福建达标校高二数学暑期集训营三十六理PDF

2015 年福建省达标校暑期高二数学（理工农医类）集训营(36) 第四部分 【检测能力】 【1】 2015 年福建省达标校暑期高二数学（理工农医类）集训营(36) 本试卷包含填空题（第 1 题第 14 题）和解答题（第 15 题第 20 题）两部分，本卷满分 160 分，考试时间为 120 分钟 一、 填空题： 本大题共 14 小题， 每小题 5 分， 共计 70 分， 请把答案填写在答题卡相应位置上 1函数( )lg(21)f xx的定义域为 . 2已知全集1,2,3U ，集合 1A ，集合1,2B ，则 U AB . 3. 函数不论为何值时，其图像恒过的定点为 . 4已知幂函数( )f x的图像过点 1 (2,) 4 ，则(3)f . 5已知函数 . 0,2 , 0,log3 x xx xf x 则 27 1 ff的值为 . 6已知, a bR，若25100 ab ，则 11 ab . 7 关于x的方程 2 2(1)260 xaxa的两根为, ,且满足01 ， 则实数a的取 值范围是 . 8已知f是有序数对集合 * ( , )|,Mx yxyNN上的一个映射，正整数数对( , )x y在映 射f下对应的为实数z， 记作( , )f x yz. 对于任意的正整数,()m n mn， 映射f由下表 给出： 则使不等式(2, ) 3fx的解集为 . 9已知函数 2 ( )log (2)5f xxx 存在唯一零点,则大于的最小整数为 . 10函数 24 0,32 2 x yxx x ，且的值域为 . 11生活中常用的十二进位制，如一年有 12 个月，时针转一周为 12 个小时，等等，就是逢 12 进 1 的计算制，现采用数字 09 和字母 A、B 共 12 个计数符号，这些符号与十进制的数的 对应关系如下表: 十二进制 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 A B 十进制 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 例如用十二进位制表示 A+B19，照此算法在十二进位制中运算 AB . 2 1(0,1) x yaaa a 0 x 0 x ( , )x y ( , )n n ( , )m n ( ,)n m ( , )f x y n m n mn 2015 年福建省达标校暑期高二数学（理工农医类）集训营(36) 第四部分 【检测能力】 【2】 12已知函数 2 3 ( )(1) 1 ax f xa a 在区间(0,1)上是减函数，则a的取值范围是 . 13已知大于 1 的任意一个自然数的三次幂都可表示成连续奇数的和如： 若m是自然数，把 3 m按上述表示，等式右侧的奇数中含有 2015，则m . 14已知定义在R上的函数( )f x既是奇函数，又是周期函数，且周期为 3 2 .当 3 0, 4 x时， sin ( ) 2cos ax f xbx x （a、bR）,则 (1)(2)(100)fff的值为 . 二、解答题: 本大题共 6 小题， 1517 每小题 14 分，1820 每小题 16 分，共计 90 分请 在答题卡指定的区域内作答 ， 解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤 15 （本题满分 14 分） 已知命题 2 280Ax xx， 3 0, xm Bxm xm R （1）若(2,4)AB ，求m的值； （2）若BA，求m的取值范围 16 （本题满分 14 分） 已知z为复数，2zi为实数，且(1 2 ) i z为纯虚数，其中 i 是虚数单位 （1）求复数z； （2）若复数z满足1z，求的最小值 17 （本题满分 14 分） 某商场欲经销某种商品，考虑到不同顾客的喜好，决定同时销售A、B两个品牌，根据生产厂 家营销策略，结合本地区以往经销该商品的大数据统计分析，A品牌的销售利润 1 y与投入资金 x成正比，其关系如图 1 所示，B品牌的销售利润 2 y与投入资金x的算术平方根成正比，其关 系如图 2 所示（利润与资金的单位：万元） （1）分别将A、B两个品牌的销售利润 1 y、 2 y表示为投入资金x的函数关系式； （2）该商场计划投入 5 万元经销该种商品，并全部投入A、B两个品牌，问：怎样分配这 5 万 元资金，才能使经销该种商品获得最大利润，其最大利润为多少万元？ 3 23 5 ， 3 379 11 ， 3 413 15 17 19 ， 2015 年福建省达标校暑期高二数学（理工农医类）集训营(36) 第四部分 【检测能力】 【3】 18 （本题满分 16 分） （1）找出一个等比数列 n a ，使得 1， 2，4 为其中的三项，并指出分别是 n a 的第几 项； （2）证明： 2为无理数； （3）证明：1， 2，4 不可能为同一等差数列中的三项 19 （本题满分 16 分） 已知定义在R上的函数 2 ln(e1)() x f xax aR是偶函数 （1）求实数a的值； （2）判断 fx在0,)上的单调性，并用定义法证明； （3）若 2 2 1 ()() m f xf mx xx 恒成立，求实数m的取值范围 20 （本题满分 16 分） 已知函数 2 ( )1, ( )|f xxg xxa （1）当1a 时，求( )( )( )F xf xg x的零点； （2）若方程|( )|( )f xg x有三个不同的实数解，求a的值； （3）求( )( )( )G xf xg x在 2,2上的最小值( )h a. (第 17 题) O O x x 2 0.5 4 1.5 (图 1) (图 2) 2015 年福建省达标校暑期高二数学（理工农医类）集训营(36) 第四部分 【检测能力】 【4】 2015 年福建省达标校暑期高二数学（理工农医类）集训营(36) 参 考 答 案 一、填空题：本大题共 14 小题，每小题 5 分，共计 70 分，请把答案填写在答题卡相应位置 上 1函数( )lg(21)f xx的定义域为 1 ( ,) 2 . 2已知全集1,2,3U ，集合 1A ，集合1,2B ，则 U AB 1,3. 3. 函数不论为何值时，其图像恒过的定点为(2,2) . 4已知幂函数( )f x的图像过点 1 (2,) 4 ，则(3)f 1 9 . 5已知函数 . 0,2 , 0,log3 x xx xf x 则 27 1 ff的值为 1 8 . 6已知, a bR，若25100 ab ，则 11 ab 1 2 . 7 关于x的方程 2 2(1)260 xaxa的两根为, ,且满足01 ， 则a的取值范 围是 5 ( 3,) 4 . 8已知f是有序数对集合 * ( , )|,Mx yxyNN上的一个映射，正整数数对( , )x y在映 射f下对应的为实数z， 记作( , )f x yz. 对于任意的正整数,()m n mn， 映射f由下表 给出： 则使不等式(2, ) 3fx的解集为 1,2. 9已知函数 2 ( )log (2)5f xxx 存在唯一零点,则大于的最小整数为 3 . 10函数 24 0,32 2 x yxx x ，且的值域为 , 210, . 11生活中常用的十二进位制，如一年有 12 个月，时针转一周为 12 个小时，等等，就是逢 12 2 1(0,1) x yaaa a 0 x 0 x ( , )x y ( , )n n ( , )m n ( ,)n m ( , )f x y n m n mn 2015 年福建省达标校暑期高二数学（理工农医类）集训营(36) 第四部分 【检测能力】 【5】 进 1 的计算制，现采用数字 09 和字母 A、B 共 12 个计数符号，这些符号与十进制的数的 对应关系如下表； 十二进制 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 A B 十进制 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 例如用十二进位制表示 A+B19，照此算法在十二进位制中运算 AB 92 . 12 已知函数 2 3 ( )(1) 1 ax f xa a 在区间0,1上是减函数， 则a的取值范围是( 1,0)(1,3. 13已知大于 1 的任意一个自然数的三次幂都可写成连续奇数的和如： 若m是自然数，把 3 m按上述表示，等式右侧的奇数中含有 2015，则m 45 . 14已知定义在R上的函数( )f x既是奇函数，又是周期函数，且周期为 3 2 .当 3 0, 4 x时， sin ( ) 2cos ax f xbx x （a、bR）,则 (1)(2)(100)fff的值为 22 23 . 二、解答题: 本大题共 6 小题， 1517 每小题 14 分，1820 每小题 16 分，共计 90 分请 在答题卡指定的区域内作答 ， 解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤 15 （本题满分 14 分） 【解答】 ：化简得 A=24xx ， B=3x mxm. 6 分 （1）因为(2,4)AB 所以有324,5mmm 且则. 10 分 （2）因为BA，即 32 4 m m 解得14m. 14 分 16 （本题满分 14 分） 【解答】 ： （1）=( ,)z abi a bR设， 则2(2)ziabi，因为2zi为实数，所以有20b 2 分 (1 2 )(1 2 )()2(2 )i zi abiabba i，因为(1 2 ) i z为纯虚数， 所以20,20abba， 4 分 由解得4,2ab. 6 分 故=42zi. 7 分 （2）因为=42zi，则42zi， 8 分 3 23 5 ， 3 379 11 ， 3 413 15 17 19 ， 2015 年福建省达标校暑期高二数学（理工农医类）集训营(36) 第四部分 【检测能力】 【6】 设( ,)xyi x yR，因为1z，即 22 (4)(2)1xy 10 分 又= 22 xy，故的最小值即为原点到圆 22 (4)(2)1xy上的点距离的最小值，因 为原点到点(4,2)的距离为 22 422 5，又因为圆的半径 r=1，原点在圆外， 所以的最小值即为2 51. 14 分 17 （本题满分 14 分） 【解答】 ： (1) 因为A品牌的销售利润 1 y 与投入资金x成正比，设 11 (0)yk xx ， 又过点(2,0.5)，所以 1 1 4 k ，所以 1 1 (0) 4 yxx 3 分 B品牌的销售利润 2 y与投入资金x的算术平方根成正比，设 22 (0)ykxx ，又过点 (4,1.5)，所以 2 3 4 k ，所以设 2 3 (0) 4 yxx ， 6 分 （2）设总利润为y,投入B品牌为x万元，则投入A品牌为(5) x万元， 则 13 (5)(05) 44 yxxx 8 分 令(05)txt ，则 2 1 (35) 4 ytt 10 分 2 1329 () 4216 t 当 3 2 t 时，即 9 4 x 时，投入A品牌为： 911 5 44 ， max 29 16 y13 分 答：投入A品牌 11 4 万元、B品牌 9 4 万元时，经销该种商品获得最大利润，最大利润为 29 16 万 元 14 分 18 （本题满分 16 分） 【解答】 ： （1）取首项为 1，公比为 2，则 1 =( 2)n n a ， 2 分 则 125 =1,= 2,=4aaa 4 分 （2）证明：假设 2是有理数，则存在互质整数 , h k，使得2 h k ，5 分 则 22 2hk，所以h为偶数， 7 分 设2hl，l为整数，则 22 2kl，所以k也为偶数， 则, h k有公约数 2，这与, h k互质相矛盾， 9 分 所以假设不成立，所以 2是有理数 10 分 （3）证明：假设1， 2，4 是同一等差数列中的三项， 且分别为第 ,n m p项且,n m p互不相等， 11 分 2015 年福建省达标校暑期高二数学（理工农医类）集训营(36) 第四部分 【检测能力】 【7】 设公差为d，显然0d ，则21 ()mn d ，41 ()pn d ， 消去d得， 3() 21 mn pn ， 13 分 由n，m，p都为整数，所以 3() 1 mn pn 为有理数， 由（2）得 2是无理数，所以等式不可能成立， 15 分 所以假设不成立，即 1， 2，4 不可能为同一等差数列中的三项 16 分 19 （本题满分 16 分） 【解答】 ： （1）因为 fx是定义在R上的偶函数，所以 1( 1)ff， 即 22 ln(e1)ln(e1)aa ，即 2 2 e1 2ln()2 e1 a ，得1a ， 2 分 当1a 时， 2 ln(e1) x f xx， 对于 22 ,ln(e1)ln(e1) xx xfxxxf x R，综上1a 4 分 （2） fx在0,)上是单调增函数， 5 分 证明如下： 设 12 ,x x为0,)内的任意两个值，且 12 xx，则 12 22 1212 ln(e1)ln(e1) xx f xf xxx 11212121 21 222 22 222 e1(e1)eee ln()ln(e)lnln() e1e1e1 xxxxxxxx xx xxx 因为 12 0 xx，所以 2121 0,0 xxxx，所以 2121 e1,e1 xxxx ， 所以 212122121 2 ee(e1)(1 e)(e1)0 xxxxxxxxx ，所以 21212 2 ee(e1) xxxxx ， 所以 2121 2 2 ee 1 e1 xxxx x ，所以 12 0f xf x，即 12 f xf x， 所以 fx在0,)上是单调增函数 10 分 （3） fx在0,)上是单调增函数，且是偶函数，又 2 2 1 ()() m f xf mx xx ， 2015 年福建省达标校暑期高二数学（理工农医类）集训营(36) 第四部分 【检测能力】 【8】 所以 2 2 1m xmx xx ， 12 分 令 1 tx x ，则 , 22,t ， 所以 2 2mtt， 2 mt t 恒成立， 14 分 因为 2 t t ，关于t在2,上单调递增， 所以 2 1t t ，所以1m 恒成立，所以11m . 16 分 20 （本题满分 16 分） 【解答】 ： （1）当1a 时， 2 2 2 ,1, ( )1 |1| 2,1. xxx F xxx xxx ， 2 分 令( )0F x 得，当1x时， 2 0 xx，1x （0 x 舍去） 当1x时， 2 20 xx，2x （1x 舍去） 所以当1a 时，( )F x的零点为 1，2 4 分 （2）方程|( )|( )f xg x，即 2 |1| |xxa ， 变形得 22 (1)(1)0 xxaxxa ， 6 分 从而欲使原方程有三个不同的解，即要求方程 2 10 xxa (1) 与 2 10 xxa (2) 满足下列情形之一： （I）一个有等根，另一个有两不等根，且三根不等 （II）方程（1） 、 （2）均有两不等根且由一根相同； 对情形（I） ：若方程(1)有等根，则 1 4(1)0a 解得 5 4 a 代入方程（2）检验符合； 若方程(2)有等根，则1 4(1)0a 解得 5 4 a 代入方程（1）检验符合；8 分 对情形（II） ：设 0 x是公共根，则 22 0000 11xxaxxa ， 解得 0 xa代入（1）得1a ， 2015 年福建省达标校暑期高二数学（理工农医类）集训营(36) 第四部分 【检测能力】 【9】 1a 代入|( )|( )f xg x检验得三个解为-2、0、1 符合 1a 代入|( )|( )f xg x检验得三个解为 2、0、-1 符合 故|( )|( )f xg x有三个不同的解的值为 5 4 a 或1a 10 分 （3）因为 2 ( )( )( )1 |G xf xg xxxa = 2 2 1 () 1 () xxaxa xxaxa , 当2a时 2 ( )1G xxxa ，在 1 2, 2 上递减，在 1 ,2 2 上递增， 故( )G x在 2,2上最小值为 min 15 ( )() 24 G xGa 11 分 当2a 时 2 ( )1G xxxa ，在 1 2, 2 上递减，在 1 ,2 2 上递增， 故( )G x在 2,2上最小值为 min 15 ( )( ) 24 G xGa 12 分 当22a 时， 2 2 1 (2) ( ) 1 ( 2) xxaax G x xxaxa （i）当 1 2 2 a 时，结合图形可知当 1 2,