【教案】两招解决极值点偏移

两招极值点偏移问题一、极值点偏移的含义众所周知，函数满足定义域内任意自变量都有，则函数关于直线对称；可以理解为函数在对称轴两侧，函数值变化快慢相同，且若为单峰函数，则必为的极值点. 如二次函数的顶点就是极值点，若的两根的中点为，则刚好有，即极值点在两根的正中间，也就是极值点没有偏移.若相等变为不等，则为极值点偏移：若单峰函数的极值点为，且函数满足定义域内左侧的任意自变量都有或，则函数极值点左右侧变化快慢不同. 故单峰函数定义域内任意不同的实数满足，则与极值点必有确定的大小关系：若，则称为极值点左偏；若，则称为极值点右偏.如函数的极值点刚好在方程的两根中点的左边，我们称之为极值点左偏.二、极值点偏移问题的一般题设形式：1. 若函数存在两个零点且，求证：（为函数的极值点）； 2. 若函数中存在且满足，求证：（为函数的极值点）；3. 若函数存在两个零点且，令，求证：；4. 若函数中存在且满足，令，求证：.二、运用判定定理判定极值点偏移的方法1、方法概述：（1）求出函数的极值点；（2）构造一元差函数；（3）确定函数的单调性；（4）结合，判断的符号，从而确定、的大小关系.口诀：极值偏离对称轴，构造函数觅行踪；四个步骤环相扣，两次单调紧跟随.2、抽化模型答题模板：若已知函数满足，为函数的极值点，求证：.（1）讨论函数的单调性并求出的极值点； 假设此处在上单调递减，在上单调递增.（2）构造； 注：此处根据题意需要还可以构造成的形式.（3）通过求导讨论的单调性，判断出在某段区间上的正负，并得出与的大小关系；假设此处在上单调递增，那么我们便可得出，从而得到：时，.（4）不妨设，通过的单调性，与的大小关系得出结论；接上述情况，由于时，且，故，又因为，且在上单调递减，从而得到，从而得证.（5）若要证明，还需进一步讨论与的大小，得出所在的单调区间，从而得出该处函数导数值的正负，从而结论得证.此处只需继续证明：因为，故，由于在上单调递减，故.【说明】（1）此类试题由于思路固定，所以通常情况下求导比较复杂，计算时须细心；（2）此类题目若试题难度较低，会分解为三问，前两问分别求的单调性、极值点，证明与（或与）的大小关系；若试题难度较大，则直接给出形如或的结论，让你给予证明，此时自己应主动把该小问分解为三问逐步解题.【例题讲解】【例1】已知函数.(1)求函数的单调区间和极值；(2)若，且，证明：.【解析】容易求得第（1）问：在上单调递增，在上单调递减，的极值是。第（2）问：构造函数所以在R上单增，容易看出（找的就是它，构造的目的就是为了得到是正是负）所以，当x0时，不妨设，由（1）知，在上单调递增，.原命题得证。一定得构造？答：不。构造也行。证明如下：所以单增，不妨设，由（1）知，原命题得证。可否构造其他的？答：可以，这里的“2”是极值点的两倍。那答案为什么不给出其他的构造呢？因为那样很繁琐，也破坏了数学的对称美。其中这种构造的美感最强。【例2】函数有两极值点，且.证明：.【解析】令，则是函数的两个零点。令，令易得在区间单调减，单调增，所以，令当时，单调递减，有所以，所以，因为，在上单调递减所以，即.【例3】已知函数，若，且，证明：.【解析】由函数单调性可知：若，则必有。所以，而，令，则所以函数在为减函数，所以，所以即，所以，所以.【例4】已知函数有两个零点.设是的两个零点，证明：.【解析】不妨设，由题意知，要证不等式成立，只需证明当成立即可。（这里的1是极值点，求导可得）令当时，令，则,且在上递增，则.【例5】已知函数，其中（1）若函数有两个零点，求的取值范围；（2）若函数有极大值为，且方程的两根为，且，证明： .【解析】有a不怕 ，能算出来的。（1）（1）当时， 函数在上单调递增，不可能有两个零点（2）当时， 0-极大值的极大值为，由得；因为，所以在必存在一个零点；显然当时， ，所以在上必存在一个零点；所以当时，函数有两零点.（2） 由（1）可知。当时，的极大值为.令，由又因为在上单调递减，所以，原命题得证.【例8】已知函数，若任意不同的实数满足，求证：.【解析】消参数因为函数在上为减函数，所以原式构造函数，则，则由均值不等式显然可得（当且仅当时取等号），在为减函数，则，得证.题型二 利用对数平均不等式两个正数和的对数平均定义：对数平均与算术平均、几何平均的大小关系：（此式记为对数平均不等式）取等条件：当且仅当时，等号成立.只证：当时，.不失一般性，可设.证明如下：（I）先证：不等式构造函数，则.因为时，所以函数在上单调递减，故，从而不等式成立；（II）再证：不等式构造函数，则.因为时，所以函数在上单调递增，故，从而不等式成立；综合（I）（II）知，对，都有对数平均不等式成立，当且仅当时，等号成立.【例1】已知函数，为常数，若函数有两个零点，证明：【证明】利用参数作为媒介，换元后构造新函数： 不妨设，（思考下：为什么一定成立？提示：用去判断）.【例2】已知函数（）讨论函数的单调区间与极值；（）若且恒成立，求的最大值；（）在（）的条件下，且取得最大值时，设，且函数有两个零点，求实数的取值范围，并证明： 【答案】（）答案见解析；（）当时， 最大为1；（）证明过程见解析【解析】第一第二问略（）由（）知，当取最大值1时， ，记，不妨设，由题意，则， ，欲证明，只需证明，只需证明，即证明，即证，设，则只需证明，也就是证明，记，所以，所以在单调递增，所以，所以原不等式成立.（这里是把对数平均不等式重新证了一遍，当然，考试的时候，要这么写的）【例3】已知函数有两个零点.证明：.【解析】参变分离得：，由得，将上述等式两边取以为底的对数，得，化简得：，故由对数平均不等式得：，从而 等价于： 由，故，证毕. 【例4】已知函数 .如果，且.证明：.【解析】设两边取对数根据对数平均值不等式原命题得证【例5】（苏州市2019届调研试题）20(本题满分16分)设函数，a为常数（1）当时，求在点处的切线方程；（2）若为函数的两个零点，求实数的取值范围；比较与的大小关系，并说明理由【解析】解：（1）当时，得，所以，所以在点处的切线方程为； 3分（2）（）,得，当时，单调递减不满足题意； 4分当时，；，；所以在上单调减，在上单调增因为函数有两个零点，所以，得 6分下证：在区间和内分别存在一个零点.在内，因为，而，又在上单调减，所以由零点存在性原理可知：在内有一个零点； 9分法一：在内，可以证明，所以即，所以，取，得， 而，又在上单调递增，所以由零点存在性原理可知：在内有一个零点 12分法二:在内，因为（易证），所以即，所以