江苏高邮高一数学下学期期中调研

江苏省高邮市2018-2019学年度第二学期高一期中数学调研试卷一、选择题(本大题共10小题，每小题5分，共计50分)1.在中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，则最短边的长等于 （ ）A. B. C. D. 【答案】A【解析】【分析】由三角形内角和求出，再根据大边对大角可知最短边的边长为，由正弦定理可得，解得的值，从而得出结论.【详解】 边最短.由正弦定理得 .故选A.【点睛】本题主要考查正弦定理在解三角形中的应用，属于中档题.正弦定理是解三角形的有力工具，其常见方法有：（1）知道两边和一边的对角，求另一边的对角（一定要注意讨论钝角和锐角）；（2）知道两角与一个角的对边，求另一个角的对边；（3）证明化简过程中边角互化；（4）求三角形外接圆半径.2. 空间中，垂直于同一条直线的两条直线的位置关系是（ ）A. 平行B. 相交C. 异面D. 以上都有可能【答案】D【解析】考点：空间中直线与直线之间的位置关系分析：结合公理及正方体模型可以判断：A，B，C均有可能，可以利用反证法证明结论，也可以从具体的实物模型中去寻找反例证明解：如图，在正方体AC1中，A1A平面ABCD，A1AAD，A1ABC，又ADBC，选项A有可能；A1A平面ABCD，A1AAD，A1AAB，又ADAB=A，选项B有可能；A1A平面ABCD，A1A平面A1B1C1D1，A1AAC，A1AA1D1，又AC与A1D1不在同一平面内，选项C有可能故选D3.在中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，如果，那么等于 A. B. C. D. 【答案】C【解析】由已知及余弦定理，得，所以故选C4.若球的体积与其表面积的数值相等，则球的半径为 A. 1B. 3C. 2D. 【答案】B【解析】【分析】根据球的体积和表面积相等解出半径即可。【详解】令球的半径为，由题意得，且，解得，故选B。【点睛】本题考查球体的体积与表面积公式。5.下列命题中，正确命题的个数为 （1）首尾相接的四条线段在同一平面内 （2）三条互相平行的线段在同一平面内（3）两两相交的四条直线在同一个平面内 （4）若四个点中的三个点在同一直线上，那么这四个点在同一平面内.A. 1B. 2C. 3D. 4【答案】A【解析】【分析】利用平面的判定方式依次判断出正确命题即可。【详解】（1）空间四边形是首尾相接的，但它不是平面图形，故（1）错。（2）三棱柱三条侧棱互相平行，但不在同一平面，故（2）错。（3）正方体顶点处的三条棱两两相交，但不在同一平面，所以过该顶点任做一条直线构成四条直线两两相交，这四条直线也不在同一平面，故（3）错。（4）直线和直线外一点确定一个平面，故（4）正确。综上，以上4个命题只有一个正确，故选A。【点睛】本题考查命题真假判断，涉及立体几何中共面的知识点，以及公理考查，此类题目可以采用举反例的方法排除错误命题。6.根据下列情况，判断三角形解的情况，其中正确的是 （ ）A. ,有两解B. ,有一解C. ,无解D. ,有一解【答案】D【解析】项中，故三角形一个解，项说法错误；项中，故有锐角和钝角两种解, 项说法错；项中，故有解，项说法错；项中一定为锐角，有一个解，项说法正确，故选D.7. 已知正四面体ABCD中，E是AB的中点，则异面直线CE与BD所成角的余弦值为( )A. B. C. D. 【答案】B【解析】试题分析：如图，取中点，连接，因为是中点，则，或其补角就是异面直线所成的角，设正四面体棱长为1，则，故选B考点：异面直线所成角【名师点睛】求异面直线所成角的关键是通过平移使其变为相交直线所成角，但平移哪一条直线、平移到什么位置，则依赖于特殊的点的选取，选取特殊点时要尽可能地使它与题设的所有相减条件和解题目标紧密地联系起来如已知直线上的某一点，特别是线段的中点，几何体的特殊线段8.设是两条不同的直线，是三个不同的平面，给出下面四个命题：（1）若，则 （2）若,则（3）若，则 （4）若，则其中正确命题个数是 A. 1B. 2C. 3D. 4【答案】A【解析】【分析】用线、面平行垂直的判定定理可直接判断出本题命题的正确与否。【详解】（1）若为正方体相邻的三个面，两两垂直，故（1）错；（2）根据若需得到则需要同时垂直两平面的交线，故（2）错；（3）根据，若需证，则需共面，故（3）错；（4）若，则，根据由面面平行证线线平行的判定定理可得该命题正确，故（4）正确。综上，以上命题只有一个命题正确，故选A。【点睛】本题考查空间直线与平面的位置关系：考查线面平行的判定和性质，面面平行的判定和性质，熟记这些是解题的关键。9.在中，角的对边分别为，且，那么一定是()A. 锐角三角形B. 直角三角形C. 等腰三角形D. 等腰或直角三角形【答案】D【解析】中，且，即，即，或，即或；是等腰三角形或直角三角形，故选D.10.在锐角中，角、的对边分别为、，若，则的取值范围是 A. B. C. D. 【答案】D【解析】【分析】由，利用余弦定理可得到角之间的三角关系，利用三角恒等变化可得到角之间的关系，再利用正弦定理可得得取值范围。【详解】由，及余弦定理得，因为，所以 ，利用正弦定理可得，得 得，因为为三角形内角，所以，所以，所以，因为为锐角三角形内角，且，所以，所以故选D。【点睛】本题考查正余弦定理的运用，需注意锐角三角形必须保证每个角均为锐角，同时，合理运用。二、填空题(本大题共6小题，每小题5分，共计30分)11.长方体中，则与平面所成的角的大小为_【答案】【解析】【分析】连结 、，由 平面ABCD，得 是 与平面ABCD所成角，面面ABCD，即为所求，由此能求出与平面ABCD所成角的大小。【详解】根据题意画出图形如图，连结BD、 ，因为长方体 中，平面ABCD,垂足为D， 与平面ABCD所成角，面面ABCD，即为所求.， ，, ， 。 与平面所成角的大小为。故答案为:。【点睛】本题考查立体几何中线面角的求解，重点是将线面角转化成线线角，也可采用空教坐标系解决。12.已知圆锥的侧面展开图是一个半径为，圆心角为的扇形，则此圆锥的高为_.【答案】【解析】分析】设此圆的底面半径为，高为，母线为，根据底面圆周长等于展开扇形的弧长，建立关系式解出，再根据勾股定理得 ，即得此圆锥高的值。【详解】设此圆的底面半径为，高为，母线为，因为圆锥的侧面展开图是一个半径为，圆心角为的扇形,所以，得 ,解之得，因此,此圆锥的高，故答案为:。【点睛】本题给出圆锥的侧面展开图扇形的半径和圆心角，求圆锥高的大小，着重考查了圆锥的定义与性质和旋转体侧面展开等知识，属于基础题。13.如图，一艘船上午在A处测得灯塔在它的北偏东30处，之后它继续沿正北方向匀速航行，上午到达处，此时又测得灯塔在它的北偏东75处，且与它相距海里，此船的航速为_ 海里小时【答案】【解析】【分析】由题意及图形在中，已知，又已知三角形ABS中边，先求出边AB的长，再利用物理知识解出速度。【详解】因为在中，已知，且边 ，利用正弦定理可得： ，又因为从A到S匀速航行时间为半个小时,所以速度应为： .故答案为：。【点睛】此题考查了学生的物理知识： ，还考查了正弦定理求解三角形及三角形外角等于不相邻的两内角和。14.在正方体中，给出以下四个结论：（1）直线平面；（2）直线与平面相交；（3）直线平面； （4）平面平面.上述结论中，所有正确结论的序号为_【答案】【解析】【分析】面面平行的性质判断；由直线在平面内判断；反证法，由直线不垂直于直线判断；可由面面垂直的判定定理判断.【详解】因为平面平面，在平面内，所以直线平面，对；因为直线在平面内，所以错；显然直线不垂直于直线，所以直线不垂直于平面，错；因为平面，所以平面平面，对，故答案为.【点睛】本题主要考查正方体的性质，考查了面面平行的性质、线面垂直的判定定理、面面垂直的判定定理的应用，意在考查空间想象能力以及综合应用所学知识解答问题的能力，属于中档题.15.在中，已知，边上中线，则的值为_【答案】【解析】【分析】设，利用余弦定理求出三角形中的两边，同时根据题目中的条件，求出，然后利用正弦定理便可求得的值。【详解】如图，为中点，设，根据余弦定理 ， ，又 ，所以 ，根据题意， ， ，所以联立解得 ， ，由 得 ，又根据正弦定理： ，所以 。【点睛】本题考查三角形中，已知一些边角，求解其他量，在本题中，重点考查了在大小两个三角形中利用角形同的一些转化。16.在中，内角所对的边分别为已知，设的面积为，则的最小值为_【答案】【解析】【分析】根据题目中告诉的利用正弦定理可得，再联立和，可求得之间的关系，再用余弦定理求出从而求出，然后利用表示出面积，然后得到关于的函数，最后利用基本不等式求出的最小值。【详解】在中，由得，因为利用正弦定理得，再根据，可得，由余弦定理得，求得，所以，所以 ，所以，当且仅当，即时取等，所以 的最小值为。【点睛】本题考查三角形中正余弦定理以及面积公式的灵活运用，当没有已知边或角时，我们可以用一个边来表示其他边，然后可直接利用余弦定理求出某一个角的余弦值。三、解答题(本大题共6小题，共计70分。解答时，要写出必要的解题过程及步骤)17.如图，在四棱锥SABCD中，底面ABCD为菱形， 平面ABCD（1）求证：/平面；（2）求证：【答案】（1）见解析； （2）见解析.【解析】【分析】（1）由底面为菱形可得到，再根据，从而得出；（2）需证明，则需证明，即需证明垂直于平面内两条相交直线，从而得证。【详解】（1）在四棱锥中，底面为菱形,所以， ， .（2）连结. ,， , ，, .【点睛】本题考查立体几何中线面垂直、平行的判定定理及性质，需利用特殊四边形的性质，如本题中底面为菱形，则可得到对边平行且相等及对角线互相平行。18.的内角的对边为， （1）求；（2）若求【答案】（1）； （2）.【解析】【分析】（1）由题目中告诉的，利用正弦定理则可得到，再结合余弦定理公式求出角的值。（2）根据第一问求得的的值和题目中告诉的角的值可求得角的值，再利用正弦定理可求得边和的值。【详解】(1)由正弦定理，得，由余弦定理，得，又所以。(2) 由（1）知：,又所以，又，根据正弦定理，得，所以【点睛】本题考查利用正余弦定理求解边与角。19.三棱柱ABCA1B1C1被平面A1B1C截去一部分后得到如图所示几何体，BB1平面ABC，ABC90，BCBB1，E为棱B1C上的动点（不包含端点），平面ABE交A1C于点F（1）求证：EF/AB；（2）若点E为中点，求证：平面ABE平面A1B1C【答案】（1）见解析； （2）见解析.【解析】【分析】（1）需证明，则需证明和所在平面互相平行，且与都平行于两平面的交线即可证明线线平行。（2）需证明面面垂直则只需证明一个平面内的一条直线垂直于另一平面，即该直线垂直于另一平面内两条相交直线即可。【详解】(1)在三棱柱中，是平行四边形，又，(2)， ，,又，由（1）知：，点为的中点，, ,.【点睛】本题考查线面垂直平行的判定与性质，熟练运用线面垂直平行的性质和判定定理是解决这类题目的关键所在。20.在四棱柱ABCDA1B1C1D1中，,平面BB1C1C底面ABCD，点、F分别是线段、BC的中点（1）求证：AF/平面；（2）求证：平面BB1C1C平面【答案】（1）见解析； （2）见解析.【解析】【分析】（1）欲证AF/平面，则需证明平行于平面内的一条直线，根据题目条件易得边上的中线与平行，从而得证。（2）需证面面垂直，则需证明线面垂直，易证边上的中线垂直于且，该中线垂直于，从而得到线面垂直，得到面面垂直。【详解】（1）方法一：取中点，连分别为中点 为四棱柱又为的中点， 所以四边形PFAM为平行四边形又，方法二：取中点,连 ，又， ，又是四棱柱，又，又，又， （2），又,， ， 又， 而， 又， ， 又.【点睛】本题考查线面垂直平行的判定与性质，全部转化到证明线线垂直或平行，证明线线平行通常采用三角形中位线或平行四边形对边进行证明，证明线线垂直通常利用平行的传递性或者勾股定理数据计算证明。21.在中，、分别是角、所对的边，（1）求角的大小；（2）若，求的最小值【答案】（1）； （2）.【解析】【分析】（1）根据题目中的条件再利用三角恒等变化公式和正余弦定理转化成关于角的方程，从而得到角。（2）通过第一问得出的角和题意找到边、和 之间的关系，然后利用函数的性质得到式子的最小值。【详解】（1）由正弦定理得：， ，又，当时，。【点睛】本题考查正余弦定理以及三角恒等变化的运用，选对利用正弦定理还是余弦定理是解决这类题目的关键。22.如图所示，高邮漫水公路AB一侧有一块空地其 市政府拟在中间开挖一个人工湖，其中M，N都在边AB上（M，N不与A，B重合，M在A，N之间），且（1）若在距离点处，求点M，N之间的距离；（2）为节省投入资金，人工湖的面积要尽可能小试确定的位置，使的面积最小，并求出最小面积【答案】（1） （2）最小面积是 【解析】试题分析：（1）先利用余弦定理分别求出，再利用角度转化和正弦定理求出；（2）设，利用三角形之间的正余弦定理转化应用，解得，应用函数化简技巧，解得最小值。试题解析