湖南长沙第一中学高一数学暑期综合检测4PDF

长沙市一中高长沙市一中高 2015 级数学综合检测卷（级数学综合检测卷（4） 一、选择题一、选择题（共共 12 小题，每小题小题，每小题 5 分，共分，共 60 分，在每小题给出的四个选项中，只有一项分，在每小题给出的四个选项中，只有一项 是符合题目要求的。是符合题目要求的。 ） 1.函数 2 2 3 3,2 log1 ,2 x x f x xx ，若 1f a ，则a的值是（ ） A2 B1 C1或2 D1或2 2.圆: 22 4210 xyxy 与圆: 22 2610 xyxy 的位置关系是（ ） A相交 B相离 C相切 D内含 3 已知角的始边与x轴非负半轴重合， 终边在射线2 (0)yx x上， 则cos2( ) A. 5 3 B. 5 4 C. 3 5 D 4 5 . 4.已知向量，若，则 的值为（ ） A.2 B.3 C.4 D.5 5.数列 n a的前n项和为 n S，若 1 1a ， 1 3(1) nn aS n ，则 5 a等于( ) A. 3 3 4 B. 4 3 4 C. 4 4 D. 5 4 6.把正方形CD沿对角线C折起，当以，C，D四点为顶点的三棱锥体积最 大时，直线D和平面C所成的角的大小为（ ） A90 B60 C45 D30 7已知锐角三角形的边长分别为3，4，x，则x的取值范围是( ) A B. C D 8已知 l 为 60 ， 内一点 P 在 内的射影为 P ，若2PP ，则 P 到 的距离是 ( ) A2 B. 3 C1 D. 3 2 9 已知0, 2 2 ， 1 cos() 43 ， 3 sin() 243 ， 则cos( 2) （ ） A 3 3 B 3 3 C 6 9 D. 6 9 (3,1)a (1,3)b ( ,7)ck()acbk 10.在ABC中，A60，b1，其面积为3，则 sinsinsin abc ABC 等于( ) A33 B 3 392 C 3 38 D 2 39 11. 设数列 n a的前 n 项和为 n S，令 12n n SSS T n ，称 n T为数列 1 a， 2 a， n a 的 “理想数” ， 已知数列 1 a， 2 a， ， 502 a的 “理想数” 为 2012， 那么数列 10， 1 a， 2 a， ， 502 a的“理想数”为 （ ） A2016 B2018 C2020 D2022 12.定义区间, a b、, a b、, a b、, a b的长度均为dba，用 x表示不超过x的 最大整数， 例如3.23， 2.33， 记xxx， 设 f （x） x x， 1g xx， 若用d表示不等式 f xg x解集区间的长度，则当03x时有（ ） A1d B2d C3d D4d 二、填空题二、填空题（共共 4 小题小题，每小题每小题 5 分分，共共 20 分。分。 ） 13.直三棱柱 111 CC 中， 1 C ，且异 面直线 1 C与 1 所成的角为60，则C 等于 14在ABC中，sin:sin:sin2:3:4ABC ，则cosC的值为 15. 已知数列 n a的首项为 2,数列 n b为等比数列且 1n n n a b a , 若 1112 2b b ,则 23 a_. 16.设 f x是定义在R上的奇函数， 且当0 x时， 2 f xx， 若对任意的,2xa a， 不等式31f xafx恒成立，则实数a的取值范围是 三、 解答题三、 解答题 （共共 6 小题小题， 共共 70 分分， 解答过程应写出必要的文字说明， 证明过程或演算步骤，解答过程应写出必要的文字说明， 证明过程或演算步骤， 并写在答题卷相应的位置上。并写在答题卷相应的位置上。 ） 17. 已知向量 33 (cos,sin) 22 xx a ，(cos, sin) 22 xx b 且0, 2 x . （1）求a b及ab； （2）若( )3sinf xa babx ，求( )f x的最大值和最小值. 18. （满分 12 分） 某蔬菜基地种植西红柿， 由历年市场行情得知， 从二月一日起的300天内， 西红柿场售价与上市时间的关系如图一的一条折线表示； 西红柿的种植成本与上市时间的关 系如图二的抛物线段表示 （1）写出图一表示的市场售价与时间的函数关系式 pf t；写出图二表示的种植成本与 时间的函数关系式 Qg t； （2）认定市场售价减去种植成本为纯收益，问何时上市的西红柿纯收益最大？（注：市场 售价各种植成本的单位：元/ 2 10kg，时间单位：天） 19. 已知ABC的三内角, ,A B C所对的边分别是, ,a b c，ABC的面积 222 4 abc S 且 3 sin 5 A. （1）求sinB； （2）若边5c，求ABC的面积S. 20.（满分 12 分）如图所示，正四棱锥CD中，为底面正方形的中心，侧棱与 底面CD所成的角的正切值为 6 2 （1）求侧面D与底面CD所成的二面角的大小； （2）若是的中点，求异面直线D与所成角的正切值； （3）问在棱D上是否存在一点F，使F 侧面C，若存在，试确定点F的位置；若 不存在，说明理由 21.（满分 12 分）已知圆C: 222 2440 xyxmym，圆 1 C : 22 25xy，以及直 线: l34150 xy （1）求圆 1 C : 22 25xy被直线l截得的弦长； （2）当m为何值时，圆C与圆 1 C的公共弦平行于直线l； （3）是否存在m，使得圆C被直线l所截的弦中点到点2,0的距离等于弦长度 的一半？若存在，求圆C的方程；若不存在，请说明理由 22.设函数 fn(x)xnbxc(nN，b，cR) (1)设 n2，b1，c1，证明：fn(x)在区间 1 2，1 内存在唯一的零点； (2)设 n2，若对任意 x1，x21，1，有|f2(x1)f2(x2)|4，求 b 的取值范围； (3)在(1)的条件下，设 xn是 fn(x)在 1 2，1 内的零点，判断数列 x2，x3，xn，的增减性 参考答案参考答案 选择题：ACADA CBCCB BA 13. 90 o 14. 1 4 15. 4096 16. , 5 17. 解： （1） 33 coscossin( sin)cos2 2222 xxxx a bx 2 22cos24cosabxx 0, 2 x cos0 x 2cosabx （2）由（1）知：( )cos23 2cossinf xxxxcos23sin22cos(2) 3 xxx 0, 2 x 4 2, 333 x 1 cos(2) 1, 32 x min 2( )2 33 xxf x 当即时，； max 2=0( )1 33 xxf x 当即时， 18.解： （1）由图一可得市场售价与时间的函数关系为 300,0200 2300,200300 tt f t tt 由图二可得种植成本与时间的函数关系为 21 150100 200 g tt，0300t （2）设t时刻的纯收益为 h t，则由题意得 h tf tg t， 即 2 2 11175 ,0200 20022 171025 ,200300 20022 ttt h t ttt 当0200t 时，配方整理得 21 50100 200 h tt 所以，当50t 时， h t取得区间0,200上的最大值100； 当200300t 时，配方整理得 21 350100 200 h tt ， 即从二月一日开始的第50天时，上市的西红柿纯收益最大 19. 解： （1）由余弦定理有 222 2coscababC，所以 222 2cosabcabC 则 222 cos 42 abcabC S ，又 1 sin 2 SabC cossin,CCtan1,C 4 C 32 sin 52 A在ABC中0 4 A 或 3 4 A ，但ABC 所以0 4 A 所以 2 2 34 cos1 sin1 55 AA 24237 2 sinsinsincoscossin 444252510 BAAA （2）由正弦定理有 sinsin cb CB ，又5c，所以 5 , 7 2 sin 4 10 b 得7b 11321 sin5 7 2252 ScbA 20.解： （1）取D中点，连接，依条件可知 D，D，则为所求二面角D 的平面角 面CD， 为侧棱与底面CD所成的角 6 tan 2 设a ， 2 2 a ， 3 tan 2 a ， tan3 60 （2）连接，/ D ， 为异面直线D与所成的角 D， ， 平面D 又平面D， 22 115 DD 224 a ， 2 10 tan 5 （3）延长交C于，取中点G，连G，G，G C，C，C平面 平面 平面C 又，60 ，为正三角形 G 又平面平面C，G平面C 取中点F，G/F， 1 FG 2 ，F/G F 平面C点F为D的四等分点 21.解： （1）因为圆 1 C : 22 25xy的圆心0,0，半径5r ， 所以，圆心到直线: l34150 xy的距离d： 22 3 04 0 15 3 34 d ， 由勾股定理可知，圆 1 C : 22 25xy被直线l截得的弦长为 22 22 25 98rd （2）圆C与圆 1 C的公共弦方程为 2 244250 xmym， 因为该公共弦平行于直线l，令 24 34 m ，解得：1m 经检验1m 符合题意，故所求1m ； （3）假设这样实数m存在设弦中点为，由已知得2 ， 即 ，所以点2,0在以弦为直径的圆上 设以弦为直径的圆方程为： 222 24434150 xyxmymxy， 则 22 22 243 2 150 2344 34150 22 m m 2 490 1625240 m m 消去得： 2 1001442160mm， 2 2536540mm 因为 2 364 25 5436 3625 60 所以方程 2 2536540mm无实数根，所以，假设不成立，即这样的圆不存在 22. 【解析】(1)b1，c1，n2 时，fn(x)xnx1. fn 1 2 fn(1) 1 2n 1 2 10，f n(x)在 1 2，1 上是单调递增的， fn(x)在 1 2，1 内存在唯一零点 (2)当 n2 时，f2(x)x2bxc. 对任意 x1，x21，1都有|f2(x1)f2(x2)|4 等价于 f2(x)在1，1上的最大值与最小 值之差 M4.据此分类讨论如下： ()当|b 2|1，即|b|2 时，M|f2(1)f2(1)|2|b|4，与题设矛盾 ()当1b 20，即 0b2 时，Mf2(1)f2 b 2 b 21 2 4 恒成立 ()当 0b 21，即2b0 时，Mf2(1)f2 b 2 b 21 2 4 恒成立 综上可知，2b2. (3)解法一：设 xn是 fn(x)在 1 2，1 内的唯一零点(n2)，fn(xn)x n nxn10， fn1(xn1)xn 1 n1xn110，xn1 1 2，1 ， 于是有 fn(