江苏高考数学一轮复习突破140必备10数列中的递推问题学案

专题10 数列中的递推问题谈到求数列通项公式同学们都不陌生，我们学过的方法有累加法、累乘法、运用等，其中就是一个简单的递推，运用递推求数列通项公式其实就是不停的令或等得到新的关系式，再对得到的式子进行加减乘除运算，最后证明到数列是个特殊的数列，运用此方法的难点就在于如何寻找新的关系式以及如何处理原有的和新的关系式，通过何种运算达到最终的目的，易错点在于每一次递推都要注意下标的范围，往往最后得到的式子也不能完全说明是等差或等比，因为递推中的范围使得是从某一项开始呈现等差或等比的性质，最终还要验证前面几项，下面我们通过实例来看看如何处理这样的试题。例1、（2011江苏高考20）设为部分正整数组成的集合，数列的首项，前n项和为，已知对任意整数属于，当时，都成立。（1）设，求的值；（2）设，求数列的通项公式。解：（1）因为，所以则 由 -得所以当时，数列为等差数列而，（2） 因为，所以或则 由-得 由得 由-得 由-得 由可知成等差数列，设公差为由可知成等差数列，设公差为所以 ， 两式相减得 *由 -可得 *由*可得所以当时，数列为等差数列，设公差为由得，化简得由得，化简得所以又，所以数列是首项为,公差为的等差数列所以例2、 （2017江苏高考19）对于给定的正整数,若数列满足对任意正整数 总成立，则称数列 是“数列”. （1）证明：等差数列是“数列”；（2）若数列既是“数列”，又是“数列”，证明：是等差数列.（2）数列既是“数列”，又是“数列，所以当时， 当时， 由可知， +得 由 -得所以当时，是等差数列，设其公差为.在中，取，则，化简得在中，取，则，化简得所以数列是等差数列.注：在数列递推时一定要注意下标的范围，最容易出现错误的是得到就错误的下结论是等差数。 例3、（2018苏北四市高三一模20）已知数列，其前项和为，满足，其中，（1）若，（），求证：数列是等比数列；（2）若数列是等比数列，求的值；（3）若，且，求证：数列是等差数列；（2）数列是等比数列，设公比为当时，即 当时，即 当时，即 由-，得 由-，得 解得则此时所以，是公比为的等比数列故 例4、（2018姜堰、溧阳、前黄高三联考20）设，正项数列的前项的积为，且，当时， 都成立.（1）若，求数列的前项和；（2）若，求数列的通项公式.（2） ，对于，有 由可得 对于，有 由可得 由可知成等比数列，设公比为由可知成等比数列，设公比为则，两式相除可以得到 由可得 由可得所以当时，是等比数列，设公比为（递推中的范围要考虑）由令得，由令得，两式相除得，即，代入中得所以，又，所以是首项为，公比为的等比数列；所以巩固练习：1、（2017南京盐城高三二模20）已知数列的前项和为，数列，满足 ， 其中（1）若数列是公差为的等差数列，求数列的通项公式； （2）若存在实数，使得对一切，有，求证：数列是等差数列2、（2017苏北六市高三二模20）设数列的前项和为，且满足：；，其中且 （1）求的值；（2）数列能否是等比数列？请说明理由；（3）求证：当时，数列是等差数列巩固练习答案解析：（2） 证明：，两式相减得，又，两式相减可得，即（注意的取值范围）又，即，所以数列是等差数列2、解：（1）当时