3 DEDE1DE 所以：-12 分 111 1 326 F BDEB EFD VV F E DC BA A B C D F E A B C D F E H 第 6 页，共 8 页 20、 （本小题满分 12 分）已知直线，半径为的圆与 相切，圆心在轴01034: yxl2ClCx 上且在直线 的右上方l （1）求圆的方程；C （2）过点任意作一直线与圆交于两点（在轴上方） ，问在轴正半轴上是否)0 , 1 (MCBA,Axx 存在定点，使得轴总平分?若存在，请求出点的坐标；若不存在，请说明理由NxANBN 解：（1）设圆心，则或（舍）) 0 , (aC) 2 5 (a02 5 104 a a 5a 所以圆 -6 分 4: 22 yxC （2）当直线轴，则轴平分xAB xANB 当直线斜率存在时设直线方程为，ABAB) 1( xky)0 ,(tN),(),( 2211 yxByxA 042) 1( ) 1( 4 2222 22 kxkxk xky yx 1 4 , 1 2 2 2 21 2 2 21 k k xx k k xx 若轴平分，则xANB0 ) 1() 1( 0 2 2 1 1 2 2 1 1 tx xk tx xk tx y tx y kk BNAN 402 1 ) 1(2 1 )4(2 02)(1(2 2 2 2 2 2121 tt k tk k k txxtxx 当点，能使得总成立-12 分(4,0)NANMBNM 第 7 页，共 8 页 21 （本小题满分 12 分）设函数（）, 2 ( )2lnf xxaxx Ra( )3 x ex g x e （）若函数在定义域内单调递减，求实数的取值范围；( )f xa （）若对任意，都有唯一的，使得成立，求实数ex, 0 4 0 , xee 2 00 2g xf xx 的取值范围.a 解：（1）由题：在恒成立， 2 41xax fx x 2 41 0 xax fx x （0， + ） 即：在恒成立， 2 410 xax （0， + ） 则： ,得： -3 分 2 44 10a 44a 或故得： 综上： -5 分 2 44 10 0 8 a a 4a 4a （2）在上单调递增，在上单调递减， 1 ( )(1), x g xexg x 1 , 0 e , 1 且的值域为，-7 分 2 03, (1)4, ( )33, e ggg eeg x 4 , 3 记， 2 ( )( )2ln ,( )h xf xxaxx mg x 原问题等价于：，存在唯一的，使得成立。4 , 3meex, 4 0 mxh 0 eex x ax x axh, 11 4 当时，恒成立，单调递减，由， e a 1 0 xh xh 44 44 max aeehxh ，解得：.8 分 31 min aeehxh e a 1 0 当时，恒成立，单调递增，不合 4 ea 0 xh xh 44 44 min aeehxh 题意，舍去9 分 第 8 页，共 8 页 当时，在上单调递减，在上单调递增， 4 1 ea e xh a e 1 , 4 e a , 1 且， 1)(, 44 44 aeehaeeh 要满足条件则. 11 分 e a e ae 41 , 31 综上所述：的取值范围是12 分a e 4 , 0 22 （本小题满分 10 分） 已知直线l的参数方程为：（t 为参数） ，曲线 C 的极坐标方程为： 1 2 3 2 xmt yt 12cos 2 （1）以极点为原点，极轴为 x 轴正半轴，建立直角坐标系，求曲线 C 的直角坐标方程； （2）若求直线l被曲线 C