福建福州高三数学下学期质量检测 文

文科数学参考答案及评分细则 第 1 页（共 6 页） 2018 年福州市高中毕业班质量检测 文科数学参考答案及评分细则 评分说明： 1本解答给出了一种或几种解法供参考，如果考生的解法与本解答不同，可根据试 题的主要考查内容比照评分标准制定相应的评分细则。 2对计算题，当考生的解答在某一步出现错误时，如果后继部分的解答未改变该题 的内容和难度，可视影响的程度决定后继部分的给分，但不得超过该部分正确解答应给分 数的一半；如果后继部分的解答有较严重的错误，就不再给分。 3解答右端所注分数，表示考生正确做到这一步应得的累加分数。 4只给整数分数。选择题和填空题不给中间分。 一、选择题：本大题考查基础知识和基本运算每小题 5 分，满分 60 分 （1）B （2）B （3）B （4）C （5）D （6）A （7）A （8）D （9）C （10）D （11）C （12）C 二、填空题：本大题考查基础知识和基本运算每小题 5 分，满分 20 分 （13）3 （14） 3 1 6 （15） 2 （16） 10 1, 2 三、解答题：本大题共 6 小题，共 70 分解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤 (17) 本小题主要考查正弦定理、余弦定理、三角形的面积公式等基础知识，考查推理论证 能力、运算求解能力，考查函数与方程思想等满分 12 分 解： （1）由题设及正弦定理，得 3c cbabab， 整理得 222 3cbabc， 2 分 由余弦定理得， 222 33 cos 222 bcabc A bcbc ， 4 分 又0A，所以 6 A 5 分 （2）依题意，ABC的面积 11 sin 22 SbcAah， 将 ,3,7 6 Ahb代入上式并整理得，72 3ca， 7 分 由（1）知， 222 3cbabc，故 22 721cac， 8 分 文科数学参考答案及评分细则 第 2 页（共 6 页） 联立并解得，2 21c 或 2 21 5 ， 10 分 所以 7 3 2 S 或 7 3 10 12 分 (18) 本小题主要考查空间直线与直线、直线与平面的垂直关系及点面距离等基础知识，考 查空间想象能力、推理论证能力、运算求解能力，考查化归与转化思想等满分 12 分 解法一： （1）取CB中点G，连接AG， 因为 E 为 AB 中点，点 D 在棱BC上，且3CDBD， 所以AGED， 1 分 因为ABC为正三角形，所以AGBC，故,EDBC 2 分 直三棱柱 111 ABCA B C中， 1 BBABC平面， 又DEABC 平面，所以 1 BBDE， 4 分 因为 1 BCBBB，BC平面 11 BB C C， 1 BB 平面 11 BB C C， 所以 DE 平面 11 BB C C 6 分 （2）因为4AB ，所以四边形 11 BCC B是以 4 为边长的正方形， 所以 11 111 1 C DFBCC BDBFC CDC B F SSSSS 2 111 41 234245 222 7 分 由（1）知，DE 平面 11 BCC B， 所以三棱锥 1 EC DF的体积 11 115 3 53 333 E C DFC DF VSDE 9 分 在RtDEF中， 1115 35 222 DEF SDEDF ， 10 分 设点 1 C与平面 DEF 的距离为h 因为 11 E C DFCDEF VV ， 所以 5 31 33 DEF Sh ， 11 分 所以 5 3115 332 h，解得2 5h ， F D E G B1 C1C B A1A 文科数学参考答案及评分细则 第 3 页（共 6 页） 所以点 1 C与平面 DEF 的距离为2 5 12 分 解法二： （1）因为 1 BB 平面ABC， DE 平面ABC， 所以 1 BBDE，且 11 90BBBCBA 2 分 设4ABa，因为 1 ABAA，则 1 4AAa，因为3CDBD，所以BDa 因为点 E , F 分别为棱 AB , 1 BB的中点，所以2BEBFa， 因为ABC为正三角形，根据余弦定理，得 2 2222 2cos602DEBDBEBD BEaa 2 1 223 2 aaa， 在RtBDF中，2 22222 25DFBDBFaaa， 在RtBDE中， 22 2222 228EFBEBFaaa， 所以 222 EFDEDF，所以 DEDF 4 分 又因为 11 BBDFB， DF 平面 11 BB C C， 1 BB 平面 11 BB C C， 所以 DE 平面 11 BCC B 6 分 （2）同解法一 12 分 (19) 本小题主要考查频率分布直方图、平均数、方差等基础知识，考查抽象概括能力、数 据处理能力、 运算求解能力、 应用意识， 考查统计与概率思想、 分类与整合思想等 满 分 12 分 解： （1）由频率估计概率， A 生产线的产品为正品的概率为 0.053750.0350.0112580.8； 2 分 B 生产线的产品为正品的概率为 0.06250.033750.002580.79 4 分 （2）设 A 生产线的产品质量指标值的平均数x， B 生产线的产品质量指标值的平均 数y，由频率分布直方图，可得 640.05720.15800.43880.28960.0981.68x ， 640.05720.16800.5880.27960.0280.4y ， 7 分 由以上计算结果可得xy，因此 A 生产线的产品质量指标值更好 8 分 （3）由（2）知， A 生产线的产品质量指标值更高，它不低于 84 的产品所占比例的 F D E B1 C1C B A1A 文科数学参考答案及评分细则 第 4 页（共 6 页） 估计值为0.0350.0112580.370.4， 10 分 所以 B 生产线的产品质量指标值的估计值也小于 0.4，故不能认为该公司生产的产品 符合“质量指标值不低于 84 的产品至少要占全部产品 40%”的规定 12 分 (20) 本小题主要考查坐标法、直线与椭圆的位置关系等基础知识，考查推理论证能力、运 算求解能力，考查数形结合思想、函数与方程思想、化归与转化思想等满分 12 分 解： （1）依题意得，6MAMBAB，所以4MAMBAB， 2 分 所以点M 的轨迹 E 是以1,0 ,1,0AB为焦点且长轴长为 4 的椭圆， 4 分 由于M , A , B 三点不共线，所以0y ， 所以 E 的方程为 22 1 43 xy （0y ） 6 分 （2）设直线PQ方程为1xmy ，代入 22 3412xy，得 22 34690mymy ， 7 分 设 1122 (),()P xyQ xy，则 12 2 12 2 6 , 34 9 . 34 m yy m y y m 8 分 所以 1212 22DP DQxxy y 121212 112114mymymymyy y 2 1212 139my ym yy 9 分 2 2 22 91 18 9 3434 m m mm 2 27 0 34m 11 分 所以PDQ不可能为直角 12 分 (21) 本小题主要考查导数及其应用、不等式等基础知识，考查推理论证能力、运算求解能 力、抽象概括能力等，考查函数与方程思想、化归与转化思想、分类与整合思想、数 形结合思想等满分 12 分 解： （1）当1a时，e( )1e xx f xx，( )exfxx， 1 分 所以切线斜率(e1)k f 2 分 又(1)1f ， 文科数学参考答案及评分细则 第 5 页（共 6 页） 所以( )f x 在1x处的切线方程为e(11)yx ，即ee10yx . 4 分 （2）因为( )1()e1 x fxxaa，令( )1()e1 x g xxaa 则( )2exg xxa， 5 分 当2a 时，因为( )0g x对一切0 x都成立， 所以( )g x 是区间(0,) 内的增函数， 因为 0g1(1)0aa， 所以 0g x ，即( )0fx对一切0 x都成立， 7 分 所以( )f x 是区间(0,) 内的增函数， 又(0)0f， 所以当0,( )0 xf x，即( )0f x 对一切0 x都成立 9 分 当2a时，由( )2(0)exg xxax知，当0,2xa时，( )0g x， 所以( )g x 是区间0,2a 内的减函数， 因为 0g1(1)0aa， 所以当0,2xa时， 0g x ， 即 0fx， 则( )f x 是区间0,2a 内的减函数， 又(0)0f，所以当0,2xa时，( )0f x ，即( )0f x 不是对一切0 x都成立 11 分 综上，2a，即a的取值范围是(2, 12 分 (22) 本小题考查极坐标方程、直线与圆的位置关系、三角形面积的最值等基础知识，考查 运算求解能力，考查数形结合思想、化归与转化思想等满分 10 分 解： （1）设 P 的极坐标为,0 ，Q 的极坐标为 11 ,0 ， 由题设知，OP， 1 2 cos 6 OQ ， 1 分 由4OQOP得 2 C的极坐标方程2cos0 6 ， 3 分 因此 2 C的直角坐标方程为 2 2 31 1 22 xy （除0,0外） 5 分 （2）设点 B 的极坐标为,0 BB ， 文科数学参考答案及评分细则 第 6 页（共 6 页） 由题设知2OA ，2cos 6 B ， 6 分 于是AOB面积为 1 sin 2 B SOAAOB 7 分 2cossin 63 = 2 33 2 sin 42 ， 9 分 当0时，S取得最大值 3 2 所以AOB面积的最大值为 3 2 10 分 (23) 本小题考查绝对值不等式的解法、不等式恒成立等基础知识，考查运算求解能力、推 理论证能力，考查分类与整合思想、化归与转化思想等满分 10 分 解：（1）不等式 2f xx 等价于 2 210 xxx ， 当0 x时，式化为 2 310 xx， 1 分 解得 35 2 x 或 35 0 2 x ； 3 分 当0 x时，式化为 2 10 xx，解得0 x， 4 分 综上所述，不等式 2f xx的解集为 3535 22 x xx ,或. 5 分 （2）不等式( ) 2 x f xa在0,上恒成立， 等价于 2