湖南长沙雅礼中学高三数学第六次月考理PDF新人教A

2012014 4 届雅礼中学高三第届雅礼中学高三第六六次月考次月考 数学试卷数学试卷（理科理科） 一一选择题选择题：本大题共本大题共 8 8 小题小题，每小题每小题 5 5 分分，共共 4 40 0 分分，在每小题给出的四个选项中在每小题给出的四个选项中，只有只有 一项一项是是符合要求的符合要求的 1. 函数 0.5 1logyx的定义域是（ ） A(0,0.5 B0.5,+) C(0,2 D2,+)（ ） 2. 在ABC 中，A=45, AC=2, BC=2, 则角 B 的大小为（ ） A30 B60 C30 或 150 D 60或 120 3. 已知三个正态分布密度函数 2 2 () 2 1 ( )e 2 i i x i i x （xR，1 2 3i ，）的图象 如图所示，则（ ） A 123 ， 123 B 123 ， 123 C 123 ， 123 D 123 ， 123 4. 给出下列命题: 3 ,xxx R； 若pq是真命题,则pq也是真命题； 命题“ 32 ,210 xxx R”的否定是“ 22 000 ,210 xxx R”. 命题“若 22 ambm，则ab”的逆命题是真命题 其中真命题的个数是（ ） 1 2 3 4 5. 为了得到函数 ysin(2x 6 )的图像，可以将函数 ycos2x 的图像（ ） A向右平移 6 个单位长度 B向左平移 3 个单位长度 C向左平移 6 个单位长度 D向右平移 3 个单位长度 6. 已知椭圆 22 22 1(0) yx ab ab 的右焦点为 F， 上顶点为 B, 右顶点为 A, M 是椭圆上一点， 满足 MFFA， 如果OMA(O 为原点)的面积是OMB 面积的 2 倍， 则椭圆的离心率为 （ ） A 1 2 B 2 2 C 3 3 D 5 5 7. 一个多面体的三视图如下，则此多面体外接球的 表面积是（ ） A3 B12 C6 D43 O y x )( 1 xy)( 2 xy )( 3 xy O E D F P 8. 设函数( )f x的定义域为 D， 如果对于任意的 1 xD， 存在唯一的 2 xD 使 12 ()()f xf x c（c 为常数）成立，则称函数( )yf x在 D 上“与常数 c 关联”. 现有函数：2yx；tanyx； 2 logyx； 1 (0) 0 (0) x yx x ，其中满足在其定义 域上“与常数 4 关联”的所有函数是（ ） （A） （B） （C） （D） 二二填空题填空题：本大题共本大题共 7 小题小题，每小题每小题 5 分分，共共 35 分分把答案填在把答案填在答题卡答题卡 对应题号后的横对应题号后的横 线上线上 （一）选做题（请考生在 9、10、11、三题中任选两题作答，如果全做，则按前两题记分） 9.(几何证明选讲选做题) 如图，已知P是O?外一点，PD为O?的切线，D为切点， 割线 PEF 经过圆心O，若12,4 3PFPD,则EFD 的度数为30 10.(极坐标系与参数方程选做题) 若曲线sincos0a关于直线 3 () 4 R对称，则 a= 1 . 11.（不等式选讲选做题） 若不等式34xb的解集中的整数有且仅有1，0，则b的取值范围是 1，2 . （二）必做题 12 6 2 1 x x 展开式中 x3的系数为 20 . 13如右图，给出了一个程序框图，其作用 是输入x的值，输出相应的y的值，若要 使输入的x的值与输出的y的值相等， 则这样的x的值的集合集合为0,1,3 . 14设向量 、a b c 满足| | 1ab , a b 1 = 2 ， ,ac bc = 0 60，则c 的最大值等于 2 15已知 i 为虚数单位, M=z|z=cos +(4m2)i,2m2,R, N=z|m+(+2sin)i, m, R,. (1)集合 M 中的复数的模的最大值是17； (2)若 MN,则的取值范围是 2,6 . 16已知实数 a ,b,c 满足 abc， 6 9 abc abbcca . (1)(b5)(c5)的最小值是 15 4 ； （2）下列命题中：0a1，1b3，3c4，全部真命题的序号是,. 解（1）由条件可知 b+c=6a,bc=9a(6a)=(a3)2,因此 (b5)(c5)=bc5(b+c)+25=(a3)25(6a)+25=a2a+4= 2 11515 244 a . 开始 y输出 结束 2x ？ x输入 2 yx 5x ？ 23yx 1 y x 1图 是 否 是 否 B F E D C A P 当 a= 1 2 时， 111121 24 25 1121 4 4 bcb bc c 满足 abc.故(b5)(c5)的最大值是 15 4 . (2)令 f (x)=(xa)(xb)(xc),则 f (x)=x36x2+9xabc. f (x)=3(x1)(x3),f极小值=f (3)=abc=f (0), f极大值=f (1)=4abc=f (4), 结合 y= f (x)的图象，可知全部真命题的序号是,. 三三解答题解答题：本大题共本大题共 6 小题小题，共共 75 分分解答应写出文字说明解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤证明过程或演算步骤 17. （本小题满分 12 分） 正数数列 n a中， 1 3a ， 1 1 nn aba （b 是常数，12 3， ， ，n ） ， 且 123 1-1，+1，aaa 成等差数列 （1）求 b 的值； （2）求数列 n a的前 n 项和 Sn 解： （1） 由 a1=3，可知：a2=3b+1, a3=3b2+b+1， 2 分 因为 123 1-1，+1，aaa 成等差数列，所以 2 , 3b+2, 3b2+b 成等差数列， 3b2+b+2=2(3b+2)解得 b=2， 或 b= 1 3 4 分 当 b= 1 3 时，a2=0，不符合题意，舍去，故 b=2 6 分 （2）由 an+1=2an+1,可知 an+1+1=2(an+1),因此数列an+1是首项为 4，公比为 2 的等比数列. 11 14221 nn nn aa . 9 分 2312 4 12 22224 12 n nn n Snnn . 12 分 注： （2）也可先猜 an,再用数学归纳法证明. 猜对给 1 分，用数学归纳法证明正确给 2 分. 18 （本小题满分 12 分） 在如图所示的多面体中，已知正方形 ABCD 和直角梯形 BDEF 所在的平面互相垂直， EFBD ，EDBD，AD2 ，EF =ED =1， 点 P 为线段 EF 上任意一点. （1）求证： CFAP； （2）求二面角 BAFE 的余弦值 解法 1： （1）平面 BDEF平面 ABCD，EDBD， ED平面 ABCD 2 分 连接 AC 交 BD 于点 O，连接 FO， 正方形 ABCD 的边长为2，AC=BD=2； 在直角梯形 BDEF 中，EF = ED =1， O 为 BD 中点，FOED，且1FO ； 易求得2 CFAF，3 CEAE， 由勾股定理知 CFEF，AFEF 由2 CFAF，AC= 2 可知 CFAFEFAF=F，CF平面 AEF 点 P 为线段 EF 上任意一点，AP 平面 AEF CFAP6 分 P A B C D E O F M N Q z x y B A C D E F P （2）取 AF 中点 M，AE 中点 N，连接 BM、MN、BN， AB=AF=BF=2，BMAF，又 MNEF ，AFEF MNAF BMN 是二面角EAFB 的平面角 9 分 易求得 ? 2 6 2 3 ABBM， 2 1 2 1 EFMN，设 AD 中点为 Q，则 NQED， NQBQ，可求得 4 11 222 BQNQBN， 在BMN 中，由余弦定理求得，cosBMN 3 6 二面角EAFB 的余弦值为 3 6 . 12 分 解法 2：空间向量方法. （1）平面 BDEF平面 ABCD，EDBD，ED平面 ABCD 2 分 故可按如图的方式建立空间直角坐标系. 求得各占的坐标如下：A(2,0,0), B(2,2,0), C(0,2,0), E(0,0,1), F( 2 2 , 2 2 ,1), P(p,p,1)(0p 2 2 ). 22 (,1),(2, ,1) 22 CFAPpp 4 分 22 (2)10 22 CFAPpp CFAP 6 分 (2)设平面 BAF 的法向量为 111 (,)nxy z ，平面 AFE 的法向量为 222 (,)mxyz . 求得 22 (0,2,0),(,1) 22 ABAF , 1 111 20 0 , 22 00 22 y n AB n AFxyz 可取( 2,0,1)n . 8 分 求得 22 (2,0,1),(,0) 22 AEEF , 22 22 20 0 , 22 00 22 xz n AE n EFxy 可取(1, 1,2)m . 10 分 2 26 cos, 3 | |34 n m n m nm ， 11 分 易知：二面角 BAFE 为钝角， 故二面角 BAFE 的余弦值 6 3 . 12 分 19. （本小题满分 12 分） 已知一颗均匀的立方体骰子的六个面分别标有数字 1，2，3，4，5，6.连续抛掷该骰 子，设各次抛掷相互独立，每次抛掷，每面出现的概率相同. 令第 i 次得到的点数为 ai，若 存在正整数 k，使 a1 + a2 +ak = 6，则称 k 为你的幸运数字 （1）求你的幸运数字为 4 的概率； （2）若 k = 1，则你的得分为 6 分；若 k = 2，则你的得分为 4 分；若 k = 3，则你的得 分为 2 分；若抛掷三次还没找到你的幸运数字,则记你的得分为 0 分求得分 X 的分布列和 数学期望 解解： （1）设“连续抛掷 k 次骰子，和为 6”为事件 A，k=4 时， 则它包含事件A1，A2，其中 A1：四次中恰好两次为 1，两次为 2；A2：四次中恰好一次为 3，三次为 12 分 A1，A2为互斥事件，则 k = 4 的概率 P(A) = P(A1) + P(A2) = 2434 44 11105 C ( )C ( ) 666666648 6 分 （2）P(X=6) = 1 6 ， P(X =4) = 5 36 ， P(X =2) = 5 108 ， P(X =0) = 15535 1 63610854 的分布列分 X 6 4 2 0 P 1 6 5 36 5 108 35 54 EX=6 1 6 +4 5 36 +2 5 108 +0 35 54 = 89 54 12 分 20. （本小题满分 13 分） 根据长沙市建设大河西的规划， 市政府拟在咸嘉湖建立西湖生态文化公园. 如图是某个设计 院提交的一个方案.此方案利用湖中半岛 B 建一条长为32km的观光带 AB， 同时建一条连 接观光带和湖岸的长为 2km的观光游廊 BC，且 BC 与湖岸 MN（湖岸可看作是直线）的夹 角为 60， BA 与 BC 的夹角为 150， 并在湖岸上的 D 处建一个观光亭， 设 CDxkm(1x4). （1）用 x 分别表示 tanBDC 和 tanADM； （2）试确定观光亭 D 的位置，使得在观光亭 D 处观赏来源:学*科*网 Z*X*X*K 观光带 AB 的视觉效果最佳（即ADB 最大）. A B C D 湖岸 60 150 湖 面 观光带 观光游廊 湖 面 M N 10 分 【解解】（1）设湖岸线为 l，过点 A、B 分别作l的垂线， 垂足分别为 E、F，延长 AB 交l于点 G. 因为 BC2， BCF60，则sin603BFBC ，cos601CFBC ， 因为 CDx1，则 DFCDCFx1.所以 3 tan 1 BF BDC DFx . 3 分 因为ABC150，则CBG30，又BCF60， 则BGC30，所以2 3 sin30 BF BG .因为 AB2 3， 则 AGABBG4 3.所以 AEAGsin302 3， GEAGcos306.又 GCBC2，则 CEGEGC4， 因为 CDx4，则 DECECD4x. 所以 2 3 tan 4 AE ADM DEx 6 分 （2）设ADB= .则 2 32 3 3(2) 14 tantan()(14) 51032 3 1 1 4 x xx BDFADEx xx xx 8 分 令 tan=f (x)= 2 3(2) (14) 510 x x xx ,则 法 1： 2 2 2222 3(420)3(510)(2)(25) ( ) (510)(510) xxxxxx fx xxxx 10 分 由( )0fx，知22 6()22 6(1,4)xx 舍，或. 1x0, f (x)为增函数； 22 6 x4 时，f (x)0，都有：ln(1+x)0 时, f (x)0, f (x)为增函数,此时 f (x)f (0)=0,矛盾. （2 分） 当 0a1 时，f (x)=0,有解 x1= 1 1, a 当 0f (0)=0,矛盾. （3 分） 当 a1 时， g(x)=0,有解 x2= 1 1,ea 当 0xx2时， g(x)0, 函数 g(x) 在区间(0, x2)上为减函数,此时 g (x) g (0)=0,矛盾. (4 分) 当 a=1 时， f (x)= 1 1x 0,故函数 f (x) 在区间(