江苏歌风中学如皋办学高三数学复习圆锥曲线第四讲直线与圆锥曲线位置关系

专题 圆锥曲线 第四讲直线与圆锥曲线位置关系活动一：基础检测：1抛物线y24x的焦点为F，准线为l，经过F且斜率为的直线与抛物线在x轴上方的部分相交于点A，AKl，垂足为K，则AKF的面积是_2椭圆1的一个焦点为F1，点P在椭圆上，如果线段PF1的中点M在y轴上，那么点M的纵坐标是_3过点的直线l与抛物线yx2交于A、B两点，O为坐标原点，则的值为_活动二：探究点一直线与圆锥曲线的位置关系例1（南通市2015届高三上期末）如图，在平面直角坐标系中，分别是椭圆的左、右焦点，顶点的坐标为，且是边长为的等边三角形.求椭圆的方程；过右焦点的直线与椭圆交于两点，记，的面积分别为.若，求直线的斜率.训练1、（2015届南京、盐城市高三二模）如图，在平面直角坐标系中，椭圆E：的离心率为，直线l：与椭圆E相交于A，B两点，C，D是椭圆E上异于A，B两点，且直线AC，BD相交于点M，直线AD，BC相交于点N.（1）求的值；（2）求证：直线MN的斜率为定值。xyAOBCDMN探究点二中点弦问题【例2】过点P(1,1)作直线交椭圆1于A，B两点，若线段AB的中点恰为点P，求AB所在直线的方程【训练2】 椭圆ax2by21与直线xy10相交于A，B两点，C是AB的中点，若AB2，OC的斜率为，求椭圆的方程探究点三定值(定点)问题【例3】已知椭圆1上的两个动点P，Q，设P(x1，y1)，Q(x2，y2)且x1x22.(1)求证：线段PQ的垂直平分线经过一个定点A；(2)设点A关于原点O的对称点是B，求PB的最小值及相应的P点坐标【训练3】 (2011四川)如图过点C(0,1)的椭圆1(ab0)的离心率为.椭圆与x轴交于两点A(a,0)、B(a,0)过点C的直线l与椭圆交于另一点D，并与x轴交于点P.直线AC与直线BD交于点Q.(1)当直线l过椭圆右焦点时，求线段CD的长；(2)当点P异于点B时，求证：为定值活动三：自主检测：一、填空题1(2009重庆)已知抛物线C的顶点在坐标原点，焦点为F(1,0)，直线l与抛物线C相交于A，B两点，若AB的中点为(2,2)，则直线l的方程为_2已知直线l1：4x3y60和直线l2：x1，抛物线y24x上一动点P到直线l1和直线l2的距离之和的最小值为_3已知直线yk(x2) (k0)与抛物线C：y28x相交于A、B两点，F为C的焦点若FA2FB，则k_.4(2011镇江模拟)若直线ykx1 (kR)与焦点在x轴上的椭圆1恒有公共点，则t的范围是_5(2010全国)已知抛物线C：y22px(p0)的准线为l，过M(1,0)且斜率为的直线与l相交于点A，与C的一个交点为B，若AM，则p_.二、解答题6（苏锡常镇四市2014届高三5月调研（二）在平面直角坐标系xOy中，已知椭圆的左、右焦点分别为F 与F，圆：（1）设M为圆F上一点，满足，求点M的坐标；（2）若P为椭圆上任意一点，以P为圆心，OP为半径的圆P与圆F的公共弦为QT，（第6题） 证明：点F到直线QT的距离FH为定值7(14分)(2010天津)已知椭圆1(ab0)的离心率e，连结椭圆的四个顶点得到的菱形的面积为4.(1)求椭圆的方程；(2)设直线l与椭圆相交于不同的两点A，B，已知点A的坐标为(a,0)，点Q(0，y0)在线段AB的垂直平分线上，且4，求y0的值8、（2015年江苏高考）如图，在平面直角坐标系中，已知椭圆的离心率为，且右焦点F到左准线的距离为3。 （1）求椭圆的标准方程， （2）过F的直线分别交椭圆于两点，线段的垂直平分线交直线和于点，若，求直线的方程。9、（苏锡常镇四市2015届高三教学情况调研（二）如图，在平面直角坐标系中，四边形的顶点都在椭圆 上，对角线与分别过椭圆的左焦点和右焦点，且，椭圆的一条准线方程为 （1）求椭圆方程； （2）求四边形面积的取值范围直线与圆锥曲线位置关系答案基础检测142. . 3探究点一例1训练1、解（1）因为e，所以c2a2，即a2b2a2，所以a22b2 2分故椭圆方程为1由题意，不妨设点A在第一象限，点B在第三象限由解得A(b，b)又AB2，所以OA，即b2b25，解得b23故a，b 5分（2）方法一：由（1）知，椭圆E的方程为 1，从而A(2，1)，B(2，1)当CA，CB，DA，DB斜率都存在时，设直线CA，DA的斜率分别为k1，k2，C(x0，y0)，显然k1k2从而k1 kCB 所以kCB 8分同理kDB 于是直线AD的方程为y1k2(x2)，直线BC的方程为y1(x2)由解得 从而点N的坐标为(，) 用k2代k1，k1代k2得点M的坐标为(，) 11分所以kMN 1即直线MN的斜率为定值1 14分当CA，CB，DA，DB中，有直线的斜率不存在时，根据题设要求，至多有一条直线斜率不存在，故不妨设直线CA的斜率不存在，从而C(2，1)仍然设DA的斜率为k2，由知kDB此时CA：x2，DB：y1(x2)，它们交点M(2，1)BC：y1，AD：y1k2(x2)，它们交点N(2，1)，从而kMN1也成立由可知，直线MN的斜率为定值1 16分方法二：由（1）知，椭圆E的方程为 1，从而A(2，1)，B(2，1)当CA，CB，DA，DB斜率都存在时，设直线CA，DA的斜率分别为k1，k2显然k1k2直线AC的方程y1k1(x2)，即yk1x(12k1)由得(12k12)x24k1(12k1)x2(4k124k12)0设点C的坐标为(x1，y1)，则2x1，从而x1 所以C(，)又B(2，1)，所以kBC 8分所以直线BC的方程为y1(x2)又直线AD的方程为y1k2(x2)由解得 从而点N的坐标为(，) 用k2代k1，k1代k2得点M的坐标为(，) 11分所以kMN 1即直线MN的斜率为定值1 14分当CA，CB，DA，DB中，有直线的斜率不存在时，根据题设要求，至多有一条直线斜率不存在，故不妨设直线CA的斜率不存在，从而C(2，1)仍然设DA的斜率为k2，则由知kDB此时CA：x2，DB：y1(x2)，它们交点M(2，1)BC：y1，AD：y1k2(x2)，它们交点N(2，1)，从而kMN1也成立由可知，直线MN的斜率为定值1 16分【例2】过点P(1,1)作直线交椭圆1于A，B两点，若线段AB的中点恰为点P，求AB所在直线的方程审题视点 已知弦的中点，常采用“点差法”求弦所在直线的斜率，进而求得直线的方程解设A、B两点的坐标分别为(x1，y1)，(x2，y2)，则1，1，由得.线段AB所在直线的方程为y1(x1)，即x2y30. 中点弦问题常用“点差法”求解在椭圆1中，以P(x0，y0)为中点的弦所在直线的斜率k；在双曲线1中，以P(x0，y0)为中点的弦所在直线的斜率k，在抛物线y22px(p0)中，以P(x0，y0)为中点的弦所在直线的斜率k.【训练2】 椭圆ax2by21与直线xy10相交于A，B两点，C是AB的中点，若AB2，OC的斜率为，求椭圆的方程解设A(x1，y1)、B(x2，y2)，代入椭圆方程并作差得a(x1x2)(x1x2)b(y1y2)(y1y2)0.而1，kOC，代入上式可得ba.再由|AB|x2x1|x2x1|2，其中x1、x2是方程(ab)x22bxb10的两根，故244，将ba代入得a，b.所求椭圆的方程是1.考向四定值(定点)问题【例3】已知椭圆1上的两个动点P，Q，设P(x1，y1)，Q(x2，y2)且x1x22.(1)求证：线段PQ的垂直平分线经过一个定点A；(2)设点A关于原点O的对称点是B，求PB的最小值及相应的P点坐标审题视点 (1)由x1x22可得PQ的中点横坐标，引入参数PQ中点的纵坐标，先求kPQ，利用直线PQ的方程求解(2)建立PB关于动点坐标的目标函数，利用函数的性质求最值(1)证明P(x1，y1)，Q(x2，y2)，且x1x22.当x1x2时，由，得.设线段PQ的中点N(1，n)，kPQ，线段PQ的垂直平分线方程为yn2n(x1)，(2x1)ny0，则直线恒过一个定点A.当x1x2时，线段PQ的中垂线也过定点A.综上，线段PQ的垂直平分线恒过定点A.(2)解由于点B与点A关于原点O对称，故点B.2x12，2x22，x12x20,2，PB22y(x11)2，当点P的坐标为(0，)时，PBmin. 以直线与圆锥曲线的位置关系为背景的证明题常见的有：证明直线过定点和证明某些量为定值而解决这类定点与定值问题的方法有两种：一是研究一般情况，通过逻辑推理与计算得到定点或定值，这种方法难度大，运算量大，且思路不好寻找；另外一种方法就是先利用特殊情况确定定点或定值，然后验证，这样在整理式子或求值时就有了明确的方向【训练3】 (2011四川)如图过点C(0,1)的椭圆1(ab0)的离心率为.椭圆与x轴交于两点A(a,0)、B(a,0)过点C的直线l与椭圆交于另一点D，并与x轴交于点P.直线AC与直线BD交于点Q.(1)当直线l过椭圆右焦点时，求线段CD的长；(2)当点P异于点B时，求证：为定值(1)解由已知得b1，解得a2，所以椭圆方程为y21.椭圆的右焦点为(，0)，此时直线l的方程为yx1，代入椭圆方程化简得7x28x0.解得x10，x2，代入直线l的方程得y11，y2，所以D点坐标为.故CD .(2)当直线l与x轴垂直时与题意不符设直线l的方程为ykx1(k0且k)代入椭圆方程化简得(4k21)x28kx0.解得x10，x2，代入直线l的方程得y11，y2，所以D点坐标为.又直线AC的方程为y1，直线BD的方程为y(x2)，联立解得因此Q点坐标为(4k,2k1)又P点坐标为.所以(4k,2k1)4.故为定值自主检测：1 yx22解析由抛物线y24x知直线l2为其准线，焦点为F(1,0)由抛物线的定义可知动点P到直线l2的距离与P到焦点F(1,0)的距离相等，所以P到直线l1的距离与P到焦点F(1,0)的距离之和的最小值为焦点F(1,0)到直线l1的距离(如图)，则d2.3. 4.1,5)5.267解(1)由e，得3a24c2.再由c2a2b2，得a2b.由题意可知2a2b4，即ab2.解方程组得所以椭圆的方程为y21.(4分)(2)由(1)可知A(2,0)，且直线l的斜率必存在设B点的坐标为(x1，y1)，直线l的斜率为k，则直线l的方程为yk(x2)于是A，B两点的坐标满足方程组由方程组消去y并整理，得(14k2)x216k2x(16k24)0.由根与系数的关系，得2x1，所以x1，从而y1.设线段AB的中点为M，则M的坐标为(，)(6分)以下分两种情况讨论：当k0时，点B的坐标是(2,0)，线段AB的垂直平