福建达标校高二数学暑期集训营三十理PDF

2015 年福建省达标校暑期高二数学（理工农医类）集训营(30) 第三部分 【提升拓展】 【1】 2015 年福建省达标校暑期高二数学（理工农医类）集训营 (30) 一、填空题：本大题共 14 小题，每小题 5 分，共计 70 分请把答案填写在答题 卡相应位置上 1计算： 2 2 1i 2函数f(x)ln x x 的单调增区间是 3已知复数z=(2i) i，则z的模为 4曲线sinyx在点 3 ( ,) 32 处的切线方程为 5如图所示四个图形中，着色三角形的个数依次构成一个数列的前 4 项，则这个数列的一 个通项公式为 n a 6已知函数( )f x的导函数为( )fx，且满足 2 ( )32(2)f xx xf ，则(3) f 7 已知复数2sin3siniz， 则z的取值范围是 8 若函数 32 ( )2f xxxmx是 R 上的单调函数， 则实数m的 取值范围为 9 如图为函数 32 ( )f xaxbxcxd的图象，( )fx为函数( )f x 的导函数，则不等式( )0 x fx的解集为 10 设P是函数yx(x1)图象上异于原点的动点， 且该图象在 点P处的切线的倾斜角为，则的取值范围是 11 已知定义域为 |0x x 的函数( )f x对于任意的x都满足( )( )0f xxfx 若 0a ” ， “” ， “=”中选择正确的一个填写） 12设直线ya分别与曲线y 2x 和ye x交于点 M，N，则当线段MN取得最小值时实数 a的值为 13已知点 2 11 ( ,)A x x， 2 22 (,)B x x是函数 2 yx的图象上任意不同的两点，依据图象可知，线 段AB总是位于A，B两点之间函数图象的上方，因此有结论 2 22 1212 22 xxxx 成立. 运用类比思想方法可知若点 11 ( ,lg)A xx， 22 (,lg)B xx是函数lg (0)yx x的图象上的不 x O y （第 9 题） 2015 年福建省达标校暑期高二数学（理工农医类）集训营(30) 第三部分 【提升拓展】 【2】 同两点，则类似地有 成立 14若不等式|ax 3ln x|1 对任意 x(0，1都成立，则实数a的取值范围是 二、解答题：本大题共 6 小题，共计 90 分请注意文理科类，并在答题卡指定 区域 内作答，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤 15 （本小题共 14 分） 已知复数 2 2 76 (56)i 1 aa zaa a （aR） （1）求实数a为何值时，z为实数； （2）求实数a为何值时，z为虚数； （3）求实数a为何值时，z为纯虚数 16 （本小题共 14 分） 已知曲线C：exya 与直线e3yx相切，其中 e 为自然对数的底数 （1）求实数a的值； （2）求曲线C上的点P到直线4yx的距离的最小值，并求出取得最小值时点P 的坐标 17 （本小题共 14 分） 某集团为了获得更大的收益， 每年要投入一定的资金用于广告促销 经调查投入广告费 t(百万元)，可增加销售额约为t 25t(百万元)(0t5) (注：收益销售额投放) （1）若该公司将当年的广告费控制在 3 百万元之内，则应投入多少广告费，才能使该 公司由此获得的收益最大？ （2）现该公司准备共投入 3 百万元，分别用于广告促销和技术改造经预测，每投入 技术改造费x(百万元)，可增加的销售额约为1 3x 3x23x(百万元)请设计一个 资金分配方案，使该公司由此获得的收益最大 2015 年福建省达标校暑期高二数学（理工农医类）集训营(30) 第三部分 【提升拓展】 【3】 18 （本小题共 16 分） （理）已知数列 n a的前n项和2 nn Sna()n N （1）计算数列 n a的前 4 项； （2）猜想数列 n a的通项公式，并用数学归纳法证明 （文）求证：1，2，3 不可能是一个等差数列中的三项 19 （本小题共 16 分） 已知函数 322 ( )4361f xxtxt xt ，其中xR，tR （1）当0t 时，求( )f x的单调区间； （2）证明：对任意的(0,)t，函数( )f x在区间(0,1)内均存在零点 20. （本小题共 16 分） 已知aR，函数( )ln(1)f xxa x，e 为自然对数的底数 （1）若 1 e 1 a ，求函数( )yf x取得极值时所对应的x的值； （2）若不等式 2 2 (12e ) ( ) e e aa x ax f x 恒成立，求a的取值范围 2015 年福建省达标校暑期高二数学（理工农医类）集训营(30) 第三部分 【提升拓展】 【4】 2015 年福建省达标校暑期高二数学（理工农医类）集训营 (30) 参 考 答 案 9(,3)(0, 3) 10 3， 2 11 12 2 2 13 1212 lglg lg 22 xxxx 14ae 2 3 二、解答题： 15解： （1）当z为实数时，则 2 560, 10, aa a 解得6a . 所以，当6a 时，z为实数 （2）当z为虚数时，则 2 560, 10, aa a 解得6,1aa 所以，当6a 且1a 时，z为虚数 （3）当z为纯虚数时，则 2 2 560, 760, 10, aa aa a 解得1a 所以，当1a 时，z为纯虚数 16解： （1）设曲线C：exya 与直线e3yx相切的切点的横坐标为 1 x， 由exy 得切线的斜率 1 ex=e， 所以 1 1x ，所以切点坐标为(1,)ea， 代入直线e3yx得3a . （2）由（1）得曲线C的方程为：e3 x y ， 当过点P的切线与直线4yx平行时，点P到直线4yx的距离最小， 设点P的横坐标为 2 x，由exy 得切线的斜率 2 ex=1， 所以 2 0 x ， 2015 年福建省达标校暑期高二数学（理工农医类）集训营(30) 第三部分 【提升拓展】 【5】 所以所求点P的坐标为(1, 3)，所求距离的最小值为 3 14 4 2 2 17解：(1)设投入t(t百万元)的广告费后增加的收益为f(t)(百万元)， 则有f(t)(t 25t)tt24t(t2) 24(0t3)， 所以当t2 百万元时，f(t)取得最大值 4 百万元 即投入 2 百万元时的广告费时，该公司由此获得的收益最大 (2)设用技术改造的资金为x(百万元)，则用于广告促销的资金为(3x)(百万元)， 则有g(x) 1 3x 3x23x (3x) 25(3x)31 3x 34x3(0x3) 所以g(x)x 24.令 g(x)0，解得x2，或x2(舍去) 又当 0x2 时，g (x)0，当 2x3 时，g(x)0 故g(x)在0,2上是增函数，在2,3上是减函数 所以当x2 时，g(x)取最大值， 即将 2 百万元用于技术改造， 1 百万元用于广告促销，该公司由此获得的收益最大 18 （理）解： （1）由 11 2aa，得 1 1a 由 122 22aaa，得 2 3 2 a 由 1233 2 3aaaa ，得 3 7 4 a 由 12344 2 4aaaaa ，得 4 15 8 a （2）猜想 1 21 2 n n n a 下面用数学归纳法证明： 1n 时，左边 1 1a ，右边 1 11 1 2121 1 22 n n ，猜想成立 假设当nk时，猜想成立，即 1 21 2 k k k a ，此时 1 21 22 2 k kk k Skak 则当1nk时，由 11 2(1) kk Ska ， 得 111 2(1)2 kkk Saka ， 所以 1 1 1(1) 1 112121 2(1)12 22 22 kk kk kk akSkk 因此，当1nk时，等式也成立 由可知， 1 21 2 n n n a 对 * nN均成立 （文）证明：假设 1，2，3 为同一等差数列中的三项， 则存在两个不相等的整数m，n以及实数d，使得21md ，31nd 所以 2 21 m n 2015 年福建省达标校暑期高二数学（理工农医类）集训营(30) 第三部分 【提升拓展】 【6】 因为上式左边为无理数，右边为有理数，所以等式不成立， 所以假设不成立，即 1，2，3 不可能是同一等差数列中的三项 19 （1）解： 22 ( )1266fxxtxt，令( )0fx，解得xt或 2 t x 因为0t ，以下分两种情况讨论： 若0t ，则 2 t t ，列表如下： x , 2 t , 2 t t , t ( )fx + - + ( )f x 所以，( )f x的单调增区间是 , 2 t t ，单调减区间是 , 2 t t 若0t ，则 2 t t ，列表如下： x ,t , 2 t t , 2 t ( )fx + - + ( )f x 所以，( )f x的单调增区间是 , 2 t t ，单调减区间是 , 2 t t （2） 证明： 由 （1） 可知， 当0t 时，( )f x在 0, 2 t 上单调递减， 在 , 2 t 上单调递增， 以下分两种情况讨论： 当1 2 t 即2t时，( )f x在(0,1)内单调递减， (0)10ft ， 2 (1)643644230ftt ， 所以对任意2,)t，( )f x在区间(0,1)内均存在零点 当01 2 t 即02t 时，( )f x在 0, 2 t 上单调递减，在 ,1 2 t 上单调递增， 若(0,1t， 3377 10 244 t fttt ， 2 (1)643643230fttttt 所以( )f x在 ,1 2 t 上存在零点 若(1,2)t， 3377 110 244 t fttt ，(0)10ft 2015 年福建省达标校暑期高二数学（理工农医类）集训营(30) 第三部分 【提升拓展】 【7】 所以( )f x在 0, 2 t 上存在零点 所以，对任意(0,2)t，( )f x在区间(0,1)内均存在零点 综上所述，对任意(0,)t，( )f x在区间(0,1)内均存在零点 说明： （2）中 37 1,(0,2), 24 t fttt 也可通过求导证明其恒小于 0 20解： （1）若 1 e 1 a ，则 1 ( )ln e 1 x f xx ， 11 ( ) e1 fx x 当(0,e1)x时，( )0fx，( )f x单调递增； 当(e1,)x时，( )0fx，( )f x单调递减 又因为(1)0f，(e)0f， 当(0,1)x时，( )0f x ；当(1,e1)x时，( )0f x ； 当(e1,e)x时，( )0f x ；当(e,)x时，( )0f x 故|( )|yf x取得极值时所对应的x值为 1，e1和e （2）不等式 2 2 (12e ) ( ) e e aa x ax f x ，整理为 2 2 (