湖南高三数学信息卷二

? ? ? ?届 高 三 数 学 信 息 卷 ? 二 ? ? ? 本试卷分第?卷? 选择题? 和第?卷? 非选择题? 两部分? 共? ? ?分?考试用时? ? ?分钟? 第?卷? 选择题? 共? ?分? 一? 选择题? 本大题共?小题? 每小题?分? 共? ?分?在每小题给出的四个选项中? 只有一项是 符合题目要求的? ?若复数 ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ?为虚数单位? 是纯虚数? 则角?的值为 ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ?设集合? ? ? ? ? ? ? ? 则? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ?函数? ? 图象的对称中心为 ? ?一空间几何体按比例绘制的三视图如图所示? 单位? ? 则该几何体的表面积? 单位? ? 槡槡槡槡? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? 第?题图 ? 第?题图 ?若如图所示的程序框图输出的?是? ? ? 则条件?可为 ? ?如图? 圆? ? 内的正弦曲线? ? ?与轴围成的区域 记为? 图中阴影部分? ? 随机往圆?内投一个点? 则点落在区域 ?内的概率是 ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ?如图? 将? ? ?的直角三角板? ?和? ? ?的直角三角板? ? ?拼在一 ?页 ? 共?页 ? 第 ? ?二息信?理?南湖?学数?三高?考月? 起组成平面四边形? ? ? ? 其中? ? ?的直角三角板的斜边? ?与? ? ?的直角三 角板的? ? ?所对的直角边重合? 若 ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? 则? 槡槡? ? ? ? ? 槡槡? ? ? ? ? ?已知函数? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? 则使方程? ?有解的实数?的取值范 围是 ? ? 第?卷答题卡 题号 ? 答案 第?卷? 非选择题? 共? ? ?分? 二? 填空题? 本大题共?小题? 每题?分? 共? ?分? 第? ?题为必做题? 第? ? ?题为选做 题? 每个考生从? ? ?三题中选做两个计入总分? 如果多做? 则按选做题前两题计分? ?已知命题? ? ? ? 则命题?的否定是? 若命题?为假命题? 则 实数?的取值范围是? ? ?甲? 乙? 丙?人进行擂台赛? 每局?人进行单打比赛? 另?人当裁判? 每一局的输方当下一局 的裁判? 由原来的裁判向胜者挑战?比赛结束后? 经统计? 甲共打了?局? 乙共打了?局? 而 丙共当了?局裁判?那么整个比赛共进行了?局? ? ?已知实数?满足 ? ? ? ? ? ? ? 则目标函数? ?的最小值是? ? ?设点?是双曲线 ? ? ? ? ? ? ? ? 与圆? ? ? ? 在第一象限的交点? 其中 ?分别是双曲线的左? 右焦点? 且? ? ? ? 则双曲线的离心率为? ? ?若一个数是?的倍数或这个数中含有数字? 我们则说这个数是? 含?数? ? 例如? ? ? 将? ? ? ? 中所有? 含?数? ? 按从小到大排成一个数列? 那么这个数列中所有项的和为? ? ?已知? ?是圆?为圆心? 的切线? 切点为? ?交圆?于?两 点? ? ?槡? ? ? ? ? ? 则圆?的面积为? ? ?用? ? ? ?法选取试点过程中? 如果试验区间为? ? 则第二试点? 应在?处? ? ?若直线? 与曲线? ? ? ? ? ? ? ? ? ? 参数? 有唯一的公共点? 则实数? ? ?页 ? 共?页 ? 第 ? ?二息信?理?南湖?学数?三高?考月? 三? 解答题? 本大题共?小题? 共? ?分?解答应写出文字说明? 证明过程或演算步骤? ? ? 本小题满分? ?分? 函数? ? ? ? ? 在一个周期内的图象如图所示? 其最高点为? 最低 点为? 与?轴正半轴交点为?在?中? ? ? ? ? 判断?的形状? 并说明理由? ? ? 求函数? 的解析式? ? ? 本小题满分? ?分? 如图所示? 在四棱锥? ? ? ?中? 底面为直角梯形? ? ? ? ? ? ?底面? ? ? ? 且? ? ? ? ?分别为? ? ?的中点? ? ? 求证? ? ? ? 求? ?与平面?所成角的大小? ? ? 求二面角? ?的大小? ?页 ? 共?页 ? 第 ? ?二息信?理?南湖?学数?三高?考月? ? ? 本小题满分? ?分? 一个盒子里装有标号为? ?且质地相同的标签各若干张? 从中任取?张标签 所得的标号为随机变量? 记? ? ? ? ?若? ? ? ? ? ? ? ? 其中?为常数? ? ? 求?的值以及随机变量?的数学期望? ? ? 有放回地每次抽取?张标签? 共抽取两次? 求得到两张标签上的标号之和为?的概率? ?页 ? 共?页 ? 第 ? ?二息信?理?南湖?学数?三高?考月? ? ? 本小题满分? ?分? 设函数? ? ? ? ?为自然对数的底数? ? ? 若?是函数? 的一个极值点? 求?的值? ? ? 讨论函数? 的单调性? ? ? 若? 时? 证明? ? ? ? 本小题满分? ?分? 已知? ? 是椭圆? ? ? ? ? ? ? ? ? 上一点? 且点?到椭圆两个焦点的距离之 和为? ? ? 求椭圆的方程? ? ? 设?为椭圆的左顶点? 直线? ?交?轴于点? 过?作直线?交 椭圆于?两点? 问? 是否存在直线? 使得? ? ?与? ? ? 的面积之比为? 若存在? 求出直线?的方程? 若不存在? 说 明理由? ?页 ? 共?页 ? 第 ? ?二息信?理?南湖?学数?三高?考月? ? ? 本小题满分? ?分? 设? ?是数列? 的前?项的和? 且? ? ? ? 证明数列? 是等比数列? 并求数列? 的通项公式? ? ? 数列? 满足? ? ? ? 证明? ? ?页 ? 共?页 ? 第 ? ?二息信?理?南湖?学数?三高?考月? 高三?数学?湖南?理?信息卷二?参考答案 一? 选择题 ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? 二? 填空题 ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ?槡? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ?槡 ? ? 提示? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ?将图补成如图所示的矩形? 可知? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? 设? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? 槡 ? ? ? ? ? ? ? ? ?槡? ? ? ? ? ? ? ? ? ?槡? ? ? ?槡? ? ? ? ? ? ? ? ?槡? ? ? ? ? ?槡? ? ? ? ? ? ?槡? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? 当?时? ?有解? 则? 当?时? ? ?有解? 则? ? ?由已知? 甲和乙打了?局? 其余是与丙打? 则甲和丙打?局? 乙和丙打?局? 加上甲和乙打?局? 共?局? ? ?当?时有最小值? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? 又? ? ? ? ? ? ? ? ? ? 槡 ? ? ? ?是?的倍数的和为? ? ? ? ? ? ? ? ? ? 且个位上是?的和为? ? ? ? 十位上是?的有? ? ? ? ? ? 其中重复一遍的数有? ? ? ? ? ? 重复两遍的有? ?数和? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ?连结? ? 由? ? ? ? ?知? ? ? ? ? ? ?由余弦定理得? ?槡? ? ? 所以? ? 所以圆?的面 积? ? ?曲线? ? 由相切知圆心到直线的距离? ?所以 ? ? ? ? ? 槡? ?槡 ? ? 三? 解答题 ? ? 由函数? 的图象的对称性知? 因为? 所以? 在?中? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? 解得? ? ? ? 所以? ? ?为直角三角形? ? 由? ? 知? ? ? ? ? 又? ? 所以? ?为等边三角形? 故? 槡? ? ? 所以?槡 ? ? 周期? ? 又? ? ? ? ? 所以? ? ? ? 所以? 槡 ? ? ? ? ? ? ? ?解法一? ? ? ?为? ?的中点? ? 又?平面? ? ? ? ? ?平面? ? ? ?与平面?所成的角为? ? ? 槡 ? ?槡? ? ?页 ? 共?页 ? 第 ? ?二息信?理?南湖?学数?三高?考月? 高考资源网 ? ? ? ? ? 槡? 槡? ? ? ? ? ? ? ? ? ? 过?作? ?的垂线? 垂足为? 过?作? ? ? 交? ?于?点?为? ? ? ? 处? 则? ? ?为二面角? ?的平面角? ? ? ? ? ? ? ? 槡? ? ? ? 槡? ? ? ? ? ? ? 槡? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ?槡 ? ? ? ? ? ? ? ?槡 ? ? ? ? ? ? 槡? ? ? ? ? ? ?槡 ? ? ? ? ? ? ? 解法二? 建立如图所示的空间直角坐标系? 依题意? 得 ? ? ? ? ? ? 因为?为? ?的中点? 所以? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? 因为? ? ? ? ? ? ? ? 所以? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? 因为? ? ? ? ? ? ? ? 所以? ? 又由? 知? ? 且? 所以? ?平面? 即? ? ? ? ?为平面?的法向量? 因此? ? ? ? ? ? ? ? ?的余角等于? ?与平面?所成的角? 因为? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? 所以? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? 所以? ?与平面?所成的角为? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? 设平面? ? ?的法向量为? ? 则由 ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? 得 ? ? ? ? 解得 ? ? ? ? 令? ? 得? ? ? ? ? ? ? ? ? ? 设平面? ? ?的法向量为? ? 则由 ? ? ? ? ? ? ? ? ? 得 ? ? ? ?解得 ? ? ? ? ? ? ? ? 令? ? 得? 因为? ? ? ? ? ? ? ? 槡? ? ? 所以? 依题意可得二面角? ?的大小为? ? ? ? ? ? 由? ? ? ? ? ? 得? 所以? ? ? ? ? ? ? ? ? 当?时? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? 当?时? ? ? ? ? ?也满足上式? 综上? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? 记第一次抽得? 第二次抽得?为事件? 第一次抽得? 第二次抽得?为事件? 第一次抽得? 第二次 ?页 ? 共?页 ? 第 ? ?二息信?理?南湖?学数?三高?考月? 高考资源网 抽得?为事件?事件?为互斥事件且第一次抽取与第二次抽取相互独立? 所以? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? 所以? ? 两张标签上的标号之和为? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? 所以得到两张标签上的标号之和为?的概率为? ? ? ? ? ? ? 由已知 ? ? ? ? ? ? ? ? ? ?当?时? ? ? ? 在?上是减函数? ?当?时? ? ? ?时? ? ? ? ? ?时? ? ? ? ? 的单调增? 减区间分别是? ? ? ? ? ? ? ? ? ?当?时? ? ? ?时? ? ? ? ? ?时? ? ? ? ? 的单调减? 增区间分别是? ? ? ? ? ? ? ? ? ? 当? ? 时? ? ? ? ? ? 为单调减函数? ? ? ? ? ? ? ? ? 由已知得? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? 得? ? ? 槡? 即椭圆的方程为? ? ? ? ? ? ? ? ? 由? ? ? ? 有? ? 设? ? ? ? 因为?不合题意? 可设? ? 代入? ? ? ? 得? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? 又? ?