湖南湘中名校教研教改联合体高三联考数学文

“ 湖南省湘中名校教研教改联合体” 2 0 1 7届高三1 2月联考数学( 文) 参考答案、 提示及评分细则 一、 选择题: 本大题共1 2小题, 每小题5分。 题号 1234567891 01 11 2 答案 AADDBAACBCBA 二、 填空题: 本题共4小题, 每小题5分. 1 3 .-1+3 i 5 1 4 . 3 2 1 5 . 2+2 2,+) 1 6 . 7 3, 1 2 5 三、 解答题: 解答应写出文字说明、 证明过程或演算步骤. 1 7 .解: (1)f(x)= c o sx(c o sx+ 3 s i nx)= c o s 2 x+ 3 s i nxc o sx= 1 + c o s 2x 2 + 3 2s i n 2 x=1 2+ s i n ( 2x+ 6) . 当s i n(2x+ 6) =-1时,f(x) 取最小值为-1 2. ( 6分) ( 2)f(C)=1 2+s i n ( 2C+ 6) =1,s i n(2C+ 6) =1 2, C(0,) ,2C+ 6( 6, 1 3 6 ) ,C= 3. SA B C=1 2 a bs i nC=3 3 4 ,a b=3, 由余弦定理得a 2+ b 2-2 a bc o s 3=7 , (a+b) 2=1 6即a+ b=4,a+b+c=4+ 7, 所以A B C的周长为4+ 7. ( 1 2分) 1 8 .解: (1) 由频率直方图得: 最大需求量为1 5 0的频率=0. 0 1 52 0=0. 3. 这个开学季内市场需求量的x众数估计值是1 5 0; 需求量为 1 0 0,1 2 0) 的频率=0. 0 0 52 0=0. 1, 需求量为 1 2 0,1 4 0) 的频率=0. 0 12 0=0. 2, 需求量为 1 4 0,1 6 0) 的频率=0. 0 1 52 0=0. 3, 需求量为 1 6 0,1 8 0) 的频率=0. 0 1 2 52 0=0. 2 5, 需求量为 1 8 0,2 0 0) 的频率=0. 0 0 7 52 0=0. 1 5. 则平均数x=1 1 00. 1+1 3 00. 2+1 5 00. 3+1 7 00. 2 5+1 9 00. 1 5=1 5 3.(5分) ( 2) 因为每售出1盒该产品获利润5 0元, 未售出的产品, 每盒亏损3 0元, 所以当1 0 0x1 6 0时, y=5 0 x-3 0(1 6 0-x)=8 0 x-4 8 0 0, ( 7分) 当1 6 0x2 0 0时, y=1 6 05 0=8 0 0 0, ( 9分) 所以y= 8 0 x-4 8 0 0,1 0 0x1 6 0 0 8 0 0 0,1 6 0x 2 0 0 . ( 3) 因为利润不少于4 8 0 0元所以 , 解得8 0 x-4 8 0 04 8 0 0, 解得x1 2 0. 所以由( 1) 知利润不少于4 8 0 0元的概率p=1-0. 1=0. 9. ( 1 2分) 1 9 .(1) 证明: 因为Q D平面A B C D,P AQ D, 所以P A平面A B C D. 又因为B C平面A B C D, 所以P AB C, 又因为A BB C, 且A BP A=A, 所以B C平面P A B, 又因为B C平面Q B C, 所以平面P A B平面Q B C.(6分) 】)页 3 共(页 1 第 案答考参卷数文体合联改教研教校名中湘省南湖【 ( 2) 面Q D B将几何体分成四棱锥B - P AD Q和三棱锥Q - B D C两部分, 过B作B OAD, 因为P A平面A B C D,B O平面A B C D, 所以P AB O, 又因为ADO B,P AAD=A, 所以B O平面P AD Q, 即B O为四棱锥B - A P Q D的高, 并且B O= 3,SP A D Q=3, 所以VB - P A D Q=1 3B O= 3, 因为Q D平面A B C D, 且已知Q D=2, B C D为顶角等于1 2 0的等腰三角形,B D=2,SB D C= 3 3 , 所以VQ - B D C=1 3 SB D CQ D=2 3 9 , 所以组合体Q P A B C D的体积为3+2 3 9 =1 1 3 9 . ( 1 2分) 2 0 .解: (1)直线l:y=k x+1经过抛物线C:x 2=p y的焦点为F, F(0,1) ,p=2 直线y=k x+1代入x 2=4 y得x 2-4 k x-4=0, 设A(x1,y1) ,B(x2,y2) 则x 1+x2=4k,x1x2=-4,得无论A B怎样运动, 直线AD的斜率与B D的斜率互为相反数. 无论x1、x2怎样变化, 总有 x 2 1 4- b x1 + x 2 2 4- b x2 =0, 即b=x 1x2 4 . x1x2=-4,b=-1. ( 5分) ( 2) 直线l 垂直于x轴时,A 、B 两点关于x轴对称, F (-2,0) ,要使A D F =B D F , 则D 必在x轴上, 设点D (a,0) 直线l 不垂直于x轴时, 设l : y=k(x+2) , 设A(x1,y1) ,B(x2,y2). l :y=k(x+2) 代入x 2 5+ y 2=1得( 1+5k 2) x 2+2 0 k 2 x+2 0k 2-5=0. x1+x2=-2 0 k 2 1+5k 2,x1x2= 2 0k 2-5 1+5k 2 A D F =B D F ,直线A D 的斜率与B D 的斜率互为相反数. 即 k(x1+2) x1-a + k(x2+2) x2-a =0 a=2 x1x2+2(x1x2) x1+x2+4 = 2-2 0 k 2 1+5k 2+2 2 0k 2-5 1+5k 2 -2 0k 2 1+5k 2+4 =-5 2, 以上每步可逆,存在定点D (-5 2, 0) , 使得A D F =B D F . ( 1 2分) 2 1 .解: (1) 由已知得, f ( x)= l nx+1, 且f(x) 在x=e处的切线与直线l平行, 所以 , 解得 f ( e)= l ne+1=2=k-3, 解得k=5. ( 2分) ( 2) 由于至少存在一个x01,e 使f(x0)(k-3)x-k+2在x1时恒成立, 即k0在x1时恒成立. 所以m(x) 在(1,+) 上单调递增, 且m(3)=1- l n 30, 所以在( 1,+) 上存在唯一实数x0(x0(3,4) ) 使m(x)=0. 当1xx 0时,m(x)0即F (x)0, 所以F(x) 在(1,x 0) 上单调递减, 在(x0,+) 上单调递增. 故F(x) m i n=F(x0)= x0l nx0+3x0-2 x0-1 =x 0(x0-2)+3x0-2 x0-1 =x0+2(5,6). 故kx 0+2(kZ) , 所以k的最大值为5. ( 1 2分) 选做题: 2 2 .解: (1)l的普通方程为y= 3(x-1) ,C1的普通方程为x 2+ y 2=1, 联立方程组 y= 3(x-1) x 2+ y 2 =1 解得l与C1的交点为A(1,0) ,B( 1 2, - 3 2 ) , 则|A B|=1. ( 5分) ( 2)C2的参数方程为 x=1 2c o s y= 3 2s i n ( 为参数) , 故点P的坐标是( 1 2c o s ,3 2s i n ) , 从而点P到直线l的距离是d= |3 2c o s - 3 2s i n - 3 | 2 = 3 4 2 s i n( - 4) +2 , 由此当s i n( - 4) =-1时,d取得最小值, 且最小值为 6 4 (2-1).( 1 0分) 2 3 .解: (1) 当a=1时,f(x)=|x-2 |+| 2x+1 |. 由f(x)5得|x-2 |+| 2x+1 |5. 当x2时, 不等式等价于x-2+2x+15, 解得x2, 所以x2; 当-1 2 x2时, 等价于2-x+2x+15, 即x2, 所以x; 当x-1 2时, 不等式等价于2- x-2x-15, 解得x-4 3, 所以x- 4 3. 故原不等式的