最优估计之线性连续系统卡尔曼滤波

,最优估计,第8章线性连续系统卡尔曼滤波,离散系统取极限的推导方法卡尔曼滤波方程新息推导法线性连续系统滤波器的一般形式滤波的稳定性及误差分析,研究连续系统的必要性：实际的物理系统往往是连续的，故离散系统的描述不能完全代替连续时间系统。,问题：,4,8.1离散系统取极限的推导方法,推导方法思想：当采样稠密或采样间隔趋于零时，取离散系统的极限，将离散系统的结果转化为连续系统的公式。,步骤1：建立(8.1.1)的等效离散线性系统数学描述,由5.3知，等效模型：,利用离散线性系统卡尔曼滤波方程(132页)及下列等效关系：,得等效离散线性系统的卡尔曼滤波方程：,步骤2：求等效离散模型的卡尔曼滤波方程,(8.1.3),(8.1.4),(8.1.5),(8.1.6),步骤3：对离散卡尔曼滤波公式取极限,-(8.1.8)最优滤波方程,线性连续系统的卡尔曼滤波方程，是一个一阶微分方程。,-增益矩阵,-估计误差方差,11,线性连续系统卡尔曼滤波求解公式,注：连续系统的卡尔曼滤波估计问题归结为求解微分方程问题；矩阵黎卡提微分方程很难求解。,12,线性连续系统卡尔曼滤波方程,13,两点说明：,16,8.2卡尔曼滤波方程新息推导法,新息的性质：新息是一个与测量噪声有相同统计值的白噪声过程。,新息：,17,推导过程,步骤1：构造估计量的函数形式,步骤2：对上述函数关于时间求导,步骤3：确定增益阵K(t),步骤4：求P(t)的导数,与极限推导法的结果一致。,21,连续线性定常系统的卡尔曼滤波,若系统模型中的各参数为常数，即,当估计过程达到稳态时，黎卡提微分方程中的与时间无关，其微分为零，则,滤波方程为：,例,二阶系统状态及观测方程：,噪声及初值：,求卡尔曼滤波方程及增益、方差矩阵方程。,由滤波公式，得：,将上式展开，有：,25,8.3线性连续系统卡尔曼滤波器的一般形式,系统模型：,w(t)和v(t)均为零均值白噪声过程，且,建立与式(8.3.1)(8.3.2)等效的线性离散系统的数学模型：,-(8.3.1),-(8.3.2),建立与式(8.3.1)(8.3.2)等效的线性离散系统的数学模型：,含控制项，过程噪声和观测噪声相关。,是零均值分段常值白噪声过程，其协方差阵分别为：,式中：,将下列代换关系：,带入离散卡尔曼滤波公式(6.3.4a)(6.3.4e)，得：,(8.3.8a),(8.3.8b),(8.3.8c),(8.3.8d),(8.3.8e),(8.3.8f),(8.3.8d),(8.3.9),(8.3.10),(8.3.11),(8.3.15),31,线性连续系统卡尔曼滤波的一般形式：,(8.3.16a),(8.3.16b),(8.3.16c),32,8.4滤波的稳定性及误差分析,8.4.1滤波器的稳定性,研究滤波的稳定性，只需研究滤波方程对应齐方程的稳定性。,连续线性系统的能控能观性：,滤波稳定性定理,稳定性定理表明，当测量时间足够长，滤波系统的最优滤波值最终与初始状态如何选取无关。可以证明，滤波估计误差的方差也将最终与初始误差方差阵的选取无关，而趋于稳态值。滤波增益矩阵也具有这种渐进特性。,例,系统的状态方程和观测方程如下：,判断滤波系统的稳定性。,则可控性矩阵：,状态一致完全可控,则可观性矩阵：,状态一致完全可观,8.4.2滤波器估计误差分析,当数学模型不准确、噪声统计特性不准确、